山东省烟台市2025-2026学年高三上学期期末学业质量水平诊断数学试题

20252026学年度第一学期期末学业质量水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区 书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求。 1.设全集U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={4,5},则(CA)∩(CB)= A.{1,2,3,5} B.{1,2,3} C.{1,5} D.1) 2.已知a>1 则a+ 2 的最小值为 2 2a-1 3 B. D.3 2 3.已知a>0且a≠1，则“1og.3 <1”是“a>1”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知直线1：mx+y-2m+1=0,圆C:(x-1)2+y2=4,当直线1被圆C截得的弦长最短 时，实数m的值为 A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.已知菱形ABCD的边长为1，E,F分别是BC,CD的中点，∠ABC=元，则A正BF= A.-5 B-3 c.3 D. 8 8 8 8 6若正三被合C-44G的体积为7，且B=2,4码=4，则棱从前长意为 A.√2 B.2 C.3 D.3 7.若函数f(x)=c0s( 受急cs%5(w>0)在区间得 )内无零点，则0的取值 26 24 范围为 A0 4 co哥 8 D.2) 8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),f(x+2)=f(-x),(x-)f'(x)≥0，且 对任意的x∈R,有f(3-cos2x)≤f(msin2x),则实数m的取值范围为 A.(-o0,-1] B.[-1,1] C.[1,3] D.[3,+o) 高三数学试题（第1页，共4.页) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f纠=2x-3r+2,∫()为f因的导函数，则 3 A.f')=2 B.函数f(在（宁，+o)上单调递增 C.函数f(x)的极大值为 2 D.函数y=f(x+宁)为奇函数 10.已知抛物线C:y=mx经过点M,),其焦点为F，P为C上一动点，点N(0,),则 A1=9 B.直线MN与抛物线C有两个公共点 C.满足|PM|=√2|PWI的点P有两个 D,点P到y轴的距离与其到点N的距窝之和的最小值为√ 2 11.如图，已知点P是棱长为V3的正方体ABCD-AB,CD,表面上 DI 一动点，则下列结论正确的有 B C A.当点P在线段BD上时，AC⊥ALP B.当点P在线段B,D上时，API∥平面BDC B C C.当点P在面CDD,C上时，三棱锥P-ABD外接球的表面积的最大值为6π D.当点P在面CDD,C上时，若PB+PC=2+V万，则点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2am名的点则Pa马的为 6 13.已知双曲线C: y2 云=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为R,R,过R的直线与C的 左、右两支分别交于点P,2,若P为线段F2的中点，且|P2b2 PE2|成等差数列， 则双曲线C的离心率的值为 14.若数列{an}满足an+2+an之2a+1（n∈N°，当且仅当n为奇数时取“=”)，则称{an}为 “T数列”.设数列化n}为“T数列”，bn∈N”,b=2,b2=5,则b的最小值为一： 若b=2026,则正整数k的最大值为一，（本小题第一空2分，第二空3分） 高三数学试题（第2页，共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在四楼锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD, PA=AB=2AD=2,E,F分别为线段PB,BC的中点. (1)证明：平面AEF⊥平面PBC: (2)求二面角A-EF-D的余弦值. 16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为ab,c,B=,点D满足BC=48D. (1)若AD=1,求△ABC面积的最大值； (2)若∠CAD=元，求C. 3 17.(15分)已知点R(,),2(x2,y2),…,P(xn,yn)2…均在抛物线x2=4y上，=1， 0<x1<xn,以点Pn为圆心的圆P与x轴相切，且圆Pn与圆Pn外切，n∈N'. (1)求数列{xn}的通项公式： (2)设圆n的面积为Sn,,=VS,+√S2+…+√Sn,求证：T<√元 8I7分)已知椭圆T答土片=1>b>0)的离心率为，，其左、右焦点分别为R, 上顶点为M,且△MF的面积为1. (1)求T的方程； (2)设过点耳的直线与过点F2的直线2相交于点P，,2的斜率分别为飞，飞2，且 1_2=1. 飞k2 (1)若Q为T上的动点，求PQ的最小值： (i)设O为坐标原点，若1与T相交于点A,B,2与T相交于点C,D,且直线 OA,OB,OC,OD的斜率之和为0，求点P的坐标. 高三数学试题（第3页，共4页） 8(17分》已知函数f)上Ce(a∈R) (1)当x>0时，f(x)>1,求a的取值范围； 2设a=1,e=飞，)，n∈N,且x=方 (1)证明：数列{xn}是递减数列； ()证明1e-1水点. 高三数学试题（第4页，共4页） 2025~2026学年度第一学期期末学业质量水平诊断 高三数学参考答案 一、选择题： 1.D2.C3.B4.A5.B6.A7.C8.A 二、选择题 9.ACD 10.AC 11.ABD 三、填空题 2月 13.√1314.16,86 四、解答题 15.解：（1)证明：因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC.…1分 因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥AB. 又PAC平面PAB,ABC平面PAB,PA∩AB=A, 所以BC⊥面PAB,…3分 因为AEC面PAB,所以BC⊥AE, …4分 在△APB中，因为AP=AB,E为PB中点，所以AE⊥PB, 因为PBC平面PBC,BCC平面PBC,PB∩BC=B, 所以AE⊥平面PBC.…5分 又AEC平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC …6分 (2)以D为原点，DA,DC的方向分别作为x,y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， D-z,则A1,00,B12,0,P0,02),E1,11),F（2,0), …7分 因为E=(0,1,),AF=(←72,0)， 设m=(x,y,Z)为平面AEF的一个法向量， y+21=0 则有 2+2y=0” 1 令x=4,得y1=1,21=-1,此时m=(4,1,-1) ·9分 又D正=11,1)，DF=(,2,0),设n=(x,片，2)为平面DEF的-个法向量， 高三数学答案（第1页，共6页） x2+y2+22=0 则有 5天20令54，得%=-石3，所以”=4--》1分 设二面角A-EF-D的平面角的大小为B,则cos0cos<m,n>,…12分 又cos<m,n>mnm=l6-1+3到_3V13 |mln|√18×√2613 所以，二面角A-EF-D的余弦值为 3V13 …13分 13 16.解：(1)在△ABD中，由余弦定理得，AD2=AB2+BD2-2AB·BD cos B,·1分 所以1=c2+(}2-2cx9x≥ac_ae-e …3分 42244 所以aC≤4，当且仅当“2=c”时取“=”，…4分 4 所以Sac=号acsin Bs)×4×sin5=V5,即△ABC面积的最大值为5.…6分 1 2 2 3 3a (2)在△ACD中，由正弦定理得， 4=AD ,即AD=3 asin C …8分 nπsinC sin- 4sin 3 3 a asin- 在△ABD中，由正弦定理得， 4 、AD ,即AD= “3 sin∠BAD ,…10分 sin 4sin∠BAD 3 因为∠BAD+花+C+C=元，所以∠BAD=T-C, 33 3 元 于是3 asin C asin 3 整理得4 sin Csin(径-C)=1,…11分 4sin交 4sin∠BAD 3 3 高三数学答案（第2页，共6页） 4sin Csin(-C)=4sin Ccos C--sin c)=3sin2C+cos2C-1-1. 即sin(2C+乃)=1， …13分 因为0xC<号所以2C+名e停名.所以C+日-分 62 解得C=乃 6 …15分 1解：（因为点2(6y)在抛物线=4上，所以=兰且>0 4 因为圆Pn(xn,yn)和圆Pn1(xn+1,yn+i)外切且圆Pn均与x轴相切， 所以PPn+=rn+rn+l=yn+yn+' … 2分 所以V(xn-x+)2+(y。-yn+)2=yn+y1 2 整理得(xn-x+1)2=4ynyn1= …3分 4 因为0<X州<X,所以x,-X刚1=业，4分 2 m子专以是以为片器 …6分 1*a-时安x …7分 X (2)由(1)知，5，=Vi64yπ-+ …9分 因为，1。<1=11 …11分 n+1)2n(n+)nn+1 元-+瓜++反<顶x0-片+日中 一十十一 …13分 nn+11 即Z<一丘，原邀得证…15分 高三数学答案（第3页，共6页） 18.解：(1)由题意知S=巨，1 a-2’2 X2CXb=1,…2分 又a2=b2+c2,解得a=√2，b=1, 所以r的方程为。十少=1. 2 …4分 (2)()设P(,o),显然≠±1，%≠0，则k=,k2=0 …5分 x,+1 x0-1 因为-2=1，代入整理得x+。-3=0(0≠士1，x≠3).…7分 k k2 设与直线x+y-3=0平行且与T相切的直线方程为x+y+m=0, (巴+y= 联立{2 ,得3x2+4mx+2m2-2=0,…8分 x+y+m=0 △=16m2-12(2m2-2)=24-8m2=0,所以m=±V5,…9分 所以IP的最小值为3-V5_32-V6 …10分 W1+1 2 (ii)设直线l的方程为y=k(x+1),设A(x,y),B(x2,y2),因为ko4,kos均存在，所以点 A,B均不在y轴上，所以k≠±1， 联立方程 5+y2=1,得1+2x+4x+2-2=0, 2 y=k(x+1) 4k22k2-2 所以x+名=1+2派= 1+2k2’ 所以k4+k8=立+业=++5+》-2k+k+生=-2，…12分 1x2X X2 x2k2-1 高三数学答案（第4页，共6页） 2k2- 同理可得kc+km=-k2一1 k2≠士1，…14分 所以无au+kae+iac+koo=2头+2张2=0， Γ1-k21-k22 即（化k2-1)(化+2）=0，…15分 当4=1时，又2=1整理得2+么-1=0，解得么=方或k=-1（舍) 1 k飞 由6=1 。+1=>’。+yo-3=0,解得P(气，3)， …16分 当k+k=0时，又上-2=1得k=3,由少=3，x+,-3=0,解得P0,3), k k2 x+1 54、 综上，满足条件的点P的坐标为 23)或P0,3)。…17分 19.解：(1)当x>0时，f(x)>1,即axe-e+1>0, 令g(x)=axe-e+1,则g'(x)=e*(ax+a-1),…1分 当a≤0时，因为x>0,所以ax+a-1<0,即g'(x)<0在(0，+oo)上恒成立，所以g(x) 在(0，+∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)=0,不合题意；…2分 当0<a<1时，令g0)=0,解得x=-“>0,所以当x∈(0,1-9时，g()<0,g) 单调递减，当x∈（一，+）时，g0)>0,g)单调递增，则g二9)<g0)=0,不 合题意；…3分 当a≥1时，令g()=0,解得x=1-0≤0，此时g)>0在(0，∞)上恒成立，所以g) a 在(0，+oo)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0恒成立，符合题意.…4分 综上，a的取值范围为[1，十oo).… …5分 (2)因为a=1,由(1)知，当x>0时，f(x)>1. 高三数学答案（第5页，共6页） （1）证明：因为x=)>0,所以e=fx)>1,所以6>0 2 因为x2>0,所以e=f(x2)>1,所以x>0.以此类推，xn>0(n∈N).…6分 因为xh-x,=lhe-x=h点ec-he3=n …8分 ex-1 etn-1 令g(x)=x-(e*-1),则g'(x)=1-e,当x>0时，g'(x)<0,所以g(x)在(0，+o∞)单 减，即g(x)<g(0)=0,即x+1-e"<0(x>0), 所以0<x<e-1,所以0<x,<1. e-1 所以血。之<0，所以x-戈<0，故数列化，}是递减数列 …10分 (i)证明：由题意e*-1V-1<1= 2-, …11分 于是，要-1水7，只需证-水心-，N…13分 因为飞，>0，只需证e心-1<5-)，即证(ey-2x,e-1>0.…14分 e-1 2 令h(x)=(e)2-2xe"-1(x>0), 则h'(x)=2(e)2-2(e"+xe)=2e(e"-x-1), 由(i)知，当x>0时，e*-x-1>0,所以h'(x)>0,所以h(x)在(0，+oo)上单调递增， 又h(0)=0,故对任意的x>0,h(x)>0.… …16分 所以h(x,)>0,即e-1ke-l,n∈N,原题得证。…17分 高三数学答案（第6页，共6页）