精品解析：广西南宁市第三十六中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年度（上）学期南宁市第三十六中学12月考卷 高一（数学） （考试时间：120分钟 满分150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值结合诱导公式计算即可. 【详解】由诱导公式可得：. 故选：C 2. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项． 【详解】在上单调递增，在内单调递增， 在定义域上单调递增， ，， 根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确； ，函数在定义域上单调递增， ，故BCD错误． 故选：A． 3. 把表示成的形式，且使，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用终边相同的角的表示方法，即可得解. 【详解】， ， 故选：A. 4. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ） A. y=x B. y=lnx C. y= D. y= 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案． 【详解】解：函数的定义域和值域均为， 函数的定义域为，值域为，不满足要求； 函数的定义域为，值域为，不满足要求； 函数的定义域为，值域为，不满足要求； 函数的定义域和值域均为，满足要求； 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【详解】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 6. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和特殊值计算，可求得和，再由函数的单调性和零点存在定理推理得到即可. 【详解】因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 7. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象可知在上单调递减，即可得到，再由对数的运算比较的关系，即可得解. 【详解】，作出函数的图象如图： 在上单调递减， ，，即， 又，， ，， . 故选：D. 8. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的对称性与列出方程组，解出，再利用函数的对称性与奇偶性求解即可. 【详解】根据题意，由为奇函数，得关于对称， 故，，. ，即. ∵，∴， 又∵， ∴，即， 由 ，解得，， ∵，且为偶函数， ∴. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角” B. “是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件 C. 半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1 D. 的反函数是，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由象限角的意义判断A；利用充分不必要条件的定义，结合象限角判断B；直接由扇形面积公式判断C；求出反函数判断D. 【详解】对于A，是第二象限角，A正确； 对于B，若是第四象限角，则， 即，于是是第二或第四象限角，充分性成立； 取，是第二象限角，而是第三象限角，必要性不成立， 因此“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件，B正确； 对于C，扇形面积为:，C错误； 对于D，由的反函数是，得，则，D错误. 故选：AB 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，则， 即， 因为，所以，则， 所以， 则，故D正确； 由，解得，，故AC错误； 则，故B正确. 故选：BD. 11. 已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 若不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可求出、的值，可判断A选项；利用赋值法求出的值，再令结合函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；利用偶函数的性质以及单调性可得出，解之即可. 【详解】因为定义在实数集上的函数满足， 对于选项，令可得，解得， 令可得，解得， 所以，，A对； 对于B选项，令可得，则， 令可得，故函数为偶函数，B对； 对于C选项，任取、且，则，可得， 所以，，故函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，C错； 对于D选项，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，则，可得或， 解得或， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数基本关系化简求解. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 13. 函数的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出不等式，结合对数函数的图像与性质，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足， 可得，解得，所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知函数若方程存在2个实数解，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象如图，方程的实数解的个数等于直线与函数图象的交点个数，即可得解. 【详解】画出函数图像，如图所示 方程存在2个实数解，即函数与函数图像有两个交点， 由图可得 或，所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）计算： （2）已知，且是第四象限的角，求及 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据对数运算公式求解. （2）利用同角三角函数的平方关系结合第四象限余弦为正求得余弦值，最后由正切公式求解. 【详解】（1）由对数运算公式可得，， ， （2）因为，所以由可得， ， 又因为是第四象限的角，所以，即， 所以. 16. 已知函数满足. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数的值域. 【答案】（1） （2）单调递减区间为 ，无增区间. （3） 【解析】 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）依题意可得，再根据指数函数的性质判断即可； （3）根据指数函数的值域即可求解. 【小问1详解】 由题可得，因为且，所以； 【小问2详解】 函数为复合函数， 令，在上单调递增， ，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为 ，无增区间. 【小问3详解】 因为，则，所以，所以函数的值域为. 17. 已知函数 （1）若，求证：函数在区间内存在唯一零点 （2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围 【答案】（1）证明： 若，得，对称轴为， 二次函数开口向上， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间上单调递增，得函数在区间上至多有一个零点， 而，得， 则函数在上至少有一个零点， 故函数在区间内存在唯一零点. （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的单调性及零点存在定理进行证明； （2）按和分类讨论，当时，结合二次函数的性质求解即可 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 函数在区间内恰有一个零点，即该函数图象在内与轴只有一个公共点， 当时，由，得，故满足题意； 当时， 若在上有一个实根， 若，满足题意， 解得，此时，且， 若，解得， 此时方程的另一个根为，满足题意； 若，解得， 此时方程的另一个根为，满足题意； 若有两个相等实根，则由，解得， 此时方程解得，满足题意； 综上所述，实数的取值范围是. 18. 某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率（利润/成本）低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y（单位：百万元）与年投资成本x（单位：百万元）变化的一组数据： 年份 2019 2020 2021 2022 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下三个函数模型：①；②；③． （1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； （2）试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型． 【答案】（1）选③； （2）要考虑转型 【解析】 【分析】（1）将分别代入三个函数进行求解，再检验； （2）由，则，进行求解． 【小问1详解】 将代入， 得，解得，得， 当时，，不符合题意； 将代入， 得，解得，得， 当时，，不符合题意； 将代入， 得，解得，得 当时，，当时，， 故可用③来描述之间的关系． 【小问2详解】 由，则. ∵年利润率为， ∴该企业要考虑转型． 19. 已知函数和具有如下性质：①定义域都为；②是偶函数，是奇函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求函数和的解析式； （2）解不等式：； （3）若函数的图象在区间上有零点，求实数的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性，利用方程组法可得函数解析式； （2）结合函数的奇偶性与单调性可解不等式； （3）化简函数解析式，分离参数可得，设，结合函数值域及基本不等式可得参数范围. 【小问1详解】 函数为上的偶函数，为上的奇函数，且， ， 即， 解得，； 【小问2详解】 因为是奇函数. 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 由可得，解得， 即所求不等式的解集为； 【小问3详解】 因为函数在上有零点， 即在上有根， 所以在上有根， 令，易知其在上单调递增，且， ， 因为，当且仅当时等号成立，即， ，即实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）学期南宁市第三十六中学12月考卷 高一（数学） （考试时间：120分钟 满分150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 3. 把表示成的形式，且使，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ） A. y=x B. y=lnx C. y= D. y= 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角” B. “是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件 C. 半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1 D. 的反函数是，则 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 若不等式的解集为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则 _____. 13. 函数的定义域为______ 14. 已知函数若方程存在2个实数解，则的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）计算： （2）已知，且是第四象限的角，求及 16. 已知函数满足. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数的值域. 17. 已知函数 （1）若，求证：函数在区间内存在唯一零点 （2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围 18. 某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率（利润/成本）低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y（单位：百万元）与年投资成本x（单位：百万元）变化的一组数据： 年份 2019 2020 2021 2022 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下三个函数模型：①；②；③． （1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； （2）试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型． 19. 已知函数和具有如下性质：①定义域都为；②是偶函数，是奇函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求函数和的解析式； （2）解不等式：； （3）若函数的图象在区间上有零点，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $