全等三角形的常见模型（二） 2025-2026学年浙教版数学八年级上册解题模型提高训练

全等三角形的常见模型（二）—2025-2026浙教版数学八年级上册解题模型提高训练 一、倍长中线模型 1． 在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．综合与实践 （1）【阅读理解】如图1，在Rt△ABC中， ∠BAC = 90°， D为斜边BC 上的中点.为了探究中线AD与斜边BC的数量关系，某数学小组经过合作探究，猜想 为了证明这一猜想，他们采用了“倍长中线法”，即将中线AD延长到E，使得AD =DE，连接CE.据此将他们的证明过程补充完整. 证明：∵D为BC的中点 ∴BD=CD 在△ABD与△ECD中， ∴△ABD≌△ECD (① ▲ ) ∴AB =CE，∠ABD =∠ECD ∴(② ▲ // ▲ ) ∴∠BAC+∠ECA= 180°(③ ▲ ) ∵ ∴∠ECA=∠BAC=90° 在△ABC与△CEA中， ∴△ABC≌△CEA(SAS) ∴BC=AE (④ ▲ ) ∴ （2）【深入探究】如图2， △ABC 和△EBD 为等腰直角三角形， ∠BAC=∠BDE=90°， AB =AC， BD =DE. 若点D 在线段BC上， 连接EC， F 为线段EC 的中点，连接AF和DF.猜想AF和DF的数量、位置关系，并说明理由. （3）【拓展应用】如图3，将(2)中条件改为点D 是△ABC 内一点，其余不变.问(2)中的结论仍成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 3．【特例研究】 （1） 在 中，点 D 是 BC 的中点， ①如图 1，点 F 是 AC 边上的一点，连接 FD 并延长FD 至点 E，使得 ，连接 BE，求证： 且 ； ②如图 2，若 ，，AD的取值范围为 ▲ . （2）【拓展延伸】 如图 3，线段 ，过点 B 作一条射线 BC，使得 ，动线段 EF 在射线 BC 上运动（点 E 在点 F 的下方），且 ，点 D 是 AF 的中点，连接 DE. ①请求出 DE 的最小值； ②当 BE 等于多少时，？请说明理由. 4．课本56页中有这样一道题：证明．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等， （1）小玲在思考这道题时．画出图形，写出已知和求证． 已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，． 求证：． 请你帮她完成证明过程． （2）小玲接着提出了两个猜想： ①如果两个三角形有两条边和第三边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等； ②如果两个三角形有两条边和第三边上的高分别相等，那么这两个三角形全等； 请你分别判断这两个猜想是否正确，如果正确，请予以证明，如果不正确，请举出反例． 5．阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证． （1）类比迁移：如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：． 小亮发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程． （2）方法运用：如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明． 二、截长补短模型 6．如图， 平分 ， 过 作 交 于点 ， 若点 在 上， 且满足 ， 则 的度数为（　　） A． B． C． 或 D． 或 7．如图，在中，为AB的中点，为CD上一点，为BC延长线上一点，且.有下列结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图， 在 中， 平分 ， 求证： ． 9．如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，在角平分线上任取一点，连接，则，且它们关于所在直线对称． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题． （1）如图，在中，是直角，分别是和的平分线，相交于点． ①的度数为___________． ②请判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图3，是的外角的平分线，是射线上的一个动点（不与点A重合），猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 三、角平分线模型 10．如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD.若AC=9，BC=5，则BD 的长为　 　. 11．如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，过点 D作DE⊥AC于点 E.若BD=3，CD=5，则△CDE的面积为　 　. 12．如图，在四边形ABCD中，BD平分交BA的延长线于点于点． （1）求证：Rt； （2）若，求四边形ABCD的面积． 四、海盗埋宝模型 13． 如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACF=60°，AB=CE，则与线段BC相等的线段是(　　) A．AC B．AF C．CF D．EF 14． 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，在等腰直角△BDE 中，∠BDE=90°，若 F 是AE的中点，则∠DFC 的度数为(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 15． 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，四边形 BEDF是正方形，连接CD，M是CD的中点，连接AM，EM. （1）如图①，当点 E 在线段BC 上时，求线段MA，ME的数量关系和位置关系； （2）如图②，将图①中的△ABC 绕点 B 顺时针旋转，使点 C 落在 FD 的延长线上，其余条件都不变，则MA，ME的数量关系和位置关系仍然成立吗?请说明理由. 五、半角模型 16．如图，在边长为5的正方形中，，则的周长是（　　） A．12 B．10 C． D．8 17．已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． （2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 18．已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． （2）如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 19．半角模型 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质. （1）问题背景 如图①，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论.他的结论应是　 　. （2）探索延伸 如图②，若在四边形 ABCD 中， ，，E，F 分别是BC，CD 上的点，且 上述结论是否仍然成立，并说明理由. （3）实际应用 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离. 20．数学活动课上，老师让同学们根据自己所学的知识去了解半角模型，探究半角模型的相关结论. （1）【操作发现】 如图①，将正方形纸片ABCD 折叠，使得边AB，AD都落在对角线AC上，展开正方形得到折痕AE，AF，连接EF，则∠EAF 的度数为　 　°； （2）【结论猜想】 如图②，将∠EAF 绕点 A 旋转，使它的两边分别交边 BC，CD 于点 M，N，连接MN，求证：MN=BM+DN； （3）【迁移应用】 如图③，当点 M 在射线 CB 上时(点 B的左侧)，试探究 DN，BM，MN之间的数量关系. 21．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系　 　． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】（1）解：①SAS ②ABCE ③两直线平行，同旁内角互补 ④全等三角形的对应边相等 （2）解：猜想：AF=DF，且AF⊥DF. 证明：如右图，∵∠BAC=∠BDE=90°，F为线段EC的中点 ∴AF为Rt△AEC斜边EC的中线，DF为Rt△DEC斜边EC的中线 从而由(1)中结论，有 ∵△ABC为等腰直角三角形 ∴∠ACB=45° ∵ ∴∠FAC=∠FCA，∠FDC=∠FCD ∴∠AFD=∠AFE+∠EFD=(∠FAC+∠FCA)+(∠FDC+∠FCD)=2∠FCA+2∠FCD=2∠ACB=90° ∴AF⊥DF （3）解：(2)中结论仍成立，理由如下. 如右图，延长DF到G，使得DF=FG.连接CG，AD，AG.延长BD和CG交于H.设BH和AC交于I. ∵F为EC的中点 ∴EF=CF ∵在△EFD与△CFG中， ∴△EFD≌△CFG(SAS) ∴DE=CG，∠DEF=∠GCF ∴DE∥CG ∴ ∵在△BAI与△CHI中，. ∴∠AB1=∠HCl ∵BD=DE ∴ 在与△ACG中， ∴△ABD≌△ACG(SAS) ∴AD=AG，∠BAD=∠CAG ∵ ∴AF⊥DF ∵∠BAD=∠CAG ∴∠DAG=∠DAC+∠CAG=∠DAC+∠BAD=∠BAC=90° ∵AD=AG 又DG=GF， ∴AF=DF. 3．【答案】（1）解：①证明：∵ 点D是BC的中点， ∴， 在和中， ∴（SAS） ∴， 且 ， ∴； ②. （2）解：①延长ED至点N，使得DN=ED，连接AN，BN；作，垂足为H 由（1）知，，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，从而，， 在中，，， 易得，， ∴，（等号成立时，动点E和定点H重合） ∴， ∴ DE的最小值为. ②当时，如上图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴. 4．【答案】（1）证明：∵是边上的中线，是边上的中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：命题①正确，证明如下： 已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且. 求证：. 证明：如图，延长到，使，连接，延长到，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； 命题②不正确，反例如下： 如图3、图4， 在和中，，，边上的高线为，边上的高线为，，与不全等． 5．【答案】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC． 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：线段DF与AD的数量关系为：． 证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示： ∵点F为BE的中点， ∴ 在和中， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE ∴，， ∴ ∵是等边三角形 ∵，， ∴ ∵， ∴ 在和中， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴． 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】证明： 如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接ED， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， 在 和 中， ， ． ， 且 ， ， ． 9．【答案】（1）解：①解：①如图2 ∵、分别是和的平分线， ． ∴ ． 故答案为：； ②，理由如下： 如图，在上截取，连接． 是的平分线， ， 在和中， ， ≌， ， ． 又， ， 在和中， ， ≌， ． ． （2）． 如图所示，在的延长线上，截取，使，连接， 是的角平分线， ， 又， ≌， ， ， 是射线上的一个动点， ， ． 10．【答案】2 11．【答案】6 12．【答案】（1）证明：平分， ， 在Rt和Rt中， ， Rt； （2）解：平分， ， 在Rt中，， ， ， 在Rt和Rt中， ， ， ， 由（1）知：Rt， ， ， 四边形ABCD的面积为． 13．【答案】D 14．【答案】B 15．【答案】（1）解：在△ACD中， ∵M是CD的中点，∠BAC=90°， ∴ ∠MAC=∠MCA. ∵四边形 BEDF 是正方形， ∴∠DEC=90°. 在△DEC中，∵M是CD的中点， ∴MA=ME， ∵∠MCA+∠MCE=∠ACB=45°， ∴ ∠AME=∠MAC+∠MCA+∠MCE+∠MEC=2∠ACB=90°， ∴MA⊥ME； （2）解：成立.理由如下： 如解图，设AB与CF交于点N，在BF上截取BG=CM，连接AG，EG，MG， ∵∠BAC=∠F=90°，∠ANC=∠BNF， ∴∠ACM=∠FBA(三角形的内角和为180°)，在△ABG和△ACM中， ∴ △ABG≌△ACM(SAS)， ∴AG=AM，∠BAG=∠CAM， ∵∠BAC=90°， ∴∠GAM=90°，∵ BG=CM，DM=CM， ∴BG=DM， 在△EBG和△EDM中， ∴△EBG≌△EDM(SAS)， ∴EG=EM，∠BEG=∠DEM， ∵ ∠BED = 90°，∴∠GEM=90°， ∴ ∠EGM = ∠EMG=∠AGM=∠AMG=45°， “海盗埋宝”模型) ∴∠AGE=∠AME=90°， ∴ 四边形AMEG 为矩形， 又∵EG=EM，∴ 四边形AMEG是正方形， ∴MA=ME，MA⊥ME. 16．【答案】B 17．【答案】（1） （2）答：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或或； 18．【答案】（1）；； （2）解：（1）中的结论仍然成立．理由是：如图2，延长到，使，连接． ∵ ∴， ∵在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 在△AEG和△AEF中 ∴（SAS）． ∴． ∵． ∴； （3）或或 19．【答案】（1）EF=BE+DF （2）解：EF=BE+DF仍然成立， 延长FD至点G，使DG=BE，连接AG， 在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG ∵， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ∴△AEF≌△AGF(SAS) ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF （3）解：如图，连接EF，延长AE，BF 相交于点 C， 在四边形AOBC中， ， 又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=180°，符合探索延伸中的条件， ∴EF=AE+BF=1.5×(60+80)=210(海里) 20．【答案】（1）45 （2）证明：如图①，将△ADN绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG，使AD与AB 重合，由旋转的性质可知，△ADN≌△ABG， 图① ∴DN=BG，AN=AG，∠NAD=∠GAB，∠D=∠ABG， ∴∠ABG+∠ABM=180°，即点G，B，M三点共线， ∵∠MAN=45°，∠BAD=90°， ∴∠BAM+∠NAD=45°， ∴∠BAM+∠GAB=45°，即∠MAG=45°， ∴∠MAG=∠MAN， 在△ANM 和△AGM中， ∴△ANM≌△AGM(SAS)， ∴MN=MG， ∵MG=BM+BG，BG=DN， ∴MN=MG=BM+DN； （3）解：DN-BM=MN，理由如下： 如解图②，在 DC上截取DE=BM，连接AE，则易得△ADE≌△ABM(SAS)， 图② ∴∠DAE=∠BAM，AE=AM， ∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°. ∵ ∠MAN=45°，∴ ∠EAN=∠MAN. ∵在△MAN和△EAN中， ∴△MAN≌△EAN(SAS)， ∴EN=MN， 即DN-DE=MN， ∴DN-BM=MN. 21．【答案】（1） （2）解：．理由如下： 如图，在上取，连接． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转得， ∴． ∵， ∴， ∴E，D，C三点共线． 由（1）同理可得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $