2.7 对数与对数函数-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

=-√a (2)解：①将a京+a宁=5两边平 方，得a十a1+2=5,即a+a1=3. ②将a十a1=3两边平方，得a2+ a2十2=9，即a2十a2=7. 对点训练1了 8 解析：原式= 2×4ab 8 10a6号 5 例2(1)AD 因为函数 y=a"+b-1(a>0, 且a≠1)的图象经过 第一、三、四象限，所以 其大致图象如图所示 0 由图象可知函数为增 函数，所以a>1,当x=0时，y=1十 b-1=b<0.故选AD. (2)(0,1) 解析：作出曲线y= y+Jy=2-11 2-1与直线 y=b,如图所示，由 图象可得b的取值范 -y=b x 围是(0,1). 0 对点训练2(1)B如图，观察易知a,b 的关系式①0<b<a,②a<b<0, ⑤a=b=0可能成立，③0<a<b, ④b<a<0不可能成立.故选B. ,)y=2024 /)=2023 b 、 (2)(-∞，-1] 解析：在平面直角坐标系中画出y 3一1的图象，如图所示.由图象 知，y=3一1|的图象至少向下平移 1个单位长度，即m≤-1时，函数 y=|3一1十m的图象不经过第二 象限. y ,y=3-11 例3(1)c<a<b 解析：根据指数函数性质知1<21< 2.5,即1<a<b,又因为0.52 0.25,则c<a<b. (2)a>b>c 解析：易知：=（借）-[（号）门 (得)又y=(得)广在定义域上单 调递减，<1<号所以6>号 c,又y=x言在(0，十∞)上单调递增， >>子则a=(传)> (号)>（号）=综上a>b>c 414红对构·讲与练·高三数学· 对点训练3(1)b>a>c 解析：由y=1.01x在R上单调递增， 则a=1.01.5<b=1.0106,由y= x5在[0，十∞)上单调递增，则a= 1.015>c=0.6.5,所以b>a>c. (2)b<c<a 解析：a=0.61,c=0.401,由幂函数 的性质可得a>c,又b=0.4,c= 0.41,由函数y=0.4的性质可得 bc,所以b<c<a. 4[习 解析：() 一2 =(22)2=22+1, 22≤22+1，即x2十1≤-2x十4， 即x2+2x-3≤0，解得-3≤x≤1， 此时y=2的值域为[2,2门，即 为[g2] (2)2 解析：当a<1时，4=2，解得a= 2当a>1时，21=4-1，即-1= 一2，不成立.故a的值为2 对点训练4（一∞，3） 解析：因为f(x)=2一2，x∈R, f(-x)=2-2=-f(x),所以 f(x)=2一2为奇函数，所以 f(2)十f(-8)<0等价于f(2)< f(8).y=2是增函数，y=2是减 函数，故f(x)=2-2为R上的增 函数，因此2<8，解得x<3. 例5(1)(1，十∞) 解析：由题意得a>-4十21对任意 x∈R恒成立，令t=2,则t>0, y=-4十2H=-t2十2t= -(t-1)2十1，则y≤1，当t=1时， ymx=1,a>1. (2(,-3）Ua,+) 解析：由题意知f(x)是奇函数，且在R 上为减函数，则f(t2一2t)十f(2t2 1)<0即f(t2-2t)<-f(2t-1)= f(1-2t2),所以t2-2t>1-2t2,解 得t>1或t<-3 1 对点训练5解：(1)证明：当a=b=1 -2x+1 时，f(x)= 2+十1’ 则12号 所以f(-x)≠-f(x),故f(x)不是 奇函数. (2)当f(x)是奇函数时，f(-x)= -2十a 一f(x),即21T8=一2*+1+b 对定义域内任意实数x都成立. 整理得(2a-b)·22x+(2ab-4)·2+ (2a-b)=0, 所以份。二0解得侣二-士（合 去)或侣二：经检验台符合题 意所以侣二2 基础版 (3)由(2)可知f(x)=2+2 -2*+1 由f)>0得2士2之0→2+ 1>0,所以2<1→x<0, 即f(x)>0的解集为（一∞，0）. 2.7对数与对数函数 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.以a为底N的对数x=log.V对 数的底数真数 2.(1)0 1 N (2)Dlog M++log N ②log.M-log.N③n log,M 4.log.x(a>0,且a≠1)x(0,十o∞)） 5.(0,十∞)(1,0)10减函数 增函数 6.互换y=x 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.[2,+o∞) 解析：要使函数f(x)=√In(x-1) 有意义只舍1》20年 红-1之1：解得工≥2，所以函教 x-1>0, f(x)的定义域为[2，十o∞). 3.0 解析：因为2lg5+lg4=21g5十21g2= 2(1g5+1g2)=2,5°=2，所以 21g5+1g4-5,2=2-2=0. 4.-1 解析：由y=f(x)=2,得x= 1ogy,所以函数f(x)的反函数为 gx)=1ogx,则R(分）=1og 1 -1. 5.AD1ga>lgb,则有a>b>0. 对于A,由a-b>0,则2>1，A正确： 对于B,双勾函数f(x)=x十 1在(0,1) 上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，故 当a>b>0时，f(a)>f(b)不一定成 立，B错误；对于C, bb+2025 aa+2025 b(a+2025)-a(b+2025) a(a+2025) b+2025 2025(b二a二0，则。<a+20257 a(a+2025) 3()6 C错误：对于D, 3 (牙）=1，又3>0，所以m> 3-b,D正确.故选AD. …》提升·关键能力《… 2a+b-3 例1(1)(a-1)b-D 解析：因为a=1og36=1十1og32,b= log20=1十21log2,所以log23= a116g25=b二7，则1og15马 1 2 1og3十10g:5=a-+b-= 2a+b-3 (a-1)(b-1)1 (2)64 解析：由题可知，10ga 1 1 log,4 3 1 2,整理得 5 log2a (log2a)2-5log2a-6 =0=log:a -1或log2a=6,又a>1,所以 log2a =6 log2 2%,a =2 =64. (3D由题老科-21 S-1 3.15,则2.1nN1=3.15lnN2,即 2lnN1=3lnN2,所以V=Vi.故 选D. 对点训练1(1)2 1 解析：原式=(2×2log:3十 31o3）×(（oe,2+2og2） 台oe3×1og2=2. (2)1 解析：函数f(x)=4十log2x,所以 f(分)=+1og: 1 =2-1=1. 例2四 解析：当a>1时，函数f(x)=a一2 单调递增，图象经过第一象限，不符合 题意；当0<a<1时，函数f(x)= a一2单调递减，图象不经过第一象 限，特合题意.显然此时】>1，则函教 g(x)=log1(x十2)单调递增，又 g(x)的图象恒过点(-1,0)，因此函数 g(x)的图象不过第四象限. 对点训练2(1)Cf(a)=f(b),故 loga=logb,因为0<a<b, y=log2x为增函数，所以-lo0g2a= log2b,即0=log2b十log2a=log2ab, 故b=1b=且0<a<1.则a+ 2b=a十 之，因为双勾函教y=x十 在(01)上单调递减，当x=1时， x x+2=3,故a十2b=a十2∈ a (3,十∞).故选C. (2)(0,十∞) 解析：当x≥0时，f(x)=ln(x十1)， 当x<0时f(x)=ln(-x十1)，函数 图象如图所示： =x) =g(x) 则由g(x)=-x2十a与f(x)= ln(x十1)的图象有两个交，点知a 的取值范围是(0，十∞). 例3(1)A因为a= 1og2< 3= 2 3 =c,b三31og3 号1g25=号 =c,所以a<c<b. 故选A (2)D作出函数y=log.2x,y log.3x,y=l0g0.4x的图象如图所示： 6 y=logozx 一Jy=logx a 10go.26,b logo.3 6,c l0go.6 及图象可得a>b>c.故选D. 0.7 对点训练3(1)D 因为2>（仔）“> 1 0=log:1>log:3,所以a>b>c 故选D. (2)B因为y=4.2在R上单调递 增，且-0.3<0<0.3，所以0< 4.20.3<4.2°<420.3，所以0< 4.20.3<1<4.23,即0<a<1<b, 因为y=log.2x在(0，十∞)上单调递 增，且0<0.2<1，所以10g1.20.2< log.21=0,即c<0,所以b>a>c. 故选B. 例4{x 6 5 <x<3} 12x+3>0, 解析：由题意得{5x一6>0， 2x+3>5x-6, 解得6 <x<3,故不等式的解集为 <x<3. 对点训练4（-2，- ) 2-x之0→ 解析：画数的定义城满足2+x>0 -2<x<2,由f(x)>1→log2(2 x)-1og:(2+x)>1→log:2+元 1og22,所以 2-工>2，-2< （2+x -2<x2 x<- 3 故不等式的解集为 (←2- 例5(1)[3，十∞) 解析：由x2-2x-3>0,得f(x)的定 义域为（一∞，一1）U(3,十0∞)，设 g(x)=x2-2x-3,根据二次函数的 性质，可得函数g(x)在(3，十∞)上单 调递增，根据复合函数的单调性同增 异减，可得函数∫(x)的单调递增区间 为(3，十o),又由函数f(x)= lg(zx2-2x-3)在(a,十o∞)上单调递 增，可得a≥3，即实数a的取值范围是 [3,十oo). (2)解：①函数f(x)=log(x2十 ax十1)的定义域为R, 即x2十ax十1>0在x∈R上恒成立， 则4=a2-4<0,解得-2<a<2, 所以实数a的取值范围是(-2,2). ②函数f(x)=log(x2十ax十1)的 值域为R, 则满足△=a2一4≥0，解得a-2或 a≥2，即实数a的取值范围是(-o∞， -2]U[2,+∞). ③因为a>0且t≥0，可得f(x)在 [t,t十1]上单调递增， 所以f(x)ma=f(t)=log(t十at十 1),f()max f(t+1)=logs[(t+ 1)2+a(t+1)+1]=log3[t2+(a+ 2)t+a+2], 所以f(t十1)一f(t)1对任意t [0,十∞)恒成立， 所以log[t十(a十2)t十a十2]- log(t2十at十1)≤1对任意t∈ [0,十∞)恒成立， 即2t2+(2a-2)t+1-a≥0对任意 t∈[0，十∞)恒成立， 令g(t)=2t2+(2a-2)t+1-a,t∈ [0,十o∞)，所以g(t)mim≥0. 当2a-2>0,即a>1时，g(t)mm g(0)=1一a≥0，解得a1,所以 无解； 当2a-2≤0，即a≤1时，g(t)mm= ()=-2≥0，解得 2 -1≤a≤1，所以0<a≤1. 综上，实数a的取值范围是(0,1]. 对点训练5(1)(-∞，1)U[2,10) 解析：因为f(-1)=ae2= 2 G-G 所以a=2,则f(x)=2e,所以 /2e-1,x<2, gx）=og,(x1),z≥2.当x< 2时，2e1<2,即e-1<1,解得x< 1;当x≥2时，log(x-1)<2,即 log3(x-1)<log39,所以0<x-1 9,解得1<x<10,所以2x<10. 综上所述，g(x)<2的解集为（一∞， 1)U[2,10). (2)(3,十0o) 解析：由于a>0,且a≠1，所以u= ax一3为增函数，所以若函数f(x)为 增函数，则y=logu必为增函数，所以 a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒为 正，所以a-3>0,即a>3. 2.8函数的图象 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 2.(2)①-f(x)②f(-x) ③-f(-x)④logx(.x>0) (4)①f(ax)②af(x) 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.y轴 解析：函数f(x)的定义域为R,且 f(一x)=f(x),所以f(x)为偶函 数，其图象关于y轴对称 3.C因为题图2中的图象是在题图1的 基础上，去掉函数y=f(x)的图象在 y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象 翻折到y轴右侧得来的，所以题图2中的 图象对应的函，数可能是y=f(一x). 故选C 4.下1 解析：因为函数y=g0=g2一1， 所以把函数y=Igx的图象上所有的 ,点向下平移1个单位长度，可得函数 y=g。的周象. 参考答案415第二章 函数的概念与基本初等函数 045 规律总结 规律总结 指数型不等式的常见类型及求解方法 1.指数型方程（不等式）的求解主要利用指数 (1)af)>a8x》或afr)<ax型 函数的单调性进行转化. 解法：afx)>ax)与 a>1, 2.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数 f(x)>g(x) 函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及 0<a<1, a>1, 值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异 af<a台 f(x)<g（x). f (x)<g(z) 减”这一性质分析判断 或0<a<1, f(x)>g(x). 【对点训练5】设f(x)= -2+(a>0,b>0), 2+1+b (2)形如a>b的不等式，注意将b转化为以a (1)当a=b=1时，求证：f(x)不是奇函数； 为底数的指数幂的形式，再借助于函数y=a的单 (2)若f(x)是奇函数，求a与b的值； 调性求解. (3)在(2)的条件下，求不等式f(x)>0的 【对点训练4】已知函数f(x)=2r一2，则不等 解集 式f(2)+f(-8)<0的解集为 第 命题角度3指数函数性质的综合应用 章 【例5】(1)不等式4-2r+1十a>0对任意x∈ R恒成立，则实数a的取值范围是 (2)已知定义域为R的函数f(x)=一 1 2+ 2+则关于1的不等式f-2)十 1 f(2t2-1)<0的解集为 学生试答： 》温馨提示 学习至此，请完成训练12 2.7对数与对数函数 1.理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函 考试 数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，掌握对数函数的单调性与其图象的 要求 特殊点.3.知道对数函数y=logx与指数函数y=a2互为反函数(a>0,且a≠1). 回顾 必备知识 》知识梳理《 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：log.1= ,log a= 1.对数的概念 一般地，如果a”=N(a>0,且a≠1)，那么数 (a>0,且a≠1， N>0) x叫做 ,记作 ,其中 (2)对数的运算性质 a叫做 ,N叫做 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么 046 红对沟·讲与练·高三数学·基础版 ①log.(MN)= (3)log.b·log6c·logd=log.d(a,b,c均大于0且 M 不等于1，d>0). ②log.N 2.对数函数的图象与底数大小的关系 ③log.M"= (n∈R). 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点 3.换底公式 的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b. log b log x log.b= (a>0,且a≠1；c>0,且c≠1； log a b>0). -X logx 4.对数函数的概念 logx 一般地，函数y= 叫做对数 由此我们可得到规律：在第一象限内图象与直线 函数，其中 是自变量，定义域是 y=1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大. 》基础检测《 第 5.对数函数的图象及性质 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 章 a的范围 0<a1 a>1 “√”，错误的画“X”. (1)若MN>0,则log(MN)=logM+log.N. x=1 y↑x=1y=log () 图象 (1,0) 0 (2)对数函数y=logx(a>0,且a≠1)在 (1.0) (0,十∞)上是增函数， y=log x () (3)函数y=logx2与函数y=21logx是同一个 定义域 函数 值域 R (4)若M>N>0,则logM>logN. 性 过定点 ,即x= 时， 质 定点 y= 2.(教材改编题)函数f(.x)=In(x一1)的定义 域是 在(0，+∞)上是 在(0，+∞)上是 单调性 3.(教材改编题)化简21g5+1g4一52的结果为 6.指数函数与对数函数的关系 4.(教材改编题)已知函数f(x)=2的图象与函 一般地，指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对 数y=g(x)的图象关于直线y=x对称，则 数函数y=log.x(a>0,且a≠1)互为反函数， g(号)的值为 它们的定义域与值域正好 ,图象关于 直线 对称 5.(多选题)已知lga>lgb,则下列结论成立的是 () 常用结论与知识拓展 A.24b>1 1.换底公式及其推论 B.a+1>b+ 1 (1)log.b·log6a=1,即logb= 一(a,b均大于 a b logi b、b+2025 0且不等于1). C. > a a+2025 (2)log.b=”10gb(a>0且a≠1，b>0,m≠0. D.π“b>34b m 第二章 函数的概念与基本初等函数 047 提升>关键能力 考点1对数式的化简与求值 学生试答 【例1】(1)设a=1og36,b=log20,则log215 (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且 logsa 1 则a= 5 log,4 规律总结 (3)(2024·北京卷)生物丰富度指数d=§一1 1.求解形如y=log(x土b)的对数型函数的图 In N 象问题，首先应明确a>1与0<a<1对函数图象 是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别 的影响，在此基础上研究函数的图象。 表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生 2.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的 物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流 第 性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高 治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体 点、最低点等)排除不符合要求的选项」 章 总数由N,变为N2,生物丰富度指数由2.1提 3.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应 高到3.15，则 ( 的函数图象问题，利用数形结合法求解 A.3N2=2N B.2N2=3N 【对点圳练2】(1)已知函数f(x)=log2x|,若 C.N2=N D.N=N 0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值 幻学生试答： 范围是 () A.[2√2，+o∞) B.(2√2，+∞) C.(3,+∞) D.[3,+o∞) (2)设函数f(.x)=ln(|x|+1),g(.x) 规律总结 一x2十a,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x) 有两个交点，则实数a的取值范围是 1.利用对数的运算性质化简对数式主要有以下 两种方法：一是“正向”利用对数的运算性质，把各 考点3对数函数的性质及应用 对数分成更为基本的一系列对数的代数和；二是“逆 命题角度1利用对数函数的单调性比较大小 向”运用对数的运算性质，把同底的各对数合并成 【例3】(1)(2020·全国Ⅲ卷文)设a=log2,b= 一个对数. 2 2.利用已知对数式表示不同底数的对数式时， l0g 3,c= 则 可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数 A.a<c<b B.a<b<c 式的底数。 C.b<c<a D.c<a<b 【对点训练1】(1)(2022·天津卷改编)化简 (2)设a=log.26,b=loga.36,c=loga.46,则 (2log43+log33)(1og32+1og2)的值为 A.c>b>a B.bc>a (2)(2023·北京卷)已知函数f(x)=4r十 C.a>c>b D.a >b>c 1ogx,则r(分） 幻学生试答： 考点2对数函数的图象及应用 【例2】已知函数f(.x)=ar-2(a>0,且a≠1) 的图象不经过第一象限，则函数g(x) log1（x十2)的图象不经过第 象限 048 红构·讲与练·高三数学·基础版 ·规律总结 命题角度3与对数函数有关的复合函数 比较对数式大小的类型及相应的方法 【例5】(1)(2024·辽宁葫芦岛检测)已知函数 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单 f(x)=lg(x2-2x-3)在(a,+∞)上单调递 调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数 增，则a的取值范围是 进行分类讨论。 (2)已知函数f(x)=log(x2+a.x+1)(a∈R). (2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式 ①若f(x)的定义域为R,求a的取值范围； 化为同底后，再进行比较，或利用图象数形结合求解. ②若f(x)的值域为R,求a的取值范围； (3)若底数与真数都不同，则常借助“0”“1”等 ③设a>0,若对任意t∈[0，+∞)，函数 中间量进行比较. f(x)在区间[t,t十1]上的最大值与最小值的 (4)若不能够使用以上三种方法比较大小，则 差不超过1，求a的取值范围。 需要将已知的对数式变形或利用对数的运算性质确 学生试答： 定对数值的取值范围，或利用作差（或作商）比较法 以及利用结论log1,(n十2)<logn(n十1)(n>1, 第 n∈N“)比较大小等， 【对点训练3】(1)(2022·天津卷)设a=2.7,b 章 1 3 c=log:3,则a,b,c的大小关系为 A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a (2)(2024·天津卷)若a=4.2.3,b=4.2a3 c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>a>c C.cab D.b>c>a 命题角度2 解对数型不等式 【例4】不等式log2(2x+3)>log2(5.x-6)的解 规律总结 集为 利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问 题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论； 学生试答： 二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即 它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时 要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【对点训练5】(1)设函数f(x)=a·e1(a为常 2 规律总结 数)，且f(-1)=专gx)= 1.解决简单的对数型不等式，应先利用对数的 f(x),x<2, 运算性质化为同底数的对数式，再利用对数函数的 。则不等式g(x)<2的解 log3(x-1),x≥2 单调性转化为一般不等式求解，求解时不要忘记对 集为 数函数的定义域. 2.对数函数的单调性与底数a的值有关，在研 (2)函数f(.x)=log.(ax-3)(a>0,且a≠ 究对数函数的单调性时，若底数a的大小未知，要按 1)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是 0<a<1和a>1进行分类讨论. 【对点训练4】已知函数f(x)=1og2(2-x) 》温馨提示 log2(2+x),则不等式f(x)>1的解集为 学习至此，请完成训练13