对数函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

第九讲 对数函数第 - 1 - 页 一、基础知识梳理 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为 . 2、对数函数的图象与性质 底数 图象 性质 定义域： 值域：R 图象过定点 ，即恒有loga1＝0 当时，恒有 当时，恒有 当时，恒有 当时，恒有 在上是 在上是 注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分和两种情况讨论 3、常用结论 (1)对数函数的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1)． (2)对数函数的图象与底数大小的比较． 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b. 即在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 二、典型例题 题型一 对数函数的图象及应用 例1 (1)已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A．， B．， C．， D．， (2)已知函数，若，且，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 题型二 对数函数的性质及应用 例2 比较大小 (1)设，则的大小关系为( ) A． B． C． D． (2)已知实数满足，则( ) A． B． C． D． 例3 解对数不等式 已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 ． 例4 对数型复合函数的单调性 已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 三、课堂练习 1.如图所示，①②③④中不属于函数的一个是( ) A．① B．② C．③ D．④ 2.当时，，则实数的取值范围是 ． 3.设，，，则a，b，c的大小关系为( ) A． B． C． D． 4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 5.已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 四、课后作业 1．函数的定义域为( ) A． B． C． D． 2．函数，的值域是( ) A． B． C． D． 3．已知命题，命题：函数（且）过定点，则( ) A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 4．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则( ) A． B． C． D． 5．函数 的图象是( ) A． B． C． D． 6．，则( ) A． B． C． D． 7．函数的递增区间为( ) A． B． C． D． 8．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 9．(多选)函数的大致图象不可能为( ) A．     B．   C．   D．   10．(多选)已知函数，则( ) A．的定义域为 B．的值域为 C． D．的单调递增区间为 11．不等式的解集为 ． 12．已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 13．已知定义在上的奇函数． (1)求实数的值： (2)若在上的值域为，求实数的值． 参考答案 1．A 【详解】函数有意义，等价于，解得，，故函数的定义域为. 2．A 【详解】函数在定义域上单调递减，当时，，即，且当时，所以函数，的值域是. 3．B 【详解】由指数函数性质可知，恒成立，故为假命题，所以为真命题； 因为，所以过定点，为真命题. 4．C 【详解】的图象与的图象关于直线对称，故与互为反函数，故， 所以. 5．A 【详解】因为，故排除D；当时，，故排除BC； 结合对数函数的性质可知A正确. 6．A 【详解】依题意，，，，所以． 7．C 【详解】由函数，则函数的递增区间满足，解得， 所以函数的递增区间为. 8．B 【详解】令，则，因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增，所以，解得， 9．BCD 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 当时，为减函数，且过定点， 故函数的大致图象不可能为BCD选项. 10．ABC 【详解】对AB，由，得，则的定义域为，值域为，A，B均正确； 对C，，C正确； 对D，因为，所以，外层函数为增函数， ，令，所以函数定义域为， 内层函数，在上单调递增，上单调递减， 所以的单调递增区间为不是D错误. 11． 【详解】由于函数在上递减，所以解得，所以解集为， 12． 2 【详解】第一个空：根据题意得到，，解得，即，则的定义域是. 第二个空：由于函数. 继续化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值. 所以，则的最小值是2. 13．(1)； (2) 【详解】（1）由题意，，故，，由为奇函数得 ， 故，解得或(舍)，故； （2），故，又，解得，故. 学科网（北京）股份有限公司 $