专题2.5 对数与对数函数（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题2.5 对数与对数函数（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 指数式与对数式的互化】 2 【题型2 对数的运算】 2 【题型3 指数、对数函数模型的应用】 3 【题型4 对数函数图象的识别及应用】 4 【题型5 比较对数式的大小】 5 【题型6 解对数不等式】 6 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 6 【题型8 对数（型）函数的综合问题】 6 1、对数与对数函数 考点要求 真题统计 考情分析 (1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 (2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点 (3)了解指数函数y=ax（a>0且a≠1）与对数函数y=logax（a>0且a≠1）互为反函数 2023年北京卷：第4题，5分 2024年新课标I卷：第6题，5分 2024年北京卷：第7题，4分 2025年全国一卷：第8题，5分 2025年北京卷：第9题，4分 对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度不大. 知识点1 对数运算的解题策略 1．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 知识点2 对数函数的常见问题及解题思路 1．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型1 指数式与对数式的互化】 【例1】（2025·四川乐山·三模）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山东临沂·二模）已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 【变式1-2】（2025·全国·三模）若，则的值是（    ） A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能 【变式1-3】（2025·吉林·模拟预测）满足条件，且的一组为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型2 对数的运算】 【例2】（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）对数的第一位小数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-2】（2025·山西临汾·三模）已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【变式2-3】（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 指数、对数函数模型的应用】 【例3】（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【变式3-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 【变式3-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（    ） （参考数据：） A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年 【变式3-3】（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 对数函数图象的识别及应用】 【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·甘肃陇南·一模）函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【题型5 比较对数式的大小】 【例5】（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·河南许昌·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型6 解对数不等式】 【例6】（24-25高一下·四川南充·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式6-1】（2025·重庆·模拟预测）已知集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·广东汕头·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式6-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 对数（型）函数的综合问题】 【例8】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【变式8-2】（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·一模）已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·陕西汉中·三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数6”的声强的（   ） A．2倍 B．20倍 C．100倍 D．1000倍 4．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广东茂名·二模）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·江苏苏州·三模）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河北保定·一模）下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 三、填空题 12．（2025·江西萍乡·三模）已知，则 . 13．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则 . 14．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）计算： (1)； (2) 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 17．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 18．（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 19．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 对数与对数函数（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 指数式与对数式的互化】 2 【题型2 对数的运算】 3 【题型3 指数、对数函数模型的应用】 4 【题型4 对数函数图象的识别及应用】 7 【题型5 比较对数式的大小】 9 【题型6 解对数不等式】 11 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 13 【题型8 对数（型）函数的综合问题】 15 1、对数与对数函数 考点要求 真题统计 考情分析 (1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 (2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点 (3)了解指数函数y=ax（a>0且a≠1）与对数函数y=logax（a>0且a≠1）互为反函数 2023年北京卷：第4题，5分 2024年新课标I卷：第6题，5分 2024年北京卷：第7题，4分 2025年全国一卷：第8题，5分 2025年北京卷：第9题，4分 对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度不大. 知识点1 对数运算的解题策略 1．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 知识点2 对数函数的常见问题及解题思路 1．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型1 指数式与对数式的互化】 【例1】（2025·四川乐山·三模）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可. 【解答过程】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 【变式1-1】（2025·山东临沂·二模）已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 【答案】D 【解题思路】由指对互化公式即可求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 【变式1-2】（2025·全国·三模）若，则的值是（    ） A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能 【答案】A 【解题思路】，则，代入已知利用指数、对数运算化简求解即可. 【解答过程】令，则，由得， 所以. 故选：A. 【变式1-3】（2025·吉林·模拟预测）满足条件，且的一组为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解题思路】由指数转对数，结合对数的运算逐个判断即可. 【解答过程】设，，，， ，， 结合选项，ABC不符合，D符合， 故选：D． 【题型2 对数的运算】 【例2】（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合对数运算性质即可得解． 【解答过程】由对数运算性质可得， 故选：D． 【变式2-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）对数的第一位小数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】设对数的第一位小数位，第二位小数及以后的值为，则，利用对数的运算可得，即得. 【解答过程】设对数的第一位小数位，第二位小数及以后的值为，则， ∴，又， ∴，即， 所以， 故选：B. 【变式2-2】（2025·山西临汾·三模）已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数，对数的运算性质即可求解. 【解答过程】由，可得，， 则， 故选：B. 【变式2-3】（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断可得答案. 【解答过程】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 【题型3 指数、对数函数模型的应用】 【例3】（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【解题思路】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【解答过程】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 【变式3-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 【答案】A 【解题思路】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.由题意知及，联立方程组，结合对数的运算性质即可求解. 【解答过程】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米. 由题意知，，即①. 又，即，即②. 由可得，解得. 故选：A. 【变式3-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（    ） （参考数据：） A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年 【答案】B 【解题思路】利用半衰期的意义求出，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得. 【解答过程】依题意，当时，，即，解得， 设经过年碳14含量衰减为原来的，经过年碳14含量衰减为原来的， 则，即， 所以 . 故选：B. 【变式3-3】（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数的运算可得正确的选项. 【解答过程】由题设有，， 故即， 故选：C. 【题型4 对数函数图象的识别及应用】 【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先判断函数奇偶性排除选项A，再根据函数值正负排除B,C, 即可得出答案. 【解答过程】因为的定义域为，，所以是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除A； 当时，，，所以，当时，，，所以，故排除B，C. 故选:D. 【变式4-1】（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【解答过程】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 【变式4-2】（2025·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D. 【解答过程】， 因为当时，都为增函数， 所以，在上单调递增，故B，C错误； 又因为， 所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误. 故选：A. 【变式4-3】（2025·甘肃陇南·一模）函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可. 【解答过程】的定义域为且， 因为，所以为奇函数，排除A，D， 当时，，B错误， 故选：C. 【题型5 比较对数式的大小】 【例5】（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序. 【解答过程】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 【变式5-1】（2025·河南许昌·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小. 【解答过程】由题意知，， 又函数在上单调递增，而3.4，即， 又在上单调递增，所以，即. 故选:D. 【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【解答过程】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 【变式5-3】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解. 【解答过程】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D. 【题型6 解对数不等式】 【例6】（24-25高一下·四川南充·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断即可求解． 【解答过程】因为，所以， 又因为不一定大于0，即不一定成立， 所以“”是“的不充分条件， 因为在上单调递增， 所以，即，所以“”是“的必要条件， 所以“”是“的必要不充分条件， 故选：B． 【变式6-1】（2025·重庆·模拟预测）已知集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解方程与不等式，得到，，然后根据交集的定义求出答案. 【解答过程】对于集合，因为， 所以，所以或. 所以集合. 对于集合，因为，所以， 因为函数在上单调递增，所以. 所以集合. 所以. 故选：A. 【变式6-2】（2025·广东汕头·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据指、对数函数性质解不等式，结合充分、必要条件分析判断. 【解答过程】因为，等价于， 且，等价于， 又因为可以推出，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 【变式6-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况，解不等式，得到不等式解集. 【解答过程】由题意可知当时，,故，满足题意； 当时，令，即，解得，所以. 综上，. 故选：C. 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【解答过程】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 【变式7-1】（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分和两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关于的不等式即可求解. 【解答过程】当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意； 当时，由换底公式可得 ， 因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以. 又，所以，，所以，所以，即，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 【变式7-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围. 【解答过程】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式7-3】（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由对数的底数大于0，可得内函数为增函数，结合复合函数的单调性可得，再由对于恒成立，可得的取值范围，再求交集即可. 【解答过程】是由，复合而成， 由题意知：，在区间上单调递增， 若函数（其中且）在区间上单调递减， 所以单调递减， 可得： , 又对于恒成立， 所以， 解得：， 综上所述：. 故选：A. 【题型8 对数（型）函数的综合问题】 【例8】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得函数在上单调递减，由在恒成立可得恒成立，据此可得答案. 【解答过程】因函数在上单调，又在上单调递减， 则函数在上单调递减，则. 则时，，又， 则恒成立， 则. 故选：B. 【变式8-1】（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【答案】A 【解题思路】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断. 【解答过程】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 【变式8-2】（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由函数奇偶性、单调性即可求解. 【解答过程】易知函数定义域为， 又，故为偶函数， 当时，，所以， 令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增， 由复合函数的单调性可知：在上单调递增， 又在上单调递增， 故在上单调递增， 易知在上单调递增， 结合函数为偶函数， 所以由可得， 平方得：， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D. 【变式8-3】（2025·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况. 【解答过程】由已知，则，则， 可知函数为周期函数，最小正周期， 又当时，， 可知函数的图象如图所示，且的值域为， 关于的方程至少有两解， 可得函数与函数的图象至少有两个交点， 如图所示，      可知当时，，解得，即， 当时，，解得，即， 综上所述， 故选：C. 一、单选题 1．（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【解答过程】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 2．（2025·山东潍坊·一模）已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】先设，根据，求出，再根据指数式与对数式的转化，可求的值. 【解答过程】因为与成正比例关系，所以可设， 由 . 由 ， 又，所以 . 故选：B. 3．（2025·陕西汉中·三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数6”的声强的（   ） A．2倍 B．20倍 C．100倍 D．1000倍 【答案】C 【解题思路】根据已知条件分别求出“声强级数”和“声强级数”对应的声强，再计算它们的倍数关系. 【解答过程】当时，代入声强级数公式可得. 可将上式变形为. 那么，解得. 当时，代入声强级数公式可得. 则，可得，解得. . 故“声强级数”的声强是“声强级数”的声强的100倍. 故选：C. 4．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，依次判断代入求值. 【解答过程】函数，则， 所以. 故选：A. 5．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可. 【解答过程】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B. 6．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【解答过程】由幂函数为增函数，得； 由指数函数为减函数，得； 由对数函数为减函数，得. 所以. 故选：A. 7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得的取值范围. 【解答过程】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 8．（2025·广东茂名·二模）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【解答过程】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 9．（2025·江苏苏州·三模）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据指数、对数的关系及对数加法的运算法则判断A，由基本不等式判断BC，利用对数函数的单调性判断D. 【解答过程】因为，， 所以，故A正确； 由可得（，等号不成立），故B错误； 由可得（，等号不成立），故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD. 10．（2025·河北保定·一模）下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，，故，A正确， 对于B，，故，B正确， 对于C, 由于，故，故，故C错误， 对于D, ,所以，故，故D错误， 故选：AB. 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】ACD 【解题思路】A选项，利用函数奇偶性的定义判断，B选项，特值代入说明不成立，C和D选项，利用复合函数的单调性判断. 【解答过程】要使得函数有意义，则，解得且，所以的定义域关于原点对称， 且，从而是奇函数，A正确； ，B错误； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，C正确； 当时，， 在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2025·江西萍乡·三模）已知，则 . 【答案】 【解题思路】利用对数的运算法则计算即可求解. 【解答过程】依题意，，故. 故答案为：. 13．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则 . 【答案】 【解题思路】由题可得定义域，由可得，据此可得答案. 【解答过程】因，则， 由于有意义，结合为奇函数，则，因此， 故，则. 故答案为：. 14．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】令，由复合函数可知，内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，即可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【解答过程】令，因为外层函数为减函数，且原函数在上单调递增， 所以内层函数在上为减函数， 且对任意的，恒成立， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据指数的运算化简可得值； （2）根据对数的运算化简可得值. 【解答过程】（1） ； （2） . 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）根据待定系数法求出解析式，再求值即可； （2）求出表达式，根据对数函数的性质得到真数为正，构造不等式组计算即可． 【解答过程】（1）由题意可得，可得，故，故； （2）， 其中，解得， 此时函数的定义域为． 17．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性求解即可； （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可. 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 18．（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 【答案】(1)偶函数，理由见解析. (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解题思路】（1）由偶函数的性质证明即可； （2）由偶函数的性质，换元令，再分和结合对数函数的单调性解抽象函数不等式即可. 【解答过程】（1）是偶函数. 理由如下： 因为， 且，即定义域为，定义域关于原点对称. ， 是偶函数. （2）为偶函数， 令. 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且，解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且，解得. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【解题思路】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【解答过程】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$