精品解析：四川省凉山州2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

A卷 2025-2026学年度上期期末学科素养检测 八年级数学 全卷共6页，满分150分，检测时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1. 中秋节是我国四大传统节日之一，起源于先秦，流传至今，经久不息．在形容中秋场景的描述语“月满中秋”四个字中，可以看作是轴对称图形的字是（ ） A. 月 B. 满 C. 中 D. 秋 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟知轴对称图形的定义，即轴对称图形是指图形沿一条直线对折后，两部分能完全重合是解题的关键． 判断汉字是否为轴对称图形，需检查其结构是否关于某条直线对称． 【详解】解：A、“月”字结构不对称，无对称轴，故此选项不符合题意； B、“满”字左右结构不同，无对称轴，故此选项不符合题意； C、“中”字对折后重合，是轴对称图形，故此选项符合题意； D、“秋”字左右部件异，不对称，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：∵ ，故选：A． 3. 下列哪一个数值最小（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将用科学记数法表示的四个数还原成原数，再比较大小． 【详解】解： A、； B、； C、； D、． ∴数值最小的是， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，一个用科学记数法表示的数还原成原数时，要先判断指数的正负，为正时，小数点向右移动个数位；为负时，小数点向左移动个数位． 4. 数学活动课中，小颖设计了一种简易衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可，衣架模式如图，衣架杆．若衣架收拢时，，则此时、两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，根据题意，利用等边三角形判定：有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形，利用等边三角形性质即可得到两点之间的距离，熟记等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图， ， 是等腰三角形， ， 是等边三角形， ， 故选：B． 5. 如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中，是横梁，是竖梁．在焊接竖梁时，只需要找到的中点D，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 等腰三角形“三线合一” C. 垂线段最短 D. 等边对等角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质解答即可，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 6. 如果分式的值为零，那么x应为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】让分子为0，分母不为0列式求值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件的应用；用到的知识点为：分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 是分式 B. 若的结果不含的一次项，则的值为 C. 是最简分式 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式定义，科学记数法表示绝对值小于1的数，多项式乘多项式，最简分式，A错误，因为分母π是常数，不是字母，不符合分式定义；B正确，通过展开多项式，令一次项系数为零求解；C错误，因为分式可约分，不是最简；D错误，因为科学记数法指数应为负． 【详解】解：A．分母π是常数，不是字母，不符合分式定义，故A错误； B．， ∵结果不含x的一次项， ∴， 解得：，故B正确； C．，原分式不是最简分式，故C错误； D．，故D错误． 故选：B． 8. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）上述操作能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可． 【详解】解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形， ∴面积为， ∴． 故选：A． 9. 如图，，，添加一个条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据全等三角形的判定条件，逐项判断即可． 【详解】解：∵，， 当时，可通过证明， ∴A不符合题意； 当时，∵， ∴， ∴， ∴可通过证明， ∴B不符合题意； 当时，可通过证明， ∴C不符合题意； 当时，不可通过证明， ∴D符合题意； 故选：D． 10. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. 9 C. 9或 D. 或11 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：或， 故选：C． 11. 若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（ ） A. 2或3 B. 3或4 C. 2或5 D. 2或3或5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法，是解题的关键．先解不等式组，得到有解的条件是；再解分式方程，得到，要求y为正整数且，从而是4的正约数，但排除的情况，得到或；结合不等式组条件，和均满足． 【详解】解： 由不等式①得， 由不等式②得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； 解分式方程得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴是4的正约数，即或2或4， ∴或或5， ∵， ∴或， 结合，满足条件的整数a为2或3． 故选：A． 12. 如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，结论①是等腰三角形；②；③；④．其中不正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 证明，根据全等三角形的性质得到，判断①；根据全等三角形的性质得到，，代入计算即可判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的性质判断④． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故①结论正确； 同理可证：， ∴， ∴， 故②结论正确； ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③结论正确； ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④结论错误； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 若式子有意义，则应满足的条件是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，根据分式的分母不能为0和零指数幂的底数不能为0，即可得x应满足的条件． 【详解】解：由分式的分母不能为0，得，即；由零指数幂的底数不能为0，得，即． ∴x应满足且． 故答案为：且． 14. 已知与关于轴对称，则与和的平方是________． 【答案】25 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b的值，然后计算a与b和的平方． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴横坐标相等，即，解得； 纵坐标互为相反数，即，解得， a与b的和为，和的平方为25． 故答案为：25． 15. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 16. 如图，在中，点在的延长线上，，若是等腰三角形，则的度数是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，先求出，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，求出的度数即可． 【详解】解：， ， 当时，， ； 当时，， ， ； 当时，； 综上所述，的度数为或或． 故答案为： 或或． 17. 如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，当线段的值最小时，则的长是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作于点F，此时线段的值最小，根据角平分线的性质得，再证明得． 【详解】解：如图，过点E作于点F，此时线段的值最小， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 18. 如图所示，的高、相交于点，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，先证明，得，，，再根据，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质，零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可； （2）根据分式加、减、乘、除混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. “六一”儿童节前夕，某文具店用4000元购进 种滑板车若干台，用8400元购进种滑板车若干台，所购种滑板车比种滑板车多10台，且种滑板车每台进价是种滑板车每台进价的1.4倍． （1）、两种滑板车每台进价分别为多少元？ （2）第一次所购滑板车全部售完后，第二次购进、B两种滑板车共100台（进价不变），种滑板车的售价是每台300元，种滑板车的售价是每台400元．两种滑板车各售出一半后，六一假期已过，两种滑板车均打七折销售，全部售出后，第二次所购滑板车的利润为5800元（不考虑其他因素，求第二次购进、两种滑板车各多少台？ 【答案】（1）、两种滑板车每台进价分别为200元，280元；（2）第二次购进种滑板车40台、种滑板车60台 【解析】 【分析】（1）设种滑板车每台进价为x元，则B种滑板车每台进价为1.4x元，根据用8400元购买的B种滑板车比用4000元购买的A种滑板车多10台，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论； （2）设第二次购进A种滑板车y台，则购进B种滑板车（100−y）台，根据总利润＝每台的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设种滑板车每台进价为元． 根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意． B种：1．4×200=280（元) ， 答：、两种滑板车每台进价分别为200元，280元； （2）解：设第二次购进种滑板车台． ， 解得：， B种：100-40=60（台）． 答：第二次购进种滑板车40台、种滑板车60台． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，， （1）请在网格中作出四边形关于轴对称的四边形（其中、、、的对应点分别为、、、），并写出、的坐标； （2）直接写出四边形的面积．（已知图中网格的每个小正方形的边长为1个单位长度） （3）在轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图所示，四边形即为所求；、； （2） （3） 如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换作图，几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始的．（1）先作出四边形各顶点关于y轴对称的点，再顺次连接即可；（2）根据割补法即可得到四边形的面积；（3）找到点D关于x轴的对称点，并与点B连接，相交于x轴的点即为P点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形的面积为：， 故答案为：． 【小问3详解】 略 22. 如图，点D在上，，，． （1）说明的理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，等边对等角． （1）根据推出，即可根据得出； （2）根据，得出，再根据三角形的外角定理得出，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状． 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵D为中点， ∴， ∴； （2）为等腰三角形 由（1）可知，且，， 在和中 ， ∴， ∴， 由（1）可知垂直平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（、、、和）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键． （1）由平行可求得，再结合等腰三角形的判定和性质可求得，进而可得； （2）结合（1）的结论，可证明，得，又垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在边长为的等边中，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，连接与边所在的直线相交于点． （1）如图①，当点为的中点时，的长为________ （2）如图②，过点作直线的垂线，垂足为，当点、在移动过程中时，试确定、与边长的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）过点作交于点，证明，推出即可； （2）分两种情形：当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，． 【小问1详解】 解：如图①，过点作交于点， ∵是等边三角形， ． 是中点， ． 、的运动速度相同， ． ， ，，． 是等边三角形． ． ，． ． ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图②，当点在线段上时，，理由如下： 作交于， 由（1）可知：， ． ， ． ． 如图②-1，当点在线段的延长线上时，，理由如下： 理由：作交的延长线于， ∵是等边三角形， ． 、的运动速度相同， ． ， ，，． 是等边三角形． ． ． ． ， ． ． 25. 【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ， ，， ， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； [结论运用]：210海里． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （2）延长到，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （3）连接，延长、交于点，可得，再得，继而得到本题答案． 【详解】解：[初步探索]：；理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ∴， ， ， ， 故答案为：； [探索延伸]：略 [结论运用]：如图3，连接，延长、交于点， ， ，， ， ，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ A卷 2025-2026学年度上期期末学科素养检测 八年级数学 全卷共6页，满分150分，检测时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1. 中秋节是我国四大传统节日之一，起源于先秦，流传至今，经久不息．在形容中秋场景的描述语“月满中秋”四个字中，可以看作是轴对称图形的字是（ ） A. 月 B. 满 C. 中 D. 秋 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 下列哪一个数值最小（    ） A. B. C. D. 4. 数学活动课中，小颖设计了一种简易衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可，衣架模式如图，衣架杆．若衣架收拢时，，则此时、两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中，是横梁，是竖梁．在焊接竖梁时，只需要找到的中点D，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 等腰三角形“三线合一” C. 垂线段最短 D. 等边对等角 6. 如果分式的值为零，那么x应为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 7. 下列说法正确的是（ ） A. 是分式 B. 若的结果不含的一次项，则的值为 C. 是最简分式 D. 8. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）上述操作能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，添加一个条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 10. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. 9 C. 9或 D. 或11 11. 若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（ ） A. 2或3 B. 3或4 C. 2或5 D. 2或3或5 12. 如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，结论①是等腰三角形；②；③；④．其中不正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 若式子有意义，则应满足的条件是________． 14. 已知与关于轴对称，则与和的平方是________． 15. 分解因式：=____. 16. 如图，在中，点在的延长线上，，若是等腰三角形，则的度数是________． 17. 如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，当线段的值最小时，则的长是________． 18. 如图所示，的高、相交于点，若，，，则________． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 20. “六一”儿童节前夕，某文具店用4000元购进 种滑板车若干台，用8400元购进种滑板车若干台，所购种滑板车比种滑板车多10台，且种滑板车每台进价是种滑板车每台进价的1.4倍． （1）、两种滑板车每台进价分别为多少元？ （2）第一次所购滑板车全部售完后，第二次购进、B两种滑板车共100台（进价不变），种滑板车的售价是每台300元，种滑板车的售价是每台400元．两种滑板车各售出一半后，六一假期已过，两种滑板车均打七折销售，全部售出后，第二次所购滑板车的利润为5800元（不考虑其他因素，求第二次购进、两种滑板车各多少台？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，， （1）请在网格中作出四边形关于轴对称的四边形（其中、、、的对应点分别为、、、），并写出、的坐标； （2）直接写出四边形的面积．（已知图中网格的每个小正方形的边长为1个单位长度） （3）在轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 22. 如图，点D在上，，，． （1）说明的理由； （2）若，，求的度数． 23. 如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状． 24. 在边长为的等边中，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，连接与边所在的直线相交于点． （1）如图①，当点为的中点时，的长为________ （2）如图②，过点作直线的垂线，垂足为，当点、在移动过程中时，试确定、与边长的数量关系，并说明理由． 25. 【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $