精品解析：黑龙江省大庆实验中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

大庆实验中学2024级高二上学期期末考试 数学学科试题 说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本题型共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知正项等比数列满足，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据等比中项的定义可得结果. 【详解】因为正项等比数列中，且， 根据等比数列的性质得，即或（舍去）. 故选：B. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在 处取得极大值 D. 在 处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】由图易得在上单调递减，在区间上单调递增，在上单调递减，进而判断各选项即可. 【详解】由图可知，当时，，所以在上单调递减，故AC错误； 而在区间上单调递增，在上单调递减，故B错误， 所以在 处取得极大值，故D正确. 故选：D 3. 已知函数（其中是的导函数），则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导,得到的表达式.再通过令求出的值,最后将 代入求出. 【详解】已知,对求导可以得到,. 令, 将代入导函数有 . 将 代入的表达式中: . 故选：B. 4. 已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则的值为（ ） A. B. C. e D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别表示出，再根据在 处的导数值和函数值分别相等可求结果. 【详解】因为， 所以， 因为在公共点处有相同的切线，则有， 即，所以. 故选：A. 5. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可. 【详解】由题意知， ，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 6. 直线 分别与直线和曲线相交于点A，B，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，表示出x1，求出|AB|，利用导数判断单调性，求出|AB |的最小值. 【详解】设，则， ， ， 令， 则 令，可得，令可得， 函数在 上单调递减，在上单调递增， 时，函数取得最小值，且为. 故选：A 7. 已知可导函数的导函数为，若对任意的 ，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，构造函数，求出函数的导数，结合已知不等式可得在 上单调递增，由函数为奇函数，可求得，然后结合函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，构造函数， 则， 因为对任意的 ，都有，所以， 所以，所以在 上单调递增， 又因为是奇函数， 所以令，得，所以， 所以， 不等式等价于，即， 又在 上单调递增，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D. 8. 已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，令，则只需即可，利用导数求解即可. 【详解】要使在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则只需即可. 因为， 令，则， 所以在上单调递增， 又，， 所以有唯一零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为， 所以， 两边同时取自然对数，则有， 即， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 又， 即，即， 即. 于是实数 的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题（本题型共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知椭圆 ：与双曲线 ：有相同的焦点，，椭圆 长轴两端点分别为，，P为椭圆 上异于，的任意一点，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 直线与直线的斜率之积 C. 的最大值为25 D. 当的面积取得最大值时，的内切圆半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线共焦点求出 ，可判断A；根据点坐标满足椭圆方程，代入化简可判断B；利用椭圆定义和基本不等式可判断C；利用等面积法求出内切圆半径可判断D. 【详解】双曲线 ：化为标准方程：，焦点在轴上， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点， 所以，所以，A正确； 记椭圆的长半轴长为 ，短半轴长为 ，半焦距为， 则 由椭圆方程可知，不妨记， 设，则， 又，所以，所以，B错误； 由椭圆定义可知，，所以， 当且仅当，即点 为短轴端点时，等号成立，C正确； ，所以点 为短轴端点时，的面积取得最大值， 设的内切圆半径为，则， 所以，D正确. 故选：ACD 10. 已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的值为6 D. 若， 则数列的公差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到仍是等差数列，从而根据等差中项判断A；根据等差数列前n项和公式及等差中项，将转化为判断B； 根据等差数列前n项和公式的性质列方程求解C；根据等差数列前 项和公式列方程求解D. 【详解】因为数列，均为等差数列，所以数列仍是等差数列， 所以是与的等差中项， 所以，故A正确. 因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 根据等差中项的性质知，即，所以，故B正确. 因为等差数列的前n项和为，所以成等差数列， 若，则成等差数列， 所以，解得，故C错误. 设的公差 ，因为，所以， 所以，即，则数列的公差为2，故D正确， 故选：ABD 11. 已知函数，，直线与两条曲线和相交，则下列说法正确的是（ ） A. 若共有两个不同公共点、，则 B. 若共有三个不同交点、、，且，则 C. 若共有三个不同交点、、，且，则 D. 若共有四个不同交点、、、，，则的值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数确定函数、的单调性及极值，作出图象，结合图象逐一判断即可. 【详解】由函数，可得. 当时，可得 ，单调递减； 当时，可得 ，单调递增； 所以函数的最小值为. 又由，，可得， 当时，可得 ，单调递减； 当时，可得，单调递增， 所以函数的最小值为. 画出函数，和的图象，如图所示， 由图象可知A正确； 对于B，C选项，由题意可得， ，， 则有，，，故B正确，C错误. 对于D，可得或， 可得， 又由，，， ①当时， 即， 可得，，即， 所以， 所以. ②又由， 可得，，即， 所以， 所以， 综上可得：，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题型共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示点是抛物线的焦点，点 、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】过点 作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得：，所以，故的周长的取值范围为. 故答案为： 13. 如图，是一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的“两腰”分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列.我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：，，，，， ，， ，，， ，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设位于数阵中第 行，根据解出正整数 的值，确定在数阵中的位置，即可得出的值. 【详解】数阵第行的项数为 ， 所以第 行最后一项在数列中对应的项数为， 设位于数阵第 行，则， 又因为，解得， 因为第行最后一项在数列中对应的项数为， 故位于数阵第行第 项，故. 故答案为：. 14. 已知数列，满足，，，，，且数列，的前 项和分别是，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先由两个递推关系可得数列及 均为等比数列，从而可得，再对数列进行分组求和可得及，故可得所求值. 【详解】因为数列，满足，，——①，——②， 所以①②两式相加得，即， 所以数列是以4为首项，以6为公比的等比数列，所以，即——③， 又将①②两式相减得，即， 所以是以6为首项，以2为公比的等比数列，所以，即——④， 联立③④解得，， 所以 ， 即. ， 即. 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题型共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，，，，. （1）求的表达式； （2）求数列的前 项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列和等差数列的通项公式列出等式求出，，，利用等差数列的前 项和公式即可求解； （2）利用裂项相消即可求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为 ， 由，，则，则，解得或（舍）， 则，所以，则， 由，可得，化简得，代入得， 所以； 【小问2详解】 ， 所以 16. 已知函数 . （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数 的最小值为0，求 的值. 【答案】（1）有极小值，无极大值； （2） 当 时，在上单调递减，在上单调递增， 当 时，在，上单调递增，在上单调递减， 当 时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分 、 、、 四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分 ， 两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【小问1详解】 当时， ，则， 当时， ，当 时， ， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当 时，有极小值，无极大值. 【小问2详解】 若 ，则时单调递减，时单调递增； 若 ，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若 ，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 综上， 当 时，在上单调递减，在上单调递增， 当 时，在，上单调递增，在上单调递减， 当 时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 令 ， 当 时， ，函数在上单调递增，故无最小值 所以 ，由 得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以 ， 所以 . 17. 椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. （1）求椭圆E的方程； （2）求F点的轨迹方程； （3）设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证： 的面积为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：若直线的斜率不存在，则，则, 若直线的斜率存在，设 设，，，则 由在椭圆上，在上 两式相减，整理得， 由（2）知、在椭圆上， 则， 两式相减，得 化简得 整理，得，∴ 由得，所以 到直线的距离 ∴. ∵，∴ 所以 的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过点，离心率为，列式解得的值即得； （2）由题意设，，根据及直线与交于点F，知C，D分别是的中点,得，将代入椭圆的方程，消去即可得F点的轨迹方程 （3）分直线的斜率存在与不存在两种情况计算，斜率存在时利用联立方程求出，再求得点到直线的距离，结合即可求得为定值 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以椭圆E的方程为. 【小问2详解】 由题意设，则 ∵，直线与交于点F. ∴C，D分别是的中点,设 则 ∵，在椭圆E：上， ∴， 由，得， 整理得 将①代入，得，即 所以F点的轨迹方程为. 【小问3详解】 略 18. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前 项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和； （3）若对于恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，结合可推导出数列为等差数列，可求出，再由与的关系可求出数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，再利用错位相减法可求得的表达式； （3）所求不等式可化为恒成立，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数 的取值范围. 【小问1详解】 在数列中，①， 又因为②，， 所以①②，得. 又因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 当 时，， 当时，，也满足上式，所以数列的通项公式为 . 【小问2详解】 由（1）知 ， 所以. 所以.③ .④ ③ ④，得 . 所以. 【小问3详解】 由得， 原式可化为恒成立，令， 则， 当或时，，即， 当 时，，即， 可知 故，即 的取值范围是. 19. 已知函数，. （1）证明：，. （2）若，，求 的取值范围. （3）证明：.（参考数据：取，） 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的最小值，进而即可得证； （2），等价于，，设，进而利用导数判断单调性，从而分类讨论可得结果； （3）利用（1）（2）的结论，结合不等式的性质，取，可得结果. 【小问1详解】 . 设，则，所以在上单调递增， 所以，，故，所以在上单调递增， 所以. 【小问2详解】 ，等价于，. 设，则， 令，则，又， 在区间上，则函数单调递增，进而， 所以在上单调递减. 当，即时，，则在上单调递减， 又因为 ，所以恒成立. 当即时， 因为，， 所以，，则在上单调递增， 则当时，，这与，矛盾， 则不符合题意. 综上， 的取值范围为. 【小问3详解】 对于，令，得， 所以. 令，得，所以. 由（2）知，当时，，. 令，得，所以； （也可以取，可得出） 令，得，所以. 所以，， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2024级高二上学期期末考试 数学学科试题 说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本题型共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知正项等比数列满足，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在 处取得极大值 D. 在 处取得极大值 3. 已知函数（其中是的导函数），则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则的值为（ ） A. B. C. e D. 5. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线 分别与直线和曲线相交于点A，B，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知可导函数的导函数为，若对任意的 ，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题型共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知椭圆 ：与双曲线 ：有相同的焦点，，椭圆 长轴两端点分别为，，P为椭圆 上异于，的任意一点，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 直线与直线的斜率之积 C. 的最大值为25 D. 当的面积取得最大值时，的内切圆半径为 10. 已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的值为6 D. 若， 则数列的公差为 11. 已知函数，，直线与两条曲线和相交，则下列说法正确的是（ ） A. 若共有两个不同公共点、，则 B. 若共有三个不同交点、、，且，则 C. 若共有三个不同交点、、，且，则 D. 若共有四个不同交点、、、，，则的值为1 三、填空题（本题型共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示点 是抛物线的焦点，点 、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 13. 如图，是一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的“两腰”分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列.我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：，，，，， ，， ，，，，则_____. 14. 已知数列，满足，，，，，且数列，的前 项和分别是，，则_______. 四、解答题（本题型共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，，，，. （1）求的表达式； （2）求数列的前 项和. 16. 已知函数 . （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数 的最小值为0，求 的值. 17. 椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. （1）求椭圆E的方程； （2）求F点的轨迹方程； （3）设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证： 的面积为定值. 18. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前 项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和； （3）若对于恒成立，求 的取值范围. 19. 已知函数，. （1）证明：，. （2）若，，求 的取值范围. （3）证明：.（参考数据：取，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $