第7章 幂的运算 章节练习 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

第7章 幂的运算 章节练习 2025-2026学年苏科版七年级数学下册 一．选择题（共8小题） 1．下列计算正确的是（　　） A．x2•x4＝x8 B．（x2）4＝x8 C．（x3y）2＝x5y2 D．x6÷x2＝x3 2．已知am＝2，an＝3，则a3m+2n的值是（　　） A．6 B．24 C．36 D．72 3．已知2a6bm﹣3（anb）2＝﹣a6b2，则m﹣2n的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．1 D．2 4．已知2x+3y﹣1＝0，则4x•8y的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 5．计算，其中第①步运算的依据是（　　） A．幂的乘方法则 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 6．已知a＝215，b＝310，c＝75，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 7．已知3a＝5，3b＝15，3c＝45．给出下面四个结论：①b﹣a＝1；②a﹣c＝2；③a+b+c＝3b；④a2﹣b2＝3﹣2c．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 8．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0； ②log323＝3log32； ③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0； ④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）． A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共10小题） 9．计算：的结果是　 　 ． 10．我们规定：a⊗b＝10a×10b，例如3⊗4＝103×104＝107，那么7⊗8等于 　 　 ． 11．深圳某科技馆中“数理世界”展厅的WIFI密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到WIFI，则他输入的密码是 　 　 ． 账号：shulishijie [x19y8z8]＝1988，[x2yz•x3y]＝521，[（x5）5y4z3÷x5y2z]＝密码． 12．已知3m＝x，81n＝y，则33m+8n＝　 　 ．（用含x，y的代数式表示） 13．计算（﹣5×104）2的结果，并用科学记数法表示为　 　 ． 14．若100a＝20，1000b＝50，则的值是 　 　 ． 15．如果xn＝y，那么规定（x，y）＝n，例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2，若（m，16）＝a，（m，5）＝b，（m，t）＝c，且满足a+b＝c，则t＝　 　 ． 16．若[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），则a的值为 　 　 ． 17．有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 　 　 立方厘米． 18．我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算填空： （1）若h（1），则h（2）＝　 　 ； （2）若h（1）＝k（k≠0），那么h（n）•h（2017）＝　 　 （用含n和k的代数式表示，其中n为正整数） 三．解答题（共7小题） 19．计算：a5•（﹣a）3+a10÷a2+（﹣2a4）2． 20．已知am＝6，an＝2，求下列各式的值： （1）a2m+a3n； （2）am+2n； （3）a2m﹣n． 21．运算法则或性质从右到左也是成立的，比如：由积的乘方（ab）n＝anbn，可以得到anbn＝（ab）n，已知3m＝2，3n＝4，9p＝8． （1）求3m+n的值； （2）求3m﹣2p的值； （3）直接写出m，n，p之间的数量关系　 　 ． 22．观察与思考： 24×24×22＝210①；（22）5＝210②． （1）算式①的运算依据是　 　 ，算式②的运算依据是　 　 ． （2）计算：． 23．【定义新知】 如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2． 【尝试应用】 （1）（2，8）＝ 　 　 ； 【拓展提升】 （2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，求证：m+n＝p． 24．基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！ ①如果2×8x×16x＝222，求x的值； ②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值． 25．为了求1+2+22+23+…+22008的值，可令S＝1+2+22+23+…+22008，则2S＝2+22+23+24+…+22009，因此2S﹣S＝22009﹣1，所以1+2+22+23+…+22008＝22009﹣1仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52009的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A B C C A A 1．下列计算正确的是（　　） A．x2•x4＝x8 B．（x2）4＝x8 C．（x3y）2＝x5y2 D．x6÷x2＝x3 【解答】解：根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐项分析判断如下： A：x2•x4＝x2+4＝x6≠x8，不符合题意； B：（x2）4＝x2×4＝x8，符合题意； C：（x3y）2＝（x3）2•y2＝x6y2≠x5y2，不符合题意； D：x6÷x2＝x6﹣2＝x4≠x3，不符合题意． 故选：B． 2．已知am＝2，an＝3，则a3m+2n的值是（　　） A．6 B．24 C．36 D．72 【解答】解：∵am＝2，an＝3， ∴a3m+2n＝（am）3×（an）2 ＝23×32 ＝72． 故选：D． 3．已知2a6bm﹣3（anb）2＝﹣a6b2，则m﹣2n的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．1 D．2 【解答】解：∵原式＝2a6bm﹣3a2nb2＝﹣a6b2， ∴2a6bm，﹣3a2nb2是同类项； ∴2n＝6，m＝2， ∴n＝3， 将m＝2，n＝3代入得， ∴m﹣2n＝2﹣6＝﹣4． 故选：A． 4．已知2x+3y﹣1＝0，则4x•8y的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【解答】解：根据题意可知，2x+3y＝1， ∴原式＝（22）x•（23）y ＝22x•23y ＝22x+3y ＝21 ＝2． 故选：B． 5．计算，其中第①步运算的依据是（　　） A．幂的乘方法则 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 【解答】解：（﹣2xy2）3＝（﹣2）3x3（y2）3，是依据积的乘方法则． 故选：C． 6．已知a＝215，b＝310，c＝75，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【解答】解：根据题意可知，a＝23×5＝85，b＝310＝32×5＝95， ∵7＜8＜9， ∴b＞a＞c． 故选：C． 7．已知3a＝5，3b＝15，3c＝45．给出下面四个结论：①b﹣a＝1；②a﹣c＝2；③a+b+c＝3b；④a2﹣b2＝3﹣2c．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 【解答】解：∵3a＝5，3b＝15， ∴3b﹣a＝3b÷3a＝15÷5＝3＝31， ∴b﹣a＝1， 故①符合题意； ∵3a＝5，3c＝45， ∴3c＝45＝5×32＝3a×32＝3a+2， ∴c＝a+2， ∴a﹣c＝﹣2， 故②不符合题意； ∵3a＝5，3b＝15，3c＝45， ∴3a×3b×3c＝5×15×45， ∴3a+b+c＝3375， ∵33b＝（3b）3＝153＝3375， ∴3a+b+c＝33b， ∴a+b+c＝3b， 故③说法符合题意； ∵3a+b＝3a×3b＝5×15＝75， 由①b﹣a＝1可知，a﹣b＝﹣1， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）， ∴[（3a+b）]a﹣b＝（3a+b）﹣1＝75﹣1， ∵33﹣2c＝33÷32c＝27÷（3c）2＝27÷452， ∴33﹣2c， ∴a2﹣b2＝3﹣2c． 故说法④符合题意． 故选：A． 8．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0； ②log323＝3log32； ③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0； ④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）． A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵60＝1， ∴log61＝0，说法①符合题意； 由于dm•dn＝dm+n，设M＝dm，N＝dn， 则m＝logdM，n＝logdN， 于是logd（MN）＝m+n＝logdM+logdN，说法④符合题意； 则log323＝log3（2×2×2）＝log32+log32+log32＝3log32，说法②符合题意； 设p＝logab，则ap＝b， 两边同时取以c为底的对数， ，则plogca＝logcb， 所以即， 则log23， ∵log2（3﹣a）＝log827＝log23， ∴a＝0，说法③符合题意； 故选：A． 二．填空题（共10小题） 9．计算：的结果是　3　 ． 【解答】解： ＝12025×3 ＝1×3 ＝3， 故答案为：3． 10．我们规定：a⊗b＝10a×10b，例如3⊗4＝103×104＝107，那么7⊗8等于 　1015 ． 【解答】解：7⊗8＝107×108＝1015， 故答案为：1015． 11．深圳某科技馆中“数理世界”展厅的WIFI密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到WIFI，则他输入的密码是 　2022　 ． 账号：shulishijie [x19y8z8]＝1988，[x2yz•x3y]＝521，[（x5）5y4z3÷x5y2z]＝密码． 【解答】解：x2yz•x3y＝x5y2z＝521， （x5）5y4z3÷x5y2z ＝x25y4z3÷x5y2z ＝（x25÷x5）•（y4÷y2）•（z3÷z） ＝x20y2z2， ∵[x19y8z8]＝1988，[x2yz•x3y]＝521， ∴他输入的密码是：2022， 故答案为：2022． 12．已知3m＝x，81n＝y，则33m+8n＝x3y2 ．（用含x，y的代数式表示） 【解答】解：∵3m＝x，81n＝y， ∴33m＝（3m）3＝x3，81n＝（34）n＝34n＝y， ∴33m+8n＝33m×38n＝33m×（34n）2＝x3×y2＝x3y2． 故答案为：x3y2． 13．计算（﹣5×104）2的结果，并用科学记数法表示为　2.5×109．　 ． 【解答】解：（﹣5×104）2 ＝（﹣5）2×（104）2 ＝25×108 ＝2.5×109， 故答案为：2.5×109． 14．若100a＝20，1000b＝50，则的值是 　3　 ． 【解答】解：∵100a＝20，1000b＝50， ∴（102）a＝20，（103）b＝50， 102a＝20，103b＝50， ∴102a•103b＝20×50＝1000＝103， 102a+3b＝103， 2a+3b＝3， ∴， ∴， 故答案为：3． 15．如果xn＝y，那么规定（x，y）＝n，例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2，若（m，16）＝a，（m，5）＝b，（m，t）＝c，且满足a+b＝c，则t＝　80　 ． 【解答】解：因为（m，16）＝a，（m，5）＝b，（m，t）＝c， 所以ma＝16，mb＝5，mc＝t， 因为a+b＝c， 所以ma•mb＝ma+b＝16×5＝80， 所以ma+b＝mc＝t＝80． 故答案为：80． 16．若[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），则a的值为 　1或3或5　 ． 【解答】解：∵[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2）， ∴（a﹣2）6＝（a﹣2）a+1， ∴a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝6， ∴a＝3或a＝1或a＝5， 故答案为：1或3或5． 17．有一个棱长10cm的正方体，在某种物质的作用下，棱长以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀，则3秒后该正方体的体积是 　1021 立方厘米． 【解答】解：由题意可得，3秒后该正方体的棱长为：10×102×102×102＝107（cm）， 故3秒后该正方体的体积是：（107）3＝1021（cm3）， 故答案为：1021． 18．我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算填空： （1）若h（1），则h（2）＝　　 ； （2）若h（1）＝k（k≠0），那么h（n）•h（2017）＝kn+2017 （用含n和k的代数式表示，其中n为正整数） 【解答】解：（1）∵h（1），h（m+n）＝h（m）•h（n）， ∴h（2）＝h（1+1）； （2）∵h（1）＝k（k≠0）， ∴h（2）＝h（1）•h（1）＝k2， h（3）＝h（2）•h（1）＝k3， h（4）＝h（3）•h（1）＝k4， …… h（n）＝h（n﹣1）•h（1）＝kn， ∴h（n）•h（2017）＝kn•k2017＝kn+2017． 故答案为：；kn+2017． 三．解答题（共7小题） 19．计算：a5•（﹣a）3+a10÷a2+（﹣2a4）2． 【解答】解：原式＝a5•（﹣a3）+a8+4a8， ＝﹣a8+a8+4a8， ＝4a8． 20．已知am＝6，an＝2，求下列各式的值： （1）a2m+a3n； （2）am+2n； （3）a2m﹣n． 【解答】解：（1）∵am＝6，an＝2， ∴原式＝（am）2+（an）3 ＝62+23 ＝44； （2）∵am＝6，an＝2， ∴原式＝am•a2n ＝6×22 ＝24； （3）∵am＝6，an＝2， ∴原式＝a2m÷an ＝62÷2 ＝18． 21．运算法则或性质从右到左也是成立的，比如：由积的乘方（ab）n＝anbn，可以得到anbn＝（ab）n，已知3m＝2，3n＝4，9p＝8． （1）求3m+n的值； （2）求3m﹣2p的值； （3）直接写出m，n，p之间的数量关系m+n＝2p ． 【解答】解：（1）∵3m＝2，3n＝4， ∴3m+n ＝3m×3n ＝2×4 ＝8； （2）∵3m＝2，9p＝8， ∴3m﹣2p ＝3m÷32p ＝3m÷9p ＝2÷8 ； （3）∵3m＝2，3n＝4，9p＝8， 又∵2×4＝8， ∴3m×3n＝9p， ∴3m+n＝32p， ∴m+n＝2p， 故答案为：m+n＝2p． 22．观察与思考： 24×24×22＝210①；（22）5＝210②． （1）算式①的运算依据是　同底数幂相乘，底数不变，指数相加　 ，算式②的运算依据是　幂的乘方，底数不变，指数相乘　 ． （2）计算：． 【解答】解：（1）算式①的运算依据是同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 算式②的运算依据是幂的乘方，底数不变，指数相乘； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘； （2）将算式中的幂化为同指数幂，再逆用积的乘方法则进行计算可得：． 23．【定义新知】 如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2． 【尝试应用】 （1）（2，8）＝ 　3　 ； 【拓展提升】 （2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，求证：m+n＝p． 【解答】解：（1）∵23＝8， ∴（2，8）＝3， 故答案为：3； （2）∵（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p， ∴km＝9，kn＝27，kp＝243， ∴km•kn＝9×27＝243， ∴km•kn＝kp，即km+n＝kp， ∴m+n＝p． 24．基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！ ①如果2×8x×16x＝222，求x的值； ②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值． 【解答】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222， ∴1+7x＝22， ∴x＝3； ②∵2x+2+2x+1＝24， ∴2x（22+2）＝24， ∴2x＝4， ∴x＝2． 25．为了求1+2+22+23+…+22008的值，可令S＝1+2+22+23+…+22008，则2S＝2+22+23+24+…+22009，因此2S﹣S＝22009﹣1，所以1+2+22+23+…+22008＝22009﹣1仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52009的值． 【解答】解：令S＝1+5+52+53+…+52009， 则5S＝5+52+53+…+52010， 5S﹣S＝﹣1+52010， 4S＝52010﹣1， 则S． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $