广西南宁市2026届高中毕业班第一次摸底测试数学试题

南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试参考答案（数学） 一、选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 答案 C B 8.【解析】若f(x)有两个零点，则f(x)=em-nx=0有两个解。 等价于e-xlnx=0(x>0)有两个解.因为>0，x>0,所以nx≥0 令g(t)=te,原式等价于g(x)=g(lnx)有两个解。 因为g(t)=(t+1)e,则当t>0时g(t)>0,所以g(t)在[0，+∞)上单调递增。 所以x=nx(x>O)有两个大于零的解。 由=n可得m，令)n(x>0),则() 1-Inx 因为当0<x<e时H(x)>0;当x>e时，h(x)<0 所以h(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，且h(e)=二h(x)的图象如上图， 所以当0<m<时直线y=m与函数y=血x图像有两个交点，即f9有两个零点.故选A 二、选操题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。有两个正确选项的仅选其中一个给3分：有三 个正确选项的仅选其中一个给2分，仅选其中两个给4分。 题号 9 10 11 答案 AC ABD ABD 1.【解析】求导得f()=x+4-4x+1 -41nx=x- .-41nx, 14会)=0，解得x=2-5x=2+ 所以f'(x)在区间(0，x)递增，在(x1,x2)递减，在(x2,+o)递增，且'①)=0 则3a∈(0，x),c∈(x2,+o)使f'(a)='(c=0.所以f(x)在区间(0，a递减，在(a,1)递增， 在(1，c)递减，在(c,+o)递增.故f(x)有四个单调区间且存在最小值. 故函数f)=x-1-4nx存在三个零点al,c.可知f白--x+4nx=-f(). 1 由f'(a=f'(c)=0,可得a=二，故c=12,即a,l,c成等比数列.故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2;13.10【备注】若出现写出“m=0或10”，不给分. 14.72【解析】设四种花卉分别为A,B,C,D.对于第一个2×2的方格，共有A1=24种 不同的种法.假设第一个2×2的方格，种如图所示A,B,C,D四种花卉. 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试参考答案（数学）第1页共15页 ①若第三列的第一个方格种A,第三列的第二个方格种C,则第三列的第三个方格种A或B;当第三 列的第三个方格种A时，则第三行的第一、二个方格，分别种A,B;当第三列的第三个方格种B时，则第 三行的第一、二个方格，分别种B,A: ②若第三列的第一个方格种C,第三列的第二个方格种A,则第三列的第三个方格种C或B; 当第三列的第三个方格种C时，则第三行的第一、二个方格，分别种A,B;当第三列的第三个方格种B 时，则第三行的第二个方格种C,此时不符合题目要求，舍去. 所以共有3类种法，则共有24×3=72种不同的种植方法， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15(本题满分13分)已知函数f(x)=c0s(ox+),(@>0,网<)的最小正周期是元，且满足 f=3 61 求函数了(x)的解折式：Q设函数g(x)=f+受+V5x-爱求()在区间 上的最大值和最小值， 44 解：)油思意知T=元所以2红=元得0=2即f(y)=c0s(2x+9)2分 【备注】见“0=2”给2分 因为f(=5 6 2,所以os(5+9=3 3 :2,从而写+p=±2+2机，k∈Z. 3 6 因为a<牙，所以p= 。。。。。。。。。 2分 6 【备注】见“p=-刀”给2分 6 因此f四)c08(2x二26分】 【备注】见“f()=c0(2r-爱”给2分 ag(x)=f+臣+5fx-2=os2(x+）-石+5co2(x-2-石11分 =cos 2x+3sin2x...... 1分 【备注】见“co[2(t+分-2+5co[2(x-君-爱“cos2x+5sm2x”之，给1分 =2sin(2x+ .2(9分) 6 【备注】见“2$in(2x+)”给2分 6 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试参考答案（数学）第2页共15页 因为函数y=2sint在 上单调递增，在 π2π 3 2 23 上单调递减，.1(10分) 【备注】1.至少见 在 上单调递增”、“在 π2元 上单调递减”之一，给1分. 32 23 2.至少见“gx)在 ππ 上单调递增”、“在 ππ 4’6 上单调递减”之一，给1分 64 又2sin 5,2m子-2.2m-, ...1(11分) 【备注】1.至少见“2sin 、2m子=22m-5之，给1分 3 2.至少见“2sin -2+-52i2g+-2 66 “2sin(2x亚+乃)=√5”之一，给1分 46 故8(x)在 上的最大值为2，最小值为-√ .2(13分) 【备注】正确写出“最大值为2”、“最小值为-√3”各给1分 解法二：()评分细则同解法一. o&)-r+9B/x?-we2x9爱+5co时2r月a =cos2x+√3sin2x.. ..1分 【备注】见“cos2(x+爱）2+V5cos2(x-爱g“=cos2x+5sin2x"之给1分. …2(9分) 【备注】见“2c0s(2x-)”给2分. 令1=2x- 因为函数y=2cos 单调递增，在 0 上单调递减， .1(10分) 6 … 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试参考答案（数学）第3页共15页 【备注】1.至少见 “在 0 1 上单调递增”、“在0，二上单调递减”之一，给1分； 36 2.至少见 单调递增”、“在 上单调递减”之一，给1分 46 64 又2cos 5π =-V5,20s0=2,2cos=V5, ..1(11分) 6 【备注】1.至少见“2cos 6 =-V5”“2c0s0=2”“2c082=V5”之-，给1分： 6 2.至少见“2c0s x2 4 之一，给1分 兀元 故8(x)在 44 上的最大值为2，最小值为-√5...… ...2(13分) 【备注】正确写出“最大值为2”、“最小值为一√3”各给1分. 16(体超病分15分尼加橘四C等+若-a>60)的，右售点分为名，度心幸为 3 且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1.(1)求椭圆C的方程：(2)己知过点F,的直线l交椭圆C于 A,B两点.当△FAB的面积最大时，求此时直线l的方程. 解：①)因为椭圆C的离心率为S二V5 a 2 1分 将x=c代入椭圆方程得y=±方依题意可得 2b2 =1 .2分(3分) a a 【备注)见“26=1”给2分 因为a2=b2+C2,解得a=2,b=1.2分 【备注】写出“a=2”、“b=1”各给1分；或写出“a2=4”、“b2=1”各给1分： 所以精圆c的方程为+=1。 ..… 1分(6分) (②)由(1)得F,(√5,0)，南呼设面线蜂遍程，座膜底原，参考答案（彘学）第4瓦县份领 【备注】见“直线l方程为x=y+√3”给2分； 若不出现“x=y+√5”但写出F(V5,0)可给1分 x2 联立4 +y=得m2+到y2+23mw-1=0.… .1分 x=my+3 【备注】能写出体现联立解方程思想过程即可给1分， 设A,),B6,).则y+为=2N5m m2+45= 1 m2+41分(10分) 【备注】至少能正确写出运用韦达定理的一个式子可给1分. Sm=-为=V5VG+)P-4=4W5xm+打 m2+41分 【各注】见正确写出关于面积的函数解折式“45x㎡+1、写出面积公式 m2+4 “S和=FFKX-以”之一，可给1分 令t=Vm2+1,则S△54B= 4543 =2 ,323 1分(12分)》 + 【备注】有一定的过程且见“S△54B≤2”给1分. 当且仅当1=3即m=士反时取等号. .1分 【备注】正确写出“m=±√2”其中一个即可给1分 所求直线1的方程为x+√2y-V3=0或x-√2y-V3=0.2分(15分) 【备注】正确写出其中一个方程各给1分： (2)(解法二，评分细则同解法一) 由(1)得F,(3,0),当直线斜率存在时可设直线1的方程为y=(x-V3),2分 【备注】1.见“直线1方程为y=k(x-√3)”给2分： 2.若不出现“y=(x-3)”但写出F,(3,0)可给1分. 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试参考答案（数学）第5页共15页 联立4 80+x8Wgx+21行0 y=k(x-√3) 【备注】能写出体现联立解方程思想过程即可给1分 设A(x,),B(x,),则Y+, 8V3k2 12k2-4 1+4k2,52 1+4k2…1分(10分) 【备注】至少能正确写出运用韦达定理的一个式子可给1分 4B=++)-4x=1+k 8V32 48k2-16 -4+42 1+4k2 1+4k21+4k2 点(-V5,0)到直线1的距离为d=4。+B,+C 25M VA2+B2 V1+k2 141+k)2W5k k2(k2+1) 2×1+4k2 =43× 1分 V1+k2 1+4k2)2 【备注】见正确写出关于面积的函数解析式“4√3x +””、写出面积公式 (1+4k2)2 S2△oABxd”之一·可给1 令t=1+42,则S△54B=V51+ 23 ≤2 1分(12分) 因为直线斜率不存在时可得S△AB= 1×1x25=V5<2 放当且仅当=3即太=士时面积取最大值 1分 各客注】正确写出“k=士2”其中一个即可给1分 所求直线1的方程为x+√2y-√5=0或x-√2y-3=0.2分15分) 经往见x中2-6=0、“y三-)”之一给工分 见“-2y-5=0“y=-5-”之给1分： 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试参考答案（数学）第6页共15页 17.(本题满分15分)如图，在斜三棱柱ABC-ABC中，AB⊥AC,AB=AC,侧面BBCC为菱形， 且∠B,BC=60,点D为棱AA的中点，平面ABC⊥平面BB,CC.设平面ABC与平面BDC的交 线为1.(1)求证：1⊥平面BB,CC；(2)若BC=2,求二面角C-BD-B的正弦值 解法一： (I)延长BA,BD交于E,连接CE,则CE为面BDC和面ABC交线l.1分 因为D是AA的中点，AA∥BB,则A是BE中点. 1分(2分) 【备注】见写出“A是BE中点”或“AB=AE”给1分 因为△ABC中AB=AC,AB⊥AC,所以BE=2AC,从而EC⊥BC…2分(4分】 【备注】见写出“EC⊥BC”给2分 因为平面ABCI平面BB,CC且交线为BC, 1分 所以EC⊥平面BB,CC,即1⊥平面BB,CC 1分(6分) (2)取B,C中点G,因为侧面BB,CC为菱形且∠B,BC=60°，则GC⊥BC1分 【备注】见写出“GCLBC”给1分. 由(1)知EC⊥平面BB,CC,所以GC⊥C… 1分 【备注】见写出“GC⊥EC”给1分 分别以CB,CE,CG所在直线为x,y,2轴，建立如图空间直角坐标系CBEG.1分(9分) 因为BC=2,侧面BB,CC为菱形且∠BBC=60°，则B(1,0,V3),E(0,2,0),B(2,0,0) 则CB=（1,0,V3),CE=(0,2,0),BE=(-2,2,0),BB=(-1,0,V3).1分(10分) 【备注】见至少正确写出一个非原点坐标或见至少正确写出一个向量坐标，均可给1分. 设平面BDC的法向量为m=(x,,), 由〈 gm=0所以+5=0，可敢m=50,-D CE.m=0 24=0 设平面B,DB的法向量为n=(x2,2,22), BE-n=0, -x2+y2=0, 则 所以 可取n=(5,5,) .3分(13分) BB'n=0 -x2+V3z2=0 【备注】1.见恰好正确写出一个法向量坐标，本3分段共给2分： 2.见正确写出两个法向量坐标，本3分段共给3分： 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试参考答案（数学）第7页共15页 3.若不能正确写出两个法向量坐标，但见“ CBm=0”或“ BEn=0”之一，可给方法分1分 CE.m=0 BBn=0 mn 因为cos<m,n>= 3x3-1万 mx n 2W7 7 所以二面角C-B,D-B的正弦值为 42 > 2分(15分) 【备注】1.见写出“正弦值为 V42 > ”给2分： V42 ”,但正确写出原始夹角公式“cos<,n>= mn 2.若不能正确写出“正弦值为 ”给1分： m x n 3.若结果不正确，而只写出形如“c0s<m,n>= 5×5-1”情况不给分 2√7 解法二： (I)延长BA,BD交于点E,连接CE,则CE为面BDC和面ABC交线I.1分 因为D是AA中点，AA∥BB,则A是BE中点.1分(2分) 【备注】见写出“A是BE中点”或“AB=AE”给1分. 取BC中点F,连接AF,可得AF∥1.1分 因为AB=AC,所以AF⊥BC… 1分 因为平面ABC1平面BB.CC且交线为BC,所以AF⊥平面BB,CC1分(5分) 【备注】见写出“AF⊥平面BB,CC”给1分. 所以11平面BBCC.1分(6分） (2)连结BF,由侧面BBCC为菱形，∠B,BC=60,则BF⊥BC. 由面ABC⊥面BB,CC,所以BF⊥面ABC,可得BF⊥AF 又因为AB=AC,所以AF⊥BC.… .2分 【备注】1.见写出“AF⊥BC”、“BF⊥AF”、“BF⊥BC”之一并有必要的过程，给2分： 2.见写出“AF⊥BC”、“BF⊥AF”、“BF⊥BC”之一无过程，给1分 分别以FA,FC,FB1,所在直线为x,z轴，建立空间直角坐标系F-xz,如图1分 因为BC=2,侧面BB,CC为菱形且∠B,BC=60°， 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试参考答案（数学）第8页共15页 则o.ca10ma-10.006.4.pm号9 盟=0-山V.CD09,B=L,0,BR=05V3)1分u0分 【备注】见至少正确写出一个非原点坐标或见至少正确写出一个向量坐标，可给1分 设平面BDC的法向量为m=(x,乃，1)， CBm=0, -y+V31=0, 由 所以 CD.m=0 1,V3 可取m=(0,V3,1) 2+2=0 设平面B,DB的法向量为=(x,y2,22), BAn=0,」 x2+y=0, 由 所以 可取n=(W3,-√3,1).3分(13分) BBn=0b+V52=0 【备注】1.见恰好正确写出一个法向量坐标，本3分段共给2分： 2.见正确写出两个法向量坐标，本3分段共给3分： 3.若不能正确写出两个法向量坐标，但见“ (CBm=0.或“ BAn=0”之一，可给方法分1分， CD.m=0 BB,-n=0 mon 因为cos<l,n>= -5x3+1_√万 m x n 2W7 7 所以二面角C-AD-B的正弦值为√ 2分(15分) 7 【备注】1.见写出“正弦值为 42 > ”给2分 2若不能正确写出“正弦值为√4 L”,但正确写出原始夹角公式“cos<,n>= m.n 7 m x n 或“|cos<,n>F n”给1分： m×n 3若结果不正确，而只写出形知“c0s<n≥5x5+1,情况不给分 2W7 解法三：(1)同解法二的第1小题； (2)连结BE,由侧面BB,CC为菱形，∠BBC=60,则BF⊥BC1分 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试参考答案（数学）第9页共15页 【备注】见写出“BF⊥BC”给1分 由面ABC⊥面BB,CC,所以BF⊥面ABC,可得BF⊥AF 又因为AB=AC,所以AF⊥BC.1分 【备注】见至少写出“AF⊥BC”、“BF⊥AF”、“AF⊥BF”之一，给1分 分别以FA,FC,FB1,所在直线为x,yz轴，建立空间直角坐标系F-yz,如图 1分 因为BC=2,侧面BB,CC为菱形且∠B,BC=60°， 则A010.cu00.B0A0发a05.4-15.(L 2 则c5-n0.0-5.A-(110.两-105 1分(10分) 【备注】见至少正确写出一个非原点坐标或见至少正确写出一个向量坐标，可给1分. 设平面B,DC的法向量为m=(x,乃，)， CB1=0, x+V3,=0, 由 所以 CD-m=0 2+y+ 21-0. 2 设平面B,DB的法向量为n=(x2,y2,22), BA-n =0, -x2+y2=0, 则 所以 可取n=Q,-5 3 .3分(13分) BBn=0-x2+V3z2=0. 【备注】 1.见恰好正确写出一个法向量坐标，本3分段共给2分： 2.见正确写出两个法向量坐标，本3分段共给3分； 3若不能正确写出两个法向量坐标，但见“ CBm=0”或“ ∫BAn=0,之一，可给方法分1分 CD-m=0 BB,-n=0 因为cos<,n>= 所以二面角C-BD-B的正弦值为 1 2分(15分) mx n 7 4.若考生出现其他建系方法，可结合这三种解法对应给分即可。 18.(本题满分17分)流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌B共同引起的，且至少杀灭 其中一种致病菌即可痊愈 ①若有某种治疗方案M有的概率能杀灭致病菌“若这种治疗方案能杀灭致病菌α，则它有 的概率能杀灭致病菌B,若这种治疗方案不能杀灭致病菌“，则它有的概率能杀灭致病菌B, 4 求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试参考答案（数学）第10页共15页南宁市2026届高中毕业班摸底测试 数学试卷 (考试用时120分钟，试卷满分150分) 注意事项： 1、答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知复数z满足iz=-2+3i,其中i为虚数单位，则z在复平面内对应点的坐标为() A.(3,-2) B.(-3,-2) C.(-3,2) D.(3,2) 2.已知集合A={xx2-2x≤0，B={1,2,3,4},则(C4)nB=() A.{4} B.{3,4y c.{2,3,4} D.{1,2,3} 3.若向量a=(2,-3),b=(-1,2),则aa+2b=() A.5 B.3 C.-5 D.-3 4.下列关于函数y=4sinx,x∈[0,2π]的单调性的叙述，正确的是() A.在[0，元]上单调递增，在[π，2π]上单调递减 B在0，号 3元 上单调递增，在 2,2 上单调递减 c在0引7,2 3π 上单调递增，在 π3π 22 上单调递减 D在[ 上单调递减 5.已知双曲线C:9x2-16y2=144,则C的渐近线方程为() Ay=±4x .3 cy=好 4 D.y=±。x 5 B.y=±2x 5 3 6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时f(x)=x2+x,则f(2)的值为() A.2 B.-2 C.6 D.-6 南宁市2026届高中毕业班摸底测试（数学）第1页共4页 7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等且它们的高均为√，则圆锥的体积为() A.2V2元 B.3V2元 C.6√2元 D.9N2元 8.已知f(x)=memr-lnx(m>0),若f(x)有两个零点，则实数m的取值范围为( o) D.t 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.设△ABC内角AB,C的对边分别为a,6,c若A=元，b=3,c=2,则() 3 A.a=√7 B.C=I C.△ABC的外接圆面积为 7π 3 D若M为BC中点，则AM=19 10.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线E的准线交x轴于点G,抛物线E上一 点T(4,y。)到点F的距离为6，点A,B是抛物线E上的两点（异于原点O),则下列说法正确的是(） A.p=4 B.若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的斜率为2 C.若OA⊥OB,则直线AB恒过点(4,0)D.若直线AB过点F,则直线AG,BG的斜率之和为0 1.已知函数f()=2+4x-(4x+)血x,则下列结论中正确的是(） Af(x)有四个单调区间 B.f(x)存在最小值 C.f(x)有三个极值点，从小到大依次为a,b,c,则a,b,c成等差数列 D.f(x)有三个极值点，从小到大依次为a,b,c,则a,b,c成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知数列{an}是等差数列，若41+a3+a=105,a6=41,则数列{an}的公差d= 13.若直线1：x-2y+m=0(m≠0)被圆C:(x+1)2+(y-2)2=8截得的弦长为2V3,则 m= 14.一个3×3的正方形花坛被划分为9个1×1小方格（如右图)，计划种植4种花卉 (玫瑰、月季、百合、郁金香).每个小方格种1种花卉要求：花坛中任意2×2的小区 域内，4种花卉必须全部种植且不重复，则不同的种植方案共有种， 南宁市2026届高中毕业班摸底测试（数学）第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分)已知函数f(r)=c0s(@x+p),(0>0,m<)的最小正周期是r,且满足 = 2 (1)求函数f(x)的解析式： e设西数8（小-心+日+5-看果8）在区间-普司 上的最大值和最小值， 6(本题满分5分巴知椭圆C之+Q>b>0)的左，石焦点分别为，上，离心率为 v⑤ 且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. 2 (1)求椭圆C的方程： (2)己知过点F,的直线1交椭圆C于A,B两点当△FAB的面积最大时，求此时直线！的方程， 17.(本题满分15分)如图，在斜三棱柱ABC-AB,C,中，AB⊥AC,AB=AC,侧面BB,C,C为菱 形，且∠B,BC=60°，点D为棱AA的中点，平面ABC⊥平面BB,CC.设平面ABC与平面 B,DC的交线为l (1)求证：l⊥平面BB,CC; (2)若BC=2,求二面州C-B,D-B的正弦值 南宁市2026届高中毕业班摸底测试（数学）第3页共4页 18.(本题满分17分)流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌α和致病菌B共同引起的，且至少 杀灭其中一种致病菌即可痊愈 的概率能杀灭致病菌α.若这种治疗方案能杀灭致病菌口，则它 2 (1)若有某种治疗方案M,有 有二的概率能杀灭致病菌B.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有二的概率能杀灭致病菌 B.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌α的概率； (2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假 定药物使用时，均按疗程服用3天)，超过3天无效时需换药进行治疗若使用完两种药物仍不见效， 依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌α和致病菌B的概率分别为1 药物B杀灭致病菌α和致病菌B的概率均为 一请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均 10 天数更短？ (3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为P。.设针对药物C的n(n≥3)次临床实验中有连 续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为P,且每次治疗结果相互独立. 求证：Pn+>Pn≥1-(1-3)1-P1-R)]”-3. 19(本题满分17分)已知数列a,}满足fa,）-f=fa)6为常数，f(x)为可导函数。 an-b (1)若f(x)=x2且a=1,求数列{an}的通项公式（结果用b表示）； a若f)=e-号x2-mrx>0). 21 ()证明：当m≤1时∫(x)为单调函数； 2(a,+b). ()若数列{an}为正项数列且an>b>0,证明：an>au+1> 南宁市2026届高中毕业班摸底测试（数学)第4页共4页