专题8.6 实数（二十三大压轴题题型训练）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

专题8.6 实数（压轴题题型训练） 【原卷版】 题型一 求代数式的平方根 2 题型二 已知一个数的平方根，求这个数 2 题型三 利用平方根解方程 3 题型四 利用算术平方根的非负性解题 4 题型五 估计算术平方根的取值范围 4 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 5 题型七 算术平方根的实际应用 6 题型八 求一个数的立方根 7 题型九 已知一个数的立方根，求这个数 8 题型十 与立方根有关的规律探索 9 题型十一 立方根的实际应用 10 题型十二 算术平方根和立方根的综合应用 10 题型十三 无理数的大小估算 11 题型十四 无理数整数部分的有关计算 12 题型十五 实数的分类 13 题型十六 实数的性质 14 题型十七 实数与数轴 15 题型十八 实数的大小比较 17 题型十九 实数的混合运算 17 题型二十 程序设计与实数运算 18 题型二十一 新定义下的实数运算 18 题型二十二 实数运算的实际应用 19 题型二十三 与实数运算相关的规律题 20 题型一 求代数式的平方根 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）一个正数的平方根分别是和，则的值是 ． 2．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 题型二 已知一个数的平方根，求这个数 3．（23-24七年级下·山东德州·开学考试）计算． (1) (2) (3) (4) 4．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 题型三 利用平方根解方程 5．（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 6．将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 题型四 利用算术平方根的非负性解题 7．（24-25七年级下·贵州·月考）已知与满足，某正数的平方根分别是和，是绝对值最小的数． (1)求、、、的值． (2)求的值． 8．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．    (1)求的值； (2)在数轴上另有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求线段的中点与点之间的距离． 题型五 估计算术平方根的取值范围 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽． (2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 10．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． (1)有多大呢？完成下列问题．在教材中“有多大呢？”的探究活动，有同学是下面这样探究的．我们知道面积是的正方形边长是，且因为，，所以．设，画出示意图一．由面积公式，可得．因为值很小，所以可以忽略不计，则得到，解方程得______（保留到），即______． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到） (3)怎样画出？教材中告诉了如何画的方法，用两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图二．可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图三，类比图二的方法，请你在图三中用实线把它们分割，然后在图四中拼接成-一个新的大正方形．要求：在图三中画出分割线，并在正方形网格图四中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 11．（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 12．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 题型七 算术平方根的实际应用 13．如图（1）所示，有2个边长为1的正方形，现画出分割线如图（2），把分割后的四部分在正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中拼接成一个新的正方形，如图（3）． (1)图（3）中正方形的边长为 ． (2)现有5个边长为1的正方形如图（4）所示，请在图（4）中画出适合的分割线，使之按分割线分割后能拼成一个新正方形，并把拼接图画在图（5）的正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中（直接画出图形，不要求写分析过程）；则图（5）中所拼成的新正方形边长为 ． 14．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度； （3）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 题型八 求一个数的立方根 15．解方程： (1)； (2)． 16．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)小明是这样试求出的立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①______，②______． 题型九 已知一个数的立方根，求这个数 17．已知的算术平方根是2，的立方根是，的算术平方根是它本身，求的平方根． 18．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 题型十 与立方根有关的规律探索 19．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 20．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 题型十一 立方根的实际应用 21．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）解下列方程： (1)； (2) 22．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 题型十二 算术平方根和立方根的综合应用 23．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 24．（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 题型十三 无理数的大小估算 25．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）（1）如图1，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为_____cm； （2）如图2，若正方形的面积为，小丽同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，但她不知道能否裁得出来．小明见了说：“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗?请说明理由． （3）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，请比较与的大小； 26．（23-24七年级下·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 题型十四 无理数整数部分的有关计算 27．（23-24七年级下·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 28．（23-24八年级上·广东河源·月考）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 题型十五 实数的分类 29．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 30．（24-25七年级下·云南昭通·期末）已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 题型十六 实数的性质 31．（25-26八年级上·江西抚州·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 32．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_________；点B表示的数为_________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为_________，小数部分为_________． (3)已知是整数，，且，求的值． 题型十七 实数与数轴 33．（23-24八年级上·山西晋中·月考）下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    34．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根. 题型十八 实数的大小比较 35．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 36．（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 题型十九 实数的混合运算 37．（24-25七年级下·全国·周测）计算：（结果精确到0.01，参考数据：，，） (1)． (2)． 38．计算或解方程： (1)； (2)； (4) ； (4)． 题型二十 程序设计与实数运算 39．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转化器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为10时，则输出的y值为 ． 若输出的y值是且，则输入的x的值为 ． 40．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 题型二十一 新定义下的实数运算 41．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 42．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）对于实数定义一种新运算． 规定：（其中为非零常数），我们称这种运算得到的结果为“和谐数”． 例如：，已知． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，若关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 题型二十二 实数运算的实际应用 43．（23-24七年级下·河南商丘·期中） 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 44．阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 题型二十三 与实数运算相关的规律题 45．（2025七年级下·江西·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 46．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.6 实数（压轴题题型训练） 【解析版】 题型一 求代数式的平方根 2 题型二 已知一个数的平方根，求这个数 3 题型三 利用平方根解方程 6 题型四 利用算术平方根的非负性解题 9 题型五 估计算术平方根的取值范围 10 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 13 题型七 算术平方根的实际应用 15 题型八 求一个数的立方根 17 题型九 已知一个数的立方根，求这个数 19 题型十 与立方根有关的规律探索 21 题型十一 立方根的实际应用 23 题型十二 算术平方根和立方根的综合应用 26 题型十三 无理数的大小估算 27 题型十四 无理数整数部分的有关计算 30 题型十五 实数的分类 32 题型十六 实数的性质 34 题型十七 实数与数轴 36 题型十八 实数的大小比较 39 题型十九 实数的混合运算 41 题型二十 程序设计与实数运算 43 题型二十一 新定义下的实数运算 45 题型二十二 实数运算的实际应用 46 题型二十三 与实数运算相关的规律题 48 题型一 求代数式的平方根 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）一个正数的平方根分别是和，则的值是 ． 【答案】49 【思路引导】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求． 【规范解答】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 整理得：， 解得：， 当 时， ，， ∴ ， 故答案为：． 2．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值； （2）将（1）中的值代入，求其平方根即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 解得， ， ； ，即 的整数部分是3， ， 解得 故答案为：，， （2）把代入， 3的平方根是， 故答案为：． 【考点再现】本题考查平方根的概念和平方根的性质，解题关键是一个正数的两个不同的平方根的和为0；一个数算术平方根的整数部分的确定方法：找到与被开方数最接近的两个平方数，较小的这个平方数的算术平方根即是它的整数部分；易错点是一个正数的算术平方根只有一个，它的平方根有两个，且一正一负． 题型二 已知一个数的平方根，求这个数 3．（23-24七年级下·山东德州·开学考试）计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，平方根，解一元一次方程，正确计算是解题的关键． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可； （3）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （4）根据平方根的定义解方程即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， 解得：． 4．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在；或 (3)存在；，，，8 【思路引导】（1）根据一元一次方程的定义可得，即可求出b，根据绝对值、平方的非负性即可求解a、c，问题得解； （2）根据运动特点可得，，再根据M为的中点，N为中点，可得，，依据，可得方程，解方程即可求解； （3）分类讨论：与第一次重合中，由P到C的时间为7段，即时，表示出点，，，．①点P表示的数比点F表示的数大1，即，②点Q表示的数比点E表示的数大1，即；与第二次重合中，P到C返回时，即，同理表示出，，③点Q表示的数比E表示的数大1时，即，④点P表示的数比F表示的数大1时，即，解方程即可求解． 【规范解答】（1）∵是一元一次方程， ∴，解得：， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， 即，，； （2）∵，，， ∴根据运动特点可得，， ∵M为的中点，N为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）存在．或者或者或者8．理由如下： ∵， ∴， 与第一次重合中，由P到C的时间为7段，即时， 点，，，． ①点P表示的数比点F表示的数大1， 即， 解得：． ②点Q表示的数比点E表示的数大1， 即， 解得：． 与第二次重合中，P到C返回时，即 ， ③点Q表示的数比E表示的数大1时， 即， 解得：． ④点P表示的数比F表示的数大1时， 即， 解得：． 故：，，，8． 【考点再现】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一次方程的应用，利用平方根解方程等知识，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． 题型三 利用平方根解方程 5．（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）通过前三个式子找出其中的规律即可； （2）通过前三个式子找出其中的规律即可． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ，，， ． 6．将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 【答案】 【思路引导】观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可． 【规范解答】解：观察式子可得， 第1排的个数为，前1排的总数为， 第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列， …… 第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列， （6，6）表示第6排从左向右第6个数 前5排的总数为25，第6排的个数为11个，为偶数排，从右向左依次增大， 第6排中，从左向右第6个数，也就是从右向左第6个数， 所以（6，6）表示的数为； 因为， 所以是在第45排，即 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以 将，代入得 故答案为：， 【考点再现】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，正确找出数字的规律． 题型四 利用算术平方根的非负性解题 7．（24-25七年级下·贵州·月考）已知与满足，某正数的平方根分别是和，是绝对值最小的数． (1)求、、、的值． (2)求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【思路引导】本题考查了非负数的性质、平方根的定义、绝对值的意义、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质即可求出，，根据平方根的定义即可求出，再根据绝对值的意义即可得出； （2）将（1）中各个字母的值代入所求代数式计算即可得解． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵正数的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵是绝对值最小的数， ∴； （2）解：由（1）可得，，，， ． 8．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．    (1)求的值； (2)在数轴上另有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求线段的中点与点之间的距离． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（1）利用数轴两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到，的值，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴点、点所表示的数是一对相反数，即线段的中点为原点， ∴线段中点（即原点）与点之间的距离为． 【考点再现】本题考查了数轴上两点间的距离公式、算术平方根与绝对值非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． 题型五 估计算术平方根的取值范围 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽． (2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 【答案】(1)该长方形的长为，宽为 (2)4个 【思路引导】本题主要考查了算术平方根的实际应用，正确列出方程求出长方形的长和宽是解题的关键． （1）设该长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）根据可推出，再根据圆面积计算公式求出圆的半径，进而求出圆的直径，再用长方形的长除以圆的直径即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设该长方形的长为，宽为， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， 答：该长方形的长为，宽为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵一个圆的面积为， ∴该圆的半径为， ∴该圆的直径为， ∵， ∴最多能裁剪出4个面积为的圆． 10．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． (1)有多大呢？完成下列问题．在教材中“有多大呢？”的探究活动，有同学是下面这样探究的．我们知道面积是的正方形边长是，且因为，，所以．设，画出示意图一．由面积公式，可得．因为值很小，所以可以忽略不计，则得到，解方程得______（保留到），即______． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到） (3)怎样画出？教材中告诉了如何画的方法，用两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图二．可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图三，类比图二的方法，请你在图三中用实线把它们分割，然后在图四中拼接成-一个新的大正方形．要求：在图三中画出分割线，并在正方形网格图四中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】(1)， (2)，过程见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了正方形的性质，算术平方根，解题的关键是数形结合． （1）根据题意计算即可； （2）由（1）的方法求解即可； （3）根据题意画出图形即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 故答案为：，； （2），， 设，画出示意图， 由面积公式，可得， 值很小，所以可以忽略不计， ， 解方程得：， 即， 黄金分割数； （3）如图： 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 11．（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【规范解答】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 12．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【思路引导】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【规范解答】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 题型七 算术平方根的实际应用 13．如图（1）所示，有2个边长为1的正方形，现画出分割线如图（2），把分割后的四部分在正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中拼接成一个新的正方形，如图（3）． (1)图（3）中正方形的边长为 ． (2)现有5个边长为1的正方形如图（4）所示，请在图（4）中画出适合的分割线，使之按分割线分割后能拼成一个新正方形，并把拼接图画在图（5）的正方形网格（图中每个小正方形的边长为1）中（直接画出图形，不要求写分析过程）；则图（5）中所拼成的新正方形边长为 ． 【答案】(1) (2)见解析， 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用． （1）先求出正方形的面积，再根据算术平方根计算即可； （2）根据面积不变进而得到新正方形的边长，再结合图④进而设计即可． 【规范解答】（1）解：图③中正方形的面积为2，则边长． 故答案为：； （2）解：如图④和图⑤： 新正方形的面积为5，则边长为． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度； （3）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析 【思路引导】本题考查算术平方根的实际应用，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）先计算出大正方形的面积，再求算术平方根即可； （2）先求出中间小正方形的面积，再求算术平方根即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为．求出x的值， 进而求出长方形纸片的长，与（1）中结果进行比较即可． 【规范解答】（1）由题意得，大正方形的面积 ， 大正方形的边长 ； （2）大正方形面积为：，两个小长方形面积为：， 小正方形面积为：． 故长方形对角线长度为：． （3）不能；理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 题型八 求一个数的立方根 15．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了利用立方根和平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）利用立方根的性质解方程即可； （2）利用平方根的性质解方程即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 或 或． 16．（22-23七年级下·北京西城·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)小明是这样试求出的立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①______，②______． 【答案】(1)7，2 (2)， 【思路引导】分别根据题中所给的分析方法，先求出这几个数的立方根的个位数，再求出十位数，即可得出结论． 【规范解答】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， 故答案为7，2； （2）①∵的个位数是9，而末位数为9， ∴猜想的立方根的个位数为9， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为4， 验证：； ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； 【考点再现】本题主要考查了立方和立方根，理解一个数的立方以后的个位数，就是这个数的个位数的立方以后的个位数是解题的关键，有一定难度． 题型九 已知一个数的立方根，求这个数 17．已知的算术平方根是2，的立方根是，的算术平方根是它本身，求的平方根． 【答案】或． 【思路引导】本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根、代数式求值等知识点，根据算术平方根、立方根确定a、b、c的值是解题的关键． 由的算术平方根是2，的立方根是，的算术平方根是它本身可得a、b、c的值，然代入代数式求平方根即可． 【规范解答】解：∵的算术平方根是2，的立方根是，的算术平方根是它本身， ∴，，或0， ∴或， 当时，； 当时，； 所以，的平方根或． 18．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2) (3)或，或， 【思路引导】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算立方根的性质，根据立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1或 解得：或或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时， 当时，； 当，． 题型十 与立方根有关的规律探索 19．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【答案】(1)①两；②9；③3；④39 (2) 【思路引导】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律． （1）①通过对比（1000）和（1000000）与59319的大小，确定的位数；②根据“只有个位为9的数，其立方个位为9”确定的个位数字；③划去59319后三位得59，对比（27）和（64）的范围，确定的十位数字；④综合个位与十位数字得的结果； （2）求时，同理先判位数（对比与），再根据“个位为3的立方数对应底数个位为7”定个位，划去后三位得50，对比与定十位，最终得结果． 【规范解答】（1））①解：∵，，且， ∴是两位数； 故答案为：两． ②解：∵只有个位数字为9的数，其立方的个位数字为9（），且59319的个位为9， ∴的个位为9； 故答案为：9． ③解：划去59319后面三位319得59， ∵，，且， ∴的十位为3； 故答案为：3． ④解：由①知是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3， ∴；故答案为：39． （2）解：∵，，且， ∴， ∴是两位数； ∵只有个位数字为7的数，其立方的个位数字为3（），且50653的个位为3， ∴的个位为7；划去50653后面三位653得50， ∵，，且， ∴的十位为3； 综合得． 20．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【思路引导】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【规范解答】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 题型十一 立方根的实际应用 21．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查了利用平方根，立方根定义求解方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）先整理为，再利用平方根定义解方程即可； （2）先整理为 ，再利用立方根定义解方程即可； 【规范解答】（1）解：由 得 所以 所以 或 解得 或 （2）解：由 得 所以 所以 解得 22．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【思路引导】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 题型十二 算术平方根和立方根的综合应用 23．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【规范解答】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 24．（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81． 【思路引导】（1）直接利用解方程的基本步骤求解； （2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可． 【规范解答】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3; ②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1． （2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （ⅱ）①； ②；③． 故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81． 【考点再现】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 题型十三 无理数的大小估算 25．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）（1）如图1，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为_____cm； （2）如图2，若正方形的面积为，小丽同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，但她不知道能否裁得出来．小明见了说：“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗?请说明理由． （3）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，请比较与的大小； 【答案】（1）；（2）不同意，理由见解析；（3）． 【思路引导】本题考查的是算术平方根的概念和二次根式的运算．熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，圆面积公式，是解题的关键． （1）取大正方形面积的算术平方根，即得； （2）设长方形纸片的长为，宽为，得，解得，根据正方形的边长为9，，得小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （3）设圆的半径为r，正方形的边长为a，则，解得，得；由，解得，得，得，即得． 【规范解答】解：（1）∵大正方形面积为2， ∴大正方形边长为； 故答案为：； （2）不同意小明的说法， ∵面积为81的正方形纸片的边长为：，长方形纸片的长和宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，宽为， ∵长方形纸片面积为60， ∴， ∵， ∴， ∴， 故小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片， （3）设圆的半径为r，正方形的边长为a， 则圆面积， ∴， ∴； ∵正方形面积， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 即． 26．（23-24七年级下·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 【答案】(1)2，6； (2)1，2，3 (3)四次之后结果为1，详见解析 (4)15，详见解析 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点， （1）根据题意得，，，则，即可得； （2）根据，，，x为正整数，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得； 解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． 【规范解答】（1）∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，6； （2）∵，，，x为正整数， ∴或或， 故答案为：1，2，3； （3）∵第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， ∴第四次之后结果为1； （4）（4）最大的是15，理由如下， 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15， 故答案为：15． 题型十四 无理数整数部分的有关计算 27．（23-24七年级下·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 【答案】(1)①②④⑤ (2)或 【思路引导】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． （1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案； （2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得，再进行分类讨论，求解即可． 【规范解答】（1）解： ，故①正确； ，由于，，故②正确； 表示的小数部分，，故③错误； 表示的整数部分，，故④正确； 为整数），，故⑤正确， 故五个命题中为真命题的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤； （2）解：， ， ， ， 是的小数部分， 当时，； 当时，， ， 可得， ， 综上可得或． 28．（23-24八年级上·广东河源·月考）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【思路引导】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【规范解答】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解： 介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【考点再现】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 题型十五 实数的分类 29．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 【答案】 【思路引导】由，可得a+b=33，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，．∴． 答：的值为． 【考点再现】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键． 30．（24-25七年级下·云南昭通·期末）已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1)题设：与互为相反数；结论：与互为相反数；真命题； (2)． 【思路引导】本题考查实数的性质，解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义，立方根的定义，是解题的关键： （1）根据“如果”引导的部分是题设，“那么”引导的部分是结论，进行作答即可； （2）根据（1）中结论，得到，求出的值即可． 【规范解答】（1）解：题设：与互为相反数； 结论：与互为相反数；此命题为真命题； ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 即：与互为相反数； （2）由（1）可知：与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 题型十六 实数的性质 31．（25-26八年级上·江西抚州·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【思路引导】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【规范解答】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 32．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_________；点B表示的数为_________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为_________，小数部分为_________． (3)已知是整数，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)2， (3) 【思路引导】本题考查了无理数的估算，算术平方根的应用，实数与数轴，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，且结合数轴，得点A表示的数为，点B表示的数为，即可作答． （2）模仿题干过程，得，即点所表示数的整数部分为2，小数部分； （3）先得，因为是整数，，且，故，，再分别代入进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，面积为10的正方形的边长是，面积为5的正方形的边长是， 观察数轴，点A在原点的左边， 依题意，得点A表示的数为， 观察数轴，点B在原点的右边， 依题意，得点B表示的数为， （2）解：由（1）得点B表示的数为， ∵ ∴， ∴的整数部分为2，小数部分． 即点所表示数的整数部分为2，小数部分． （3）解：由（2）得， ∴， ∵是整数，，且， ∴，， ∴． 题型十七 实数与数轴 33．（23-24八年级上·山西晋中·月考）下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 (4)数轴见解析， 【思路引导】（1）由，可作出单位长度以3和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，即可解答； （2）设1个小正方形的面积为1，则5个小正方形的面积为5，即所拼成的大正方形的边长为，进而即可画出裁剪线和所拼得的大正方形； （3）由题意可求出正方形纸片的边长为．设长方形纸片的宽为，则长为，则可列出关于x的方程，再利用平方根解方程，即得出长方形纸片的长为，最后比较即可； （4）由，可作出单位长度以2和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以表示的点为圆心，以为半径画弧，与数轴右侧的交点即为．再画出表示的点，根据数轴的性质比较即可． 【规范解答】（1）解：如图，点M即为所作；    （2）解：如图所示；    （3）解：不能． 理由：由题意可知这个面积为的正方形纸片的边长为， 设面积为的长方形纸片的宽为，则长为， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴长方形纸片的长为． ∵， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （4）解：在数轴上表示数和的点如图，    有数轴可知：． 【考点再现】本题主要考查勾股定理，数轴和利用平方根解方程．利用数形结合的思想是解题关键． 34．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根. 【答案】(1) (2)2 (3) 【思路引导】（1）根据两点间的距离公式计算即可； （2）由（1）可得、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出、的值，再代入，进而求其平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， ∴ ． （3）解：∵与互为相反数 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 即的平方根是． 【考点再现】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键． 题型十八 实数的大小比较 35．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【思路引导】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得和；已知，则可求得的小数部分； （2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得的整数部分和小数部分，进而可求得，遵循同样步骤可求得，将和代入原式即可得解； （3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得的取值范围，进而根据已知条件可求得和，于是可求得，并最终求得的相反数． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 的小数部分为， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， 的小数部分为， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ，是整数，且， ，， ， 的相反数为． 【考点再现】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质，求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． 36．（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可． 【规范解答】解：比较分子和 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十九 实数的混合运算 37．（24-25七年级下·全国·周测）计算：（结果精确到0.01，参考数据：，，） (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，掌握立方根、平方根的运算规则及绝对值的化简方法是解题的关键． （1）先分别计算立方根、平方根对应的项，再合并常数项与根式项，最后代入近似值计算结果 （2）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并同类二次根式，最后代入近似值计算结果 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 38．计算或解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或； (4) 【思路引导】本题考查实数的混合运算及根据平方根和立方根解方程． （1）根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据绝对值、算术平方根、立方根进行计算即可； （3）根据平方根的定义进行解方程即可； （4）根据立方根的定义进行解方程即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由，得： 或 解得：或； 方程的解为或； （4）解：由，得： ． 题型二十 程序设计与实数运算 39．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转化器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为10时，则输出的y值为 ． 若输出的y值是且，则输入的x的值为 ． 【答案】 19或 【思路引导】本题主要考查了实数的混合运算，程序图，解题的关键是理解题目所给程序的运算顺序以及实数混合运算的运算顺序和运算法则． （1）把代入进行计算即可； （2）根据题意可得：或25，根据，即可得出结论． 【规范解答】解：输入的x值为10时，，取算术平方根为是有理数， 则返回是有理数，返回取算术平方根为，无理数则输出， 则y的值为， 故答案为：； 按数值转换器，进行逆运算， 输出的y是，且， 上一步应该是5或25， 当或25时，或或19或， ， 或， 故答案为：19或． 40．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【思路引导】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【规范解答】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或 （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 题型二十一 新定义下的实数运算 41．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【思路引导】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【规范解答】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 42．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）对于实数定义一种新运算． 规定：（其中为非零常数），我们称这种运算得到的结果为“和谐数”． 例如：，已知． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，若关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据新定义，列出二元一次方程组，求出方程组的解即得到a，b的值； （2）将代入原方程组得，然后根据二元一次方程组的解法即可求解． 【规范解答】（1）解： 根据题意得：， 解得：， ∴a的值为2，b的值为1； （2）解： 将代入方程组， 得：， 解之得： 又∵， ∴， ∴， 解得：． 题型二十二 实数运算的实际应用 43．（23-24七年级下·河南商丘·期中） 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)； (3)20 【思路引导】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算； ； （3）由长方形的面积可知． 【规范解答】（1）当，时， ； （2）； ， （3）根据题意得：长方形的面积为． 44．阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目： (1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1． ①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　； ②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　． (2)对于这个代数式． ①它的最小值为　　； ②若，则的最大值为　　． 【答案】(1)①3；② (2)①7；②4 【思路引导】（1）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可； （2）①根据两点间的距离的几何意义解答；②根据两点间的距离公式填空． 【规范解答】（1）解：①，两点之间的距离为； 故答案为：3； ②设点对应的数是， 则有， 解得或1（舍去）， 故答案为：； （2）解：①根据数轴的几何意义可得和3之间的任何一点均能使取得的值最小， 当时，的最小值为7． 故答案为：7； ②， ，， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 【考点再现】此题主要考查了绝对值的意义，实数与数轴，解题的关键是了解两点间的距离公式和两点间距离的几何意义． 题型二十三 与实数运算相关的规律题 45．（2025七年级下·江西·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【规范解答】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 46．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【思路引导】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【规范解答】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $