精品解析：陕西省榆林市榆阳区余兴庄乡中学2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

2025-2026年第一学期期末考试试卷 九年级数学（全册） 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称的性质(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；关于中心对称的两个点，它们的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分)来分析点关于点的对称点． 【详解】解：正方形的对称中心是对角线的交点， 关于点成中心对称的两个点，需要满足连线经过且被平分， 观察图形，点在正方形的底边，其关于的对称点应在正方形的顶边，对应图中的点． 故选：C． 【点睛】 2. 已知关于的一元二次方程，根据，可得“”内的数是（） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知是解题的关键． 根据题目中给出的判别式计算过程，可得“”内的数是3． 【详解】解：∵一元二次方程为，其中,, 判别式为， ∴，即“”内的数是3， 故选：D． 3. 青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，解题的关键是记住中心角．求出正五边形的中心角即可． 【详解】解：正五边形的中心角． 故选：C． 4. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键．分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A、中，是无理数，故不符合要求； B、中，是有理数，故符合要求； C、中，是无理数，故不符合要求； D、中，是无理数，故不符合要求； 故选：B． 5. 学生在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量m（单位：克）固定时，溶液质量n（单位：克）与溶质质量分数w之间成反比例函数关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则n与w之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 利用已知条件时，，从而得到 w 与 n 的反比例关系式． 【详解】解：设， 由题意可得时，，代入可得， ， 解得， 故函数关系式为， 故选：A． 6. 一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据主视图与俯视图确定小正方体的个数是解题关键． 根据主视图与俯视图，可确定小正方体的分布，从而确定左视图． 详解】解：如图： 则几何体的左视图为： 故选：B． 7. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值不可能是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，抛物线与x轴有两个交点等价于一元二次方程的判别式大于零，据此求解k的范围并对比选项，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 则， 解得 ， 结合四个选项，唯有A选项，即A选项符合题意； 故选：A． 8. 如图是某游乐场海盗船的大致示意图，海盗船的外轮廓是的一部分，静止时外轮廓与水平底座相切于点C，船的最高点A、B到水平底座的距离相等，已知的半径为米，A、B两点之间的距离为8米，则点A到水平底座的距离h为（ ） A. 4米 B. 3.9米 C. 3.2米 D. 3米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆切线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握圆的相关性质是解题关键．水平底座为，连接，交于点，根据题意得到，由垂径定理可得米，再利用勾股定理求出，从而求出米，即可求解． 【详解】解：如图，水平底座为，连接，交于点， 静止时外轮廓与水平底座相切于点C， ， 船的最高点A、B到水平底座的距离相等， ， ， 米， 米， 的半径为米， 米， ， 米， 即点A到水平底座的距离h为3.2米， 故选：C． 9. 某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（ ） A. 按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B. 按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C. 按小安的设元方法，应列方程为 D. 按小溪的设元方法，应列方程为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据小安的设元方法和小溪的设元方法结合题意可依次排除选项． 【详解】解：A、按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣，故原说法错误； B、按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣，故原说法错误； C、按小安的设元方法，应列方程为，故原说法错误； D、按小溪的设元方法，应列方程为，故原说法正确； 故选D． 10. 如图，在的、边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，现有下列三种尺规作图确定E、F的方案，则正确的方案为（ ） A. 甲、乙、丙都对 B. 只有甲、乙对 C. 只有甲、丙对 D. 只有乙、丙对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，作已知角的平分线，圆内接四边形性质，相似三角形的判定等知识，综合性强﹒甲：由尺规作图可得四边形是圆内接四边形，证明，结合，即可证明；乙：由尺规作图可得，结合，即可证明；丙：由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线，证明，得到，即可证明﹒ 【详解】解：甲：由尺规作图可得四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 乙：由尺规作图可得， 又∵， ∴； 丙：由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 即甲、乙、丙都对 故选：A． 11. 当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线：与抛物线：是关于直线的对称曲线，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．解题的关键是根据题意得到抛物线的顶点坐标是． 根据题意知，抛物线与抛物线的开口方向、大小均一致，且顶点坐标关于直线对称，据此解答． 【详解】解：抛物线与抛物线是关于直线的对称曲线， ， 抛物线，其顶点坐标是． 点关于直线对称的点的坐标为． 抛物线与抛物线是关于直线对称， 抛物线的顶点坐标是，其开口方向与大小均与抛物线一致， 抛物线的表达式为． ，， ． 故选：D． 12. 如图，已知矩形，，，矩形是由矩形绕点顺时针旋转得到的，点为边上一点，现将四边形沿折叠得到四边形，当点恰好落在上时，的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得出，，再根据矩形的性质和旋转的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，连接，再根据勾股定理，得出，，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，， ∵矩形是由矩形绕点顺时针旋转得到的，，， ∴，， ∴， ∴， 连接， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ， ， 即， 解得：， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线是解本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 一元二次方程的两根之积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：将方程化为标准形式， 其中二次项系数，常数项， 根据根与系数的关系，两根之积为， 故答案为：． 14. 为迎接2025年世界环境日（6月5日），某校开展“环保知识竞答”活动，准备了一个不透明的箱子，里面装有红、蓝两种颜色的答题卡片（除颜色外都相同）．通过大量重复摸卡试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近．若箱子中共有80张卡片，则估计蓝色卡片约有___________张． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据蓝色卡片的频率可得摸到蓝色卡片的概率，根据概率公式即可求出蓝色卡片的数量． 【详解】解：设木箱中蓝色卡片有x张，根据题意得： ， 解得：， 则估计箱子中蓝色卡片有32张． 故答案为：32． 15. 如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点恰好落在斜边上．已知，，则旋转过程中边扫过的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，结合得出，根据扇形面积公式及边扫过的面积即可． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：由条件得， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴边扫过的面积为， 故答案为：． 16. 图是某个零件横截面的示意图，已知，，淇淇将宽度为的直尺按图、图方式摆放，其中图中直尺的一边与重合，图中直尺的直角顶点在上，所测得的具体数据（单位：）如图所示，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，如图，过点作于，过点作于，在上截取，过点作交于，先证明，可得，设，则，，可求得，在中，，建立方程可求得，从而求得． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，在上截取，过点作交于， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：(舍去)或，. ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了三角函数值，应用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练记住特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入求解即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ， ； （2） ， ， 可得， ∴，． 18. 如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． （1）在P、Q、M、N四个点中，位似中心是点_______； （2）在网格中将补充完整，并写出点的坐标； （3）_______． 【答案】（1）Q （2）见解析；点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）连接，，并分别延长相交于点，则点为与的位似中心，即可得出答案； （2）结合位似图形的性质，连接并延长，在的延长线上取点，使，连接，即可； （3）利用位似图形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接，，并分别延长相交于点，则点为与的位似中心， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接并延长，在的延长线上取点， 则即为所求， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：与是位似图形，且， ， 故答案为：． 19. 传统文化 河北梆子是河北省最具代表性的地方声腔剧种，是国家级非物质文化遗产之一，河北梆子分为生、旦、净、丑四行，在不同行当中，其表演艺术各有特点．现有四张不透明卡片（分别记为A，B，C，D），如图，正面分别印有“生”“旦”“净”“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案不同外其余都相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放在桌上． （1）“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘旦’角色的卡通人物”这一事件属于______（填“随机”“必然”或“不可能”）事件； （2）“净”俗称“大花脸”，“丑”俗称“小花脸”，若从这四张卡片中随机抽取两张，请通过画树状图或列表的方法，求抽到的两张卡片恰好印有“净”和“丑”的卡通人物的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，事件的分类方法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据事件的分类方法，进行求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两张卡片恰好印有“净”和“丑”的卡通人物的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘旦’角色的卡通人物”这一事件属于随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：画树状图如下， 由树状图分析可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好印有“净”和“丑”的卡通人物的有2种， ∴抽到的两张卡片恰好印有“净”和“丑”的卡通人物的概率为. 20. 为迎接农历马年的到来，提前点燃节日消费热度，各平台推出年终促销让利活动．某商家出售一款零食，在销售过程中，该商家发现这款零食的日销售量（单位：kg）与日销售单价（单位：元）之间成反比例函数关系，其函数图象如图所示，点在该反比例函数图象上． （1）求与之间的函数表达式（不必写的取值范围）； （2）当日销售单价为元时，对应的日销售量为_______； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值. ()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【小问1详解】 解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵，∴在第一象限，随的增大而减小， ∴取值范围为 21. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图(是基座的高，是主臂，是伸展臂，)．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （1）求点P到地面的高度； （2）若，求的长．（结果保留根号）（参考数据，，，） 【答案】（1）点到地面的高度约为； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答； （2）根据三角形的内角和定理和解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 22. 【情境】利用一张直角三角形纸片ABC进行折叠探究，已知，，． 【操作】是直角边上的中线，将直角三角形纸片沿折叠，使点C落在平面上处，连接． 【探究】为了解决问题，珍珍过点D作的垂线，垂足为点E，如图． （1）与的数量关系为______； （2）珍珍说：“通过上述操作，可以得到．”请判断珍珍的说法是否正确，并说明理由； 【应用】（3）直接写出的长． 【答案】（1）；（2）珍珍的说法正确，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由三角形中线得到，由折叠得到，即可得到，然后利用三线合一性质求解即可； （2）由三线合一得到，由折叠得，然后证明出，结合即可证明； （3）首先利用勾股定理求出，然后由得到，然后代入求出，即可得到． 【详解】解：（1）∵是直角边上的中线， ∴ 由折叠得， ∴ ∵ ∴； （2）珍珍的说法正确，理由如下： ∵， ∴ 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （3）∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了三线合一性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图，抛物线：的对称轴为，且与y轴交点的纵坐标为． （1）求b，c的值； （2）若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），求A、B两点的坐标； （3）抛物线：经过抛物线的顶点P． ①请判断抛物线的顶点Q是否在抛物线上，并说明理由； ②若，点E是在点P和点Q之间抛物线上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，直接写出长度的最大值． 【答案】（1）b的值为，c的值为 （2）， （3）①抛物线的顶点Q在抛物线上，见解析；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数最值，二次函数顶点、对称轴，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可解答； （2）把代入函数解析式即可解答； （3）①求得顶点P的坐标，代入，得到之间的关系，求得抛物线的顶点Q，代入即可判断； ②设点E的横坐标为，表示出的长度，根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线：的对称轴为， ， 解得， 抛物线与y轴交点的纵坐标为， ； 【小问2详解】 解：根据（1）可得抛物线的解析式为， 令， 解得， 点A在点B左侧， ，； 【小问3详解】 解：①抛物线的顶点Q在抛物线上，理由如下： ， ， 把代入抛物线：， 可得， ， 抛物线：， ， 把代入：， 可得， ， 把代入抛物线：， 可得， ∴抛物线的顶点Q在抛物线上； ②， ， ∴抛物线：，， 设，则， ， ， ， 当，取最大值为． 24. 在图1～图3中，的半径为10，直线经过的圆心O，且与交于A，B两点，点C在上（直线上方），且，点P是直线上的一个动点（不与圆心O重合），直线与交于点Q． （1）点C到的距离为_______； （2）如图2，当与相切时，求的长； （3）连接，当，且点P在线段上时． ①请根据题意，利用三角尺在图3中画出P，Q两点的位置； ②求与之间的距离； （4）当时，直接写出的长． 【答案】（1）6 （2） （3）①见解析；② （4）5或25 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点C作于M，解求出的长即可得到答案； （2）由切线的性质可得，解得到，设，再利用勾股定理建立方程求解即可； （3）①根据题意即可作图；②求出，得到，则，设点到的距离为h，利用等面积法求出h的值，再根据平行线的性质即可得到答案； （4）分点P在点O右边和左边两种情况，过点P作直线的垂线，垂足为H，设出线段的长，解直角三角形表示出的长，再利用线段的和差关系建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作于M， 在中，， ∴， ∴点到的距离为6； 【小问2详解】 解：由切线的性质可得， 在中，， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：①如图，即为所作： ②过点C作于M， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴与之间的距离为； 【小问4详解】 解：如图所示，当点P在点O右边时，过点P作于H， 在中，， 在中，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点O左边时，过点P作，交延长线于H， 同理可得， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为5或25． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第一学期期末考试试卷 九年级数学（全册） 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. 已知关于的一元二次方程，根据，可得“”内的数是（） A. B. 1 C. D. 3 3. 青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A B. C. D. 5. 学生在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数溶液，当溶质质量m（单位：克）固定时，溶液质量n（单位：克）与溶质质量分数w之间成反比例函数关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则n与w之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 7. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值不可能是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图是某游乐场海盗船的大致示意图，海盗船的外轮廓是的一部分，静止时外轮廓与水平底座相切于点C，船的最高点A、B到水平底座的距离相等，已知的半径为米，A、B两点之间的距离为8米，则点A到水平底座的距离h为（ ） A. 4米 B. 3.9米 C. 3.2米 D. 3米 9. 某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（ ） A. 按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B. 按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C. 按小安的设元方法，应列方程为 D. 按小溪的设元方法，应列方程为 10. 如图，在的、边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，现有下列三种尺规作图确定E、F的方案，则正确的方案为（ ） A. 甲、乙、丙都对 B. 只有甲、乙对 C. 只有甲、丙对 D. 只有乙、丙对 11. 当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线：与抛物线：是关于直线的对称曲线，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 12. 如图，已知矩形，，，矩形是由矩形绕点顺时针旋转得到的，点为边上一点，现将四边形沿折叠得到四边形，当点恰好落在上时，的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 一元二次方程的两根之积为______． 14. 为迎接2025年世界环境日（6月5日），某校开展“环保知识竞答”活动，准备了一个不透明的箱子，里面装有红、蓝两种颜色的答题卡片（除颜色外都相同）．通过大量重复摸卡试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近．若箱子中共有80张卡片，则估计蓝色卡片约有___________张． 15. 如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点恰好落在斜边上．已知，，则旋转过程中边扫过的面积为______（结果保留）． 16. 图是某个零件横截面的示意图，已知，，淇淇将宽度为的直尺按图、图方式摆放，其中图中直尺的一边与重合，图中直尺的直角顶点在上，所测得的具体数据（单位：）如图所示，则_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． （1）在P、Q、M、N四个点中，位似中心是点_______； （2）在网格中将补充完整，并写出点的坐标； （3）_______． 19 传统文化 河北梆子是河北省最具代表性的地方声腔剧种，是国家级非物质文化遗产之一，河北梆子分为生、旦、净、丑四行，在不同行当中，其表演艺术各有特点．现有四张不透明卡片（分别记为A，B，C，D），如图，正面分别印有“生”“旦”“净”“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案不同外其余都相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放在桌上． （1）“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘旦’角色的卡通人物”这一事件属于______（填“随机”“必然”或“不可能”）事件； （2）“净”俗称“大花脸”，“丑”俗称“小花脸”，若从这四张卡片中随机抽取两张，请通过画树状图或列表方法，求抽到的两张卡片恰好印有“净”和“丑”的卡通人物的概率． 20. 为迎接农历马年的到来，提前点燃节日消费热度，各平台推出年终促销让利活动．某商家出售一款零食，在销售过程中，该商家发现这款零食的日销售量（单位：kg）与日销售单价（单位：元）之间成反比例函数关系，其函数图象如图所示，点在该反比例函数图象上． （1）求与之间的函数表达式（不必写的取值范围）； （2）当日销售单价为元时，对应的日销售量为_______； （3）若，求的取值范围． 21. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图(是基座的高，是主臂，是伸展臂，)．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （1）求点P到地面的高度； （2）若，求的长．（结果保留根号）（参考数据，，，） 22. 【情境】利用一张直角三角形纸片ABC进行折叠探究，已知，，． 【操作】是直角边上的中线，将直角三角形纸片沿折叠，使点C落在平面上处，连接． 【探究】为了解决问题，珍珍过点D作的垂线，垂足为点E，如图． （1）与的数量关系为______； （2）珍珍说：“通过上述操作，可以得到．”请判断珍珍的说法是否正确，并说明理由； 【应用】（3）直接写出的长． 23. 如图，抛物线：的对称轴为，且与y轴交点的纵坐标为． （1）求b，c的值； （2）若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），求A、B两点的坐标； （3）抛物线：经过抛物线的顶点P． ①请判断抛物线顶点Q是否在抛物线上，并说明理由； ②若，点E是在点P和点Q之间抛物线上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，直接写出长度的最大值． 24. 在图1～图3中，的半径为10，直线经过的圆心O，且与交于A，B两点，点C在上（直线上方），且，点P是直线上的一个动点（不与圆心O重合），直线与交于点Q． （1）点C到的距离为_______； （2）如图2，当与相切时，求的长； （3）连接，当，且点P在线段上时． ①请根据题意，利用三角尺在图3中画出P，Q两点的位置； ②求与之间的距离； （4）当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $