精品解析：北京市大兴区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年北京市大兴区八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 2025年4月，我国科学家基于嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，首次研究获得月球背面月幔的水含量小于2微克每克，这一结果揭示，月球背面月幔比正面（水含量均值约7微克每克）更干燥．其中2微克可以表示为0.000002克，0.000002用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 2. 若使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠0 B. x≠2 C. x=0 D. x=2 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点C．作射线，连接．则下列说法不正确的是（　　） A. 射线是的角平分线 B. 是等腰三角形 C. 直线是线段的垂直平分线 D. 是等边三角形 5. 下列式子从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 扩大9倍 7. 如图，在中，是垂直平分线与的垂直平分线的交点，连接，，．若，则用含的代数式表示是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，于点D，于点E，与相交于点F．给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 计算：________． 10. 若分式的值为0，则x的值为________ ． 11. 计算：_____ ． 12. 若是完全平方式，则k的值是_______ ． 13. 若等腰三角形的两边a，b满足等式，则这个三角形的周长是_____ ． 14. 如图，，点C在线段上，，则的度数是________ ． 15. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，当，时，有，，，其中0，12，72分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码01272．对于多项式，当x，y分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为6，18，则密码是___________． 16. 如图，在中，，D是边的中点，P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）．给出下面三个结论： ①的面积与的面积相等； ②若，则； ③若的面积是的面积的一半，则点P在线段上． 上述结论中，所有正确结论的序号是 _______ ． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）直接写出面积； （2）画出关于x轴对称图形（点A，B，C关于x轴对称的点分别为，，）； （3）若点P是x轴上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为 ． 20. 先化简，再选取一个合适的数作为的值代入求值． 21. 如图，，，，与，分别相交于点F，G，与相交于点H．若，求的度数． 22. 某合作社推进智慧农业转型，将西瓜种植从普通大棚升级为智能大棚．智能大棚搭载物联网温湿度传感器、水肥一体化滴灌系统与智能补光设备，可实现环境参数自动调控与精准种植．升级后，平均每公顷西瓜的产量增加了．已知升级前用普通大棚种植收获西瓜的土地，改用智能大棚种植后总产量增加了．求该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是多少？ 23. 观察下列等式： ①；②；③；④． （1）根据上面四个算式的规律写出第⑤个算式； （2）若设两个连续的奇数分别为和（n为正整数），猜想第n个等式，并证明． 24. 阅读材料并解决问题： 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”对于一个图形，如果能够通过不同的方法计算它的面积，就可以得到一个数学等式． 现有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片，边长为b的正方形卡片，每种卡片若干张，如图所示： 如图1，用一张边长为a的正方形卡片，两张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成一个大正方形（卡片之间不重叠，无缝隙）．大正方形的边长为，因此大正方形的面积可以表示为．由于这个大正方形的面积是两个小正方形与两个长方形的面积和，因此这个大正方形的面积也可以表示为，于是得到等式． （1）在图1的基础上，再选取一张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成如图2所示的大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），用不同的方法计算这个大长方形的面积，可以得到等式 ； （2）在图1的基础上，运用拼图的方法，再选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），使得这个大长方形的面积为． ①在图1基础上补全这个大长方形； ②根据补全的图形，对多项式进行因式分解． 25. 已知射线，等边三角形，，点D为边上一点，作射线，使得，射线与射线相交于点E，连接，作于点F． （1）如图1，当时，若，则的长度是 ； （2）如图2，当时， ①根据题意补全图2； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 26. 对于平面直角坐标系中的点P，点Q和图形W，给出如下定义：点Q在x轴上，过点Q做垂直于x轴的直线l，图形W关于直线l的对称图形为，称图形为图形W关于点Q的衍生图形，若点P恰好在图形上，则称点P是图形W关于点Q的衍生点．已知点，点，点． （1）如图1，已知线段， ①当时，下列各点中，是线段关于点Q的衍生点的是 ； ②若点是线段关于点Q的衍生点，则 ； （2）已知点， ①如图2，若线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，则m的取值范围是 ； ②如图3，点，正方形关于点Q的衍生图形为正方形，若正方形上存在正方形关于原点的衍生点，则m的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北京市大兴区八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 2025年4月，我国科学家基于嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，首次研究获得月球背面月幔的水含量小于2微克每克，这一结果揭示，月球背面月幔比正面（水含量均值约7微克每克）更干燥．其中2微克可以表示为0.000002克，0.000002用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：0.000002用科学记数法表示应为． 故选：B． 2. 若使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠0 B. x≠2 C. x=0 D. x=2 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案． 【详解】∵分式有意义，∴x的取值范围是：x﹣2≠0，解得：x≠2． 故选B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则同底数幂乘法：指底数相同的幂相乘时，底数不变，指数相加．合并同类项：指把多项式中所含字母相同、且相同字母 的指数也相同的项(即同类项)合并成一 项．幂的乘方指幂本身再进行乘方运算时，底数不变，指数相乘．同底数幂除法：指底数相同的幂相除时，底数不变，指数相减．根据合并同类项，同底数幂乘除法法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法，解题的关键是熟练掌握运算法则进行判断． 4. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点C．作射线，连接．则下列说法不正确的是（　　） A. 射线是的角平分线 B. 是等腰三角形 C. 直线是线段的垂直平分线 D. 是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和垂直平分线的判定定理，正确识图是解题的关键． 根据作图痕迹判断即可． 详解】解：连接， 由作图可知，，平分， ∴是等腰三角形，点和点在的垂直平分线上，即直线是线段的垂直平分线． 故选项A，B，C正确，不符合题意． 故选：D． 5. 下列式子从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，需从左边多项式变形到右边积的形式，据此求解即可． 【详解】解：选项A：等式左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 选项B：等式左边是多项式，右边是乘积形式，且等式成立，属于因式分解； 选项C：等式左边是多项式，右边不是乘积形式，不是因式分解； 选项D：等式左边为，右边左边，等式不成立，不是因式分解． 故选：B． 6. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 扩大9倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分子和分母同时扩大相同的倍数（非零），分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵原分式为，当和都扩大3倍时，新分式为 ， ∴分式的值不变． 故选C． 7. 如图，在中，是的垂直平分线与的垂直平分线的交点，连接，，．若，则用含的代数式表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练运用相关定理是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，，，再根据三角形内角和定理及角的和差求解即可． 【详解】解：是的垂直平分线与的垂直平分线的交点， ． ，，． ， ． ． ，即． 故选：B． 8. 如图，在中，，，于点D，于点E，与相交于点F．给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点． 先由等边对等角以及三角形内角和定理求出，然后得到为等腰直角三角形，则，再由角的和差求解，即可判断①；证明，则，，再由等腰三角形三线合一得到，即可判断②；而，结合即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∴所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算负整数指数幂与零次幂，再合并即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，零次幂的含义，熟练的运用负整数指数幂与零次幂的含义进行计算是解本题的关键． 10. 若分式的值为0，则x的值为________ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零、分母不为零是解题的关键． 根据分式的值为0需满足分子为0且分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且，解得：． 故答案为5． 11. 计算：_____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 12. 若是完全平方式，则k的值是_______ ． 【答案】49 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，根据完全平方公式，一次项系数一半的平方即为常数项k的值求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：49． 13. 若等腰三角形的两边a，b满足等式，则这个三角形的周长是_____ ． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 先根据绝对值和平方的非负性求出a和b的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论三边，利用三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长即可． 【详解】解：∵， ∴ 且 ， ∴． 若为腰，则三边为 1，1，3，但 ，不满足三角形三边关系，舍去． 若为腰，则三边为 3，3，1，满足，周长为． 故答案为：7． 14. 如图，，点C在线段上，，则的度数是________ ． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据平角的定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，当，时，有，，，其中0，12，72分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码01272．对于多项式，当x，y分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为6，18，则密码是___________． 【答案】61830 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，将多项式分解因式后代入正整数求因式码，根据前两个因式码确定x和y的值，再计算第三个因式码并排序得到密码． 【详解】解：∵， ∴因式码分别为、、， ∵x，y分别取正整数， ∴， ∵前两个因式码为6和18， ∴，， ∴， ∴， ∴三个因式码为6、18、30，按从小到大顺序排列形成密码61830． 故答案为：61830． 16. 如图，在中，，D是边的中点，P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）．给出下面三个结论： ①的面积与的面积相等； ②若，则； ③若的面积是的面积的一半，则点P在线段上． 上述结论中，所有正确结论的序号是 _______ ． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识以及分类讨论思想是解题的关键． ①分三种情况讨论如下：当点P在线段上时，依题意得，由此得；当点P在的延长线上时，依题意得，由此得；当点P在的延长线上时，依题意得，由此得，综上即可对该结论进行判断；②当时，则B，可依据“”判定和全等得，进而得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可对该结论进行判断；③依题意分以下两种情况：当点P在线段上，且时，则；当点P在的延长线上，且时，则，据此即可解答． 【详解】解：①∵P是直线上的一个动点（点P与点A不重合）， ∴有以下三种情况： 当点P在线段上时，如图①1所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等； 当点P在的延长线上时，如图①2所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等； 当点P在的延长线上时，如图①3所示： ∵点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 此时的面积与的面积相等， 综上所述：当点P是直线上的一个动点时，的面积与的面积相等，故结论①正确． ②当时，如图②所示： ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故结论②正确： ③由结论①正确可知：， ∴当的面积是的面积的一半时，则． 此时有以下两种情况： 当点P在线段上，且时，则，如图③1所示： 理由如下： ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， 即当点P在线段上，且时，的面积是的面积的一半； 当点P在的延长线上，且时，则，如图③2所示： 理由如下： ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∴， 即当点P在的延长线上，且时，的面积是的面积的一半， 综上：面积是的面积的一半，则点P在线段上或在的延长线上， 故结论③不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②． 故答案为：①②． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的计算，正确掌握分式的加法法则是解题的关键． 先约分，再通分，利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．熟悉解分式方程的一般步骤：找出最简公分母，去分母（转化为整式方程），解整式方程，检验（把解得的的值代入最简公分母），是解题的关键．首先将分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 整理、移项，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）直接写出的面积； （2）画出关于x轴对称的图形（点A，B，C关于x轴对称的点分别为，，）； （3）若点P是x轴上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为 ． 【答案】（1）2 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，利用网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题关键． （1）利用三角形的面积公式计算即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）连接交x轴于点P，即可得点P的坐标． 【小问1详解】 解：的面积为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 小问3详解】 解：连接交x轴于点P，连接， ∴， 此时的周长为，为最小值， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 20. 先化简，再选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】化简结果为；代入(且即可)，值为 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先对括号内的分式进行通分合并，再将除法转化为乘法，通过约分得到最简形式，最后选取使原式有意义的值代入计算． 【详解】解： ； 选取(满足且)，代入得． 21. 如图，，，，与，分别相交于点F，G，与相交于点H．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等式的性质得出，进而利用SAS证明可得，再根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：∵ ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 22. 某合作社推进智慧农业转型，将西瓜种植从普通大棚升级为智能大棚．智能大棚搭载物联网温湿度传感器、水肥一体化滴灌系统与智能补光设备，可实现环境参数自动调控与精准种植．升级后，平均每公顷西瓜的产量增加了．已知升级前用普通大棚种植收获西瓜的土地，改用智能大棚种植后总产量增加了．求该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是多少？ 【答案】该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 依据题意，设该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是，则升级前平均每公顷产量为，从而，进而计算可以得解． 【详解】解：设该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是，则升级前平均每公顷产量为， 依题意得：，解得． 经检验：是原方程的解，且符合实际意义． 答：该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是． 23. 观察下列等式： ①；②；③；④． （1）根据上面四个算式的规律写出第⑤个算式； （2）若设两个连续的奇数分别为和（n为正整数），猜想第n个等式，并证明． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】此题考查了数字的变化类，完全平方公式， （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律，并利用完全平方公式进行证明即可． 【小问1详解】 解：∵①；②；③；④，…， ∴第⑤个算式为：； 【小问2详解】 解：由（1）知，第n个等式可表示为：， 证明： 所以此等式成立． 24. 阅读材料并解决问题： 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”对于一个图形，如果能够通过不同的方法计算它的面积，就可以得到一个数学等式． 现有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片，边长为b的正方形卡片，每种卡片若干张，如图所示： 如图1，用一张边长为a的正方形卡片，两张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成一个大正方形（卡片之间不重叠，无缝隙）．大正方形的边长为，因此大正方形的面积可以表示为．由于这个大正方形的面积是两个小正方形与两个长方形的面积和，因此这个大正方形的面积也可以表示为，于是得到等式． （1）在图1的基础上，再选取一张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成如图2所示的大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），用不同的方法计算这个大长方形的面积，可以得到等式 ； （2）在图1的基础上，运用拼图的方法，再选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），使得这个大长方形的面积为． ①在图1的基础上补全这个大长方形； ②根据补全的图形，对多项式进行因式分解． 【答案】（1） （2）①见解析；②2a2+7ab+3b2＝（2a+b）（a+3b） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景等知识点，通过图形面积的不同计算方法推导代数等式并根据给定面积的多项式进行图形拼接是解题的关键． （1）观察图2，大长方形的长是，宽是．计算面积（方法一）：根据长方形面积公式，面积为，计算面积（方法二）：数出组成大长方形的卡片：1张边长为a的正方形、3张长a宽b的长方形、2张边长为b的正方形，总面积为 ．两种方法计算的是同一图形面积，即； （2）①将面积分解为 ，确定大长方形的长为，宽为，确定卡片数量：根据因式分解结果，需要2张边长为a的正方形卡片、7张长a宽b的长方形卡片、3张边长为b的正方形卡片，补全图形；②按长和宽的尺寸，用上述卡片拼接成大长方形． 【小问1详解】 解：图2面积为， 面积也可表示为：， 因此． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①如图： ； ②因为大长方形的长为，宽为， 所以． 25. 已知射线，等边三角形，，点D为边上一点，作射线，使得，射线与射线相交于点E，连接，作于点F． （1）如图1，当时，若，则的长度是 ； （2）如图2，当时， ①根据题意补全图2； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）1 （2）①见解析；②，见解析 【解析】 【分析】（1）当时，则，根据等边三角形性质得，由此得，进而得是线段的垂直平分线，进而得，则，在中根据得，再求出，由此得的长； （2）①依题意补全图形即可： ②过点B作于点H，则，再根据，判定，得，，进而判定，得，然后结合即可求解． 【小问1详解】 解：当时，如图1所示： ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵于点F， ∴是直角三角形， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：①补全图形如图所示： ②线段，与之间的数量关系是：，证明如下： 过点B作于点H，如图所示： ∴， ∵于点F， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角直角三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 26. 对于平面直角坐标系中的点P，点Q和图形W，给出如下定义：点Q在x轴上，过点Q做垂直于x轴的直线l，图形W关于直线l的对称图形为，称图形为图形W关于点Q的衍生图形，若点P恰好在图形上，则称点P是图形W关于点Q的衍生点．已知点，点，点． （1）如图1，已知线段， ①当时，下列各点中，是线段关于点Q的衍生点的是 ； ②若点是线段关于点Q的衍生点，则 ； （2）已知点， ①如图2，若线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，则m的取值范围是 ； ②如图3，点，正方形关于点Q的衍生图形为正方形，若正方形上存在正方形关于原点的衍生点，则m的取值范围是 ． 【答案】（1）①， ；②2 （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、点的坐标的特征、关于轴对称的图形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握新定义的规定并灵活应用是解题的关键． （1）①依据新定义的规定画出线段关于点Q的衍生图形，结合图形解答即可；②利用衍生点的定义得到线段关于点Q的衍生图形，利用轴对称的性质解答即可． （2）①利用衍生图形和衍生点的定义确定m的临界值即可；②利用分类讨论的思想方法求得m的临界值即可得出结论． 【小问1详解】 解：①当时，点Q为， ∴线段是线段关于点Q的衍生图形，如图， 由图形可知点在线段上， ∴是线段关于点Q的衍生点的是． 故答案为：，． ②∵点是线段关于点Q的衍生点， ∴以为端点的线段为线段关于点Q的衍生图形， ∵线段与线段关于直线对称， ∴． ∴． 故答案为：2． 【小问2详解】 解：①∵当或时，线段上恰好有关于点Q的一个衍生点， 当或时，线段上没有关于点Q的衍生点， ∴当时，线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，如图： ∴若线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，则m的取值范围是． 故答案为：； ②设正方形为正方形关于原点的衍生图形，如图， 当正方形关于点Q的衍生图形正方形的边与重合时，正方形关于原点的衍生点恰好在线段上， ∵， ∴， ∵， ∴A，关于直线对称， ∴此时． 当正方形关于点Q的衍生图形正方形的边与重合时，正方形关于原点的衍生点恰好在线段上， ∵， ∴， ∵， ∴D，关于直线对称， ∴此时． ∵正方形上存在正方形关于原点的衍生点， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $