精品解析：上海市复旦大学第二附属学校2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025学年第一学期八年级期终测试数学试卷（样卷） （试卷说明：本卷分两个部分，第一部分为必做题，满分100分；第二部分为选做题，满分20分．本卷总测试时间为100分钟．） 第一部分：必做题 一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任何实数都有倒数 B. 任何实数不是有理数就是无理数 C. 任何实数都有平方根 D. 任何实数不是正实数就是负实数 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（ ） A B. C D. 5. 下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，已知，且．如果只能运用“直角三角形全等的判定定理”判定，那么需要补充的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（ ） A. B. C. D. 8. 在数轴上，如果实数3对应的点为A，4对应的点为B，对应的点为C，那么以下表述正确的是（ ） A. 点C位于点B的右侧 B. 点C位于点A的左侧 C. 点C位于A、B两点之间且更靠近点A D. 点C位于A、B两点之间且更靠近点B 9. 某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 学习《理财小课堂》后，请从收益率的角度分析以下两个项目，哪个更值得投资．以下观点中，你最认同的是（ ） 项目 投入（万元） 一年后返回（万元） 二年后返回（万元） 甲 100 60 50 乙 80 50 38 A. 因为甲、乙两个项目的收益率都是，所以投资这两个项目是一样的 B. 因为甲项目的总收益为10万元，高于乙项目的总收益8万元，所以投资甲项目更优 C. 虽然甲、乙两个项目的收益率都是，但因为一年后甲项目先返回，乙项目先返回，乙先返回的更多，所以投资乙项目更优 D. 虽然甲、乙两个项目的收益率都是，但因为甲、乙两个项目的初始投入不一样，所以无法判断投资哪个项目更优 二、填空题（本大题共10题，每题2分，满分20分） 11. 64立方根是_______． 12 计算：______． 13. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 14. 化简：______． 15. 用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 16. 在实数范围内因式分解：______． 17. 已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 18. 不等式的解集是______． 19. 如图，已知点D在上，于点E，交于点F，，，若，则______度． 20. 如图，在中，，，的平分线交于点D．分别以点C、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交的延长线于点F．如果，那么______． 三、解答题（本大题共6题，满分50分） 21. 计算：． 22. 某同学在解方程时，给出了以下解答过程： 解答过程 步骤序号 解：将方程的左边因式分解，得， …① 当且时满足以上等式，可得； …② 当且时满足以上等式，可得． …③ 综上，原方程的解为，． …④ （1）该同学解答过程是否正确？（请根据你的判断勾选以下选项之一；勾选后，根据相应的选项完成对应的问题（2）和问题（3）） □A．该解答过程不正确 □B．该解答过程正确 （2A）如果你认为该解答不正确，那么它是从第______步开始出错的，请说明其错误的原因： （2B）如果你认为该解答正确，那么请再出一个一元二次方程，并用上述方法求解，说明此解法的合理性； （3A）对于原题所给的方程，请写出你认为正确的解答过程． （3B）对于原题所给的方程，请另外给出一种你认为正确的解法，写出解答过程． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）如果这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求的值． 24. 如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． （1）小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； （2）猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 25. 我们知道，如果正整数a、b、c满足，那么a、b、c称为一组勾股数（或称勾股数组），可表示为（，）．以勾股数组中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形． （1）对于勾股数组，求证：； （2）已知一元二次方程的系数a、b、c均为正整数，如果正有理数p满足：为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，求证：此时的系数a、b、c一定是一组勾股数． 26. 在课本综合与实践活动《“勾股定理”证明中的中国智慧》中，介绍了我国数学家刘徽用“出入相补原理”证明勾股定理的图形割补方法（如图1和图2）． 活动1：刘徽（约225—约295）的证明 交流学习体会时，小明同学认为：此方法的难点在于确定图2中的点D的位置．根据图中的示意，只要点D的位置确定，就相应确定了切割两个小正方形的方法，即确定了裁切线和． 现给定两个边长分别为a和b的正方形和（），其中正方形的边和共线（如图3）．根据刘徽的方法，请用尺规在线段上作出点P的位置（用于确定裁切线和），再写出你的作法并证明（即证明这两个正方形按此方法分割并重新拼接后能构成一个边长为的大正方形）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级期终测试数学试卷（样卷） （试卷说明：本卷分两个部分，第一部分为必做题，满分100分；第二部分为选做题，满分20分．本卷总测试时间为100分钟．） 第一部分：必做题 一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1. 下列说法中，正确是（ ） A. 任何实数都有倒数 B. 任何实数不是有理数就是无理数 C. 任何实数都有平方根 D. 任何实数不正实数就是负实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的定义性质，根据实数的定义和性质，判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A、0没有倒数，故A错误； B、实数由有理数和无理数组成，故B正确； C、负数没有平方根，故C错误； D、0既不是正实数也不是负实数，故D错误， 故选：B． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，选项A被开方数含分母，选项C可化简，选项D可化为完全平方形式，均不是最简；选项B被开方数无平方因子且不含分母，故为最简． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、，被开方数中21不是完全平方数，a为变量，无平方因子，故为最简二次根式； C、，可化简，不是最简二次根式； D、，可化简，不是最简二次根式． 故选：B． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程；熟练掌握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程； A、可化为，满足定义，符合题意； B、含有两个未知数，不满足①，不是一元二次方程，不符合题意； C、分母含未知数，不是整式方程，不满足③，不是一元二次方程，不符合题意； D、分母含未知数，不是整式方程，不满足③，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 4. 如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用一元二次方程根与系数的关系直接计算根的和与积即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴选项C正确， 故选：C． 5. 下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查通过判别式判断根的情况，计算每个一元二次方程的判别式，判断是否有实数根，若则无实数根． 【详解】解：选项A：，有实数根； 选项B：，有实数根； 选项C：，没有实数根； 选项D：，有实数根； 故选C． 6. 如图，在和中，已知，且．如果只能运用“直角三角形全等的判定定理”判定，那么需要补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定定理的应用，根据已知结合图形及判定方法判断各选项即可． 【详解】解：由题意知，， 根据直角三角形全等的判定定理“”，应添加斜边对应相等，即， 故选B． 7. 以下用科学记数法表示的小数中，转化为小数形式后，小数点与左起第一个非零数字之间恰有三个0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，将每个选项的科学记数法转化为小数形式，检查小数点与左起第一个非零数字之间零的个数，恰有三个0的选项符合要求． 【详解】解：A、，小数点后第一个非零数字为1，之间有一个0，不符合； B、，左起第一个非零数字为9，小数点与9之间有两个0，不符合； C、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为5，之间有两个0，不符合； D、，绝对值小数形式为，小数点后第一个非零数字为6，之间有三个0，符合； 故选：D． 8. 在数轴上，如果实数3对应的点为A，4对应的点为B，对应的点为C，那么以下表述正确的是（ ） A. 点C位于点B的右侧 B. 点C位于点A的左侧 C. 点C位于A、B两点之间且更靠近点A D. 点C位于A、B两点之间且更靠近点B 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法，二次根式的加减运算法则． 先根据无理数的估算方法确定点C在点A和点B之间，然后得到，再比较与的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点C在点A和点B之间； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 因此点C更靠近点B， 综上，点C位于A、B两点之间且更靠近点B， 故选：D． 9. 某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据双循环赛制中，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场数为球队数x与的乘积列方程即可． 【详解】解：设有x支球队，则每支球队与其他支球队各进行两场比赛，总比赛场数为， 由题意得：， 故选B． 10. 学习《理财小课堂》后，请从收益率的角度分析以下两个项目，哪个更值得投资．以下观点中，你最认同的是（ ） 项目 投入（万元） 一年后返回（万元） 二年后返回（万元） 甲 100 60 50 乙 80 50 38 A. 因为甲、乙两个项目的收益率都是，所以投资这两个项目是一样的 B. 因为甲项目的总收益为10万元，高于乙项目的总收益8万元，所以投资甲项目更优 C. 虽然甲、乙两个项目的收益率都是，但因为一年后甲项目先返回，乙项目先返回，乙先返回的更多，所以投资乙项目更优 D. 虽然甲、乙两个项目的收益率都是，但因为甲、乙两个项目的初始投入不一样，所以无法判断投资哪个项目更优 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查百分数的意义，收益率的计算；从收益率角度分析，甲和乙的总收益率均为，但乙项目一年后返回的金额占初始投入的比例更高（），意味着资金返回更快，有利于再投资，因此乙项目更优． 【详解】解：∵甲项目投入100万元，一年后返回60万元，二年后返回50万元， ∴甲的总收益万元，甲的收益率， ∵乙项目投入80万元，一年后返回50万元，二年后返回38万元， ∴乙的总收益万元，乙的收益率， ∴甲和乙总收益率相同， ∵一年后返回比例：甲，乙，乙更高， ∴从资金返回速度考虑，乙资金返回更快，有利于再投资， ∴乙项目更值得投资． 故选：C． 二、填空题（本大题共10题，每题2分，满分20分） 11. 64的立方根是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可求解. 【详解】解：∵43=64， ∴64的立方根是4， 故答案为：4. 【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义. 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减，先将 化简为 ，再与 进行合并同类项即可． 【详解】解：． 故答案为 ． 13. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 14. 化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握． 先确定，然后根据化简代数式，再化简绝对值即可． 【详解】解： ∴， 故答案为：． 15. 用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求a和b的值，再代入求值即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即， 与对比，得，， 所以． 故答案为：2027． 16. 在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数范围内分解因式，解一元二次方程，令，利用求根公式求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：解方程， 使用求根公式，其中，，， 判别式， 所以， 根为，， 因此． 故答案为：． 17. 已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，得到高的长度，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】解：由，因式分解得 ， 解得 或 （舍去负根）， ∴斜边上的高为4， 在等腰直角三角形中，斜边上的高也是斜边上的中线，且等于斜边的一半， ∴斜边长为 ， 故答案为 8． 18. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤． 首先展开不等式右边，然后移项合并同类项，注意到系数为负，除以负数时不等式方向反转，最后再分母有理化即可． 【详解】解： ∴原不等式的解集为， 故答案为：． 19. 如图，已知点D在上，于点E，交于点F，，，若，则______度． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50． 20. 如图，在中，，，的平分线交于点D．分别以点C、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交的延长线于点F．如果，那么______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 求得，，，，由作图知是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，，，， ∴， ∵由作图知是线段的垂直平分线， ∴，， 在和中， ∴, ∴， 故答案为：6． 三、解答题（本大题共6题，满分50分） 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．先计算括号内的表达式，合并同类二次根式，然后利用乘除法则进行化简． 【详解】解： ． 22. 某同学在解方程时，给出了以下解答过程： 解答过程 步骤序号 解：将方程的左边因式分解，得， …① 当且时满足以上等式，可得； …② 当且时满足以上等式，可得． …③ 综上，原方程的解为，． …④ （1）该同学的解答过程是否正确？（请根据你的判断勾选以下选项之一；勾选后，根据相应的选项完成对应的问题（2）和问题（3）） □A．该解答过程不正确 □B．该解答过程正确 （2A）如果你认为该解答不正确，那么它是从第______步开始出错，请说明其错误的原因： （2B）如果你认为该解答正确，那么请再出一个一元二次方程，并用上述方法求解，说明此解法的合理性； （3A）对于原题所给的方程，请写出你认为正确的解答过程． （3B）对于原题所给的方程，请另外给出一种你认为正确的解法，写出解答过程． 【答案】A；（2A）从第②步开始出错，理由见详解；（3A）解答过程见详解 【解析】 【分析】本题考查用因式分解法解方程的错解改正问题，熟练掌握解方程的方法是解题的关键；根据题意可判断解答过程不正确， （2A）因式分解法解一元二次方程的原理是“若，则或”，据此答题即可； （3A）按因式分解法解方程即可． 【详解】解：A．该解答过程不正确， （2A）从第②步开始出错 错误的原因：因式分解法解一元二次方程的原理是若，则或，该解法错误地将等式右边为6的情况类比为0的情况进行求解，其推理过程不成立； （3A）正确的解答过程： ， 移项得， 因式分解得， 所以或， 解得或． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）如果这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式、解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式列方程，然后解方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴， 解得， 故m的取值范围． 【小问2详解】 解：设是方程的两个实数根， 则，，且， 解得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， 故． 24. 如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． （1）小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； （2）猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】（1）见详解 （2）是锐角三角形 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【小问1详解】 解：、和如图所示： 【小问2详解】 解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 25. 我们知道，如果正整数a、b、c满足，那么a、b、c称为一组勾股数（或称勾股数组），可表示为（，）．以勾股数组中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形． （1）对于勾股数组，求证：； （2）已知一元二次方程的系数a、b、c均为正整数，如果正有理数p满足：为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，求证：此时的系数a、b、c一定是一组勾股数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，掌握勾股数的定义、平方差公式是解题的关键． （1）先根据勾股数的定义得，再变形利用平方差公式得，再利用分式的性质变形可得结论； （2）设方程的两根之和为，两根之积为，根据题意，，，则，，，再根据即，变形可得结论． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴ ，即， ∴ ， ∴ ，即； 【小问2详解】 证明：设方程的两根之和为，两根之积为， 根据题意，，， ∴ ，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，即， ∴ ，即， ∴ 是一组勾股数． 26. 在课本综合与实践活动《“勾股定理”证明中的中国智慧》中，介绍了我国数学家刘徽用“出入相补原理”证明勾股定理的图形割补方法（如图1和图2）． 活动1：刘徽（约225—约295）的证明 交流学习体会时，小明同学认为：此方法的难点在于确定图2中的点D的位置．根据图中的示意，只要点D的位置确定，就相应确定了切割两个小正方形的方法，即确定了裁切线和． 现给定两个边长分别为a和b的正方形和（），其中正方形的边和共线（如图3）．根据刘徽的方法，请用尺规在线段上作出点P的位置（用于确定裁切线和），再写出你的作法并证明（即证明这两个正方形按此方法分割并重新拼接后能构成一个边长为的大正方形）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】．本题考查作垂直平分线，圆的基本知识，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形全等的判定和性质，正方形的性质； 作图：先连接，作垂直平分线交于O， 再以O为圆心，为半径画圆，交于点即可； 证明：由作图可知，，，证，得，，，即可解答． 【详解】解：如图，点P即为所求， 作法：1、连接，作的垂直平分线交于O， 2、以O为圆心，为半径画圆，交于点； 证明：由作图可知是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵和都正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴这两个正方形按此方法分割并重新拼接后能构成一个边长为的大正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $