专题8.5 实数（二十九大高频易错题题型训练）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

专题8.5 实数（高频易错题题型训练） 【原卷版】 题型一 平方根概念理解 1 题型二 求一个数的平方根 3 题型三 求代数式的平方根 4 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 5 题型五 利用平方根解方程 6 题型六 求一个数的算术平方根 8 题型七 利用算术平方根的非负性解题 9 题型八 估计算术平方根的取值范围 10 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 11 题型十 算术平方根的实际应用 13 题型十一 立方根概念理解 15 题型十二 求一个数的立方根 18 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 19 题型十四 与立方根有关的规律探索 20 题型十五 立方根的实际应用 21 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 23 题型十七 无理数 24 题型十八 无理数的大小估算 25 题型十九 无理数整数部分的有关计算 26 题型二十 实数概念理解 28 题型二十一 实数的分类 29 题型二十二 实数的性质 31 题型二十三 实数与数轴 33 题型二十四 实数的大小比较 35 题型二十五 实数的混合运算 37 题型二十六 程序设计与实数运算 39 题型二十七 新定义下的实数运算 41 题型二十八 实数运算的实际应用 43 题型二十九 与实数运算相关的规律题 46 题型一 平方根概念理解 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知正数a的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的值． 2．（24-25八年级上·河南南阳·月考）在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 题型二 求一个数的平方根 3．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知，的平方根是，，求的平方根． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 题型三 求代数式的平方根 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根． 6．（21-22七年级下·吉林四平·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 7．（16-17七年级上·浙江嘉兴·月考）已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知正数m的两个平方根分别是和，n的算术平方根是2， p的相反数是． 求的值． 题型五 利用平方根解方程 9．（20-21七年级下·河南信阳·期末）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：___________； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③ 解：． 或． ④． 解：或． 或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 10．（24-25七年级下·山西大同·期末）怀仁市的自然资源以煤炭和高岭岩闻名，就此形成一个行业——陶瓷业．有一种被当地人称作“黑砂石”的矿物质，实际上是重要的陶瓷制作原料．某中学课外活动小组为了宣传当地陶瓷，A小组成员制作如图①所示正方形陶瓷卡片，该卡片的面积为；小组成员制作如图②所示的长方形封皮，长方形封皮的长和宽的比为，面积为． (1)求正方形卡片的边长； (2)通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 题型六 求一个数的算术平方根 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，则的值为 ． 12．以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 题型七 利用算术平方根的非负性解题 13．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 14．（20-21七年级下·黑龙江佳木斯·期中）若，为实数，且，则的值为 ． 题型八 估计算术平方根的取值范围 15．（23-24七年级下·广西玉林·月考）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 16．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 17．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 18．先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 题型十 算术平方根的实际应用 19．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 20．（24-25七年级下·广东广州·期末）天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式来估计，其中h（单位：米）是眼睛离海平面的高度． (1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？ (2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是米，他想看到距离岸边大约10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？ 题型十一 立方根概念理解 21．（20-21七年级下·内蒙古赤峰·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 22．（23-24七年级下·广东江门·月考）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 题型十二 求一个数的立方根 23．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）求x的值： (1) (2) 24．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．5和 B．和 C．和 D．－5和 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 25．（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）（1）已知的立方根是，的算术平方根是，求的平方根． （2）若一个正数的平方根是和，求这个正数． 26．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 题型十四 与立方根有关的规律探索 27．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得： ． 28．（24-25七年级下·贵州黔南·月考）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根． 题型十五 立方根的实际应用 29．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）解下列方程： (1)； (2)． 30．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 31．（20-21九年级下·浙江·月考）已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求a、b的值； 32．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 题型十七 无理数 33．（22-23七年级下·广西梧州·期末）在实数：，0，，，，，（相邻两个4之间3的个数逐次增加1个）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．在① ② ③④ ⑤3.14 ⑥0 ⑦⑧ ⑨⑩ 0.121221222（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填序号： 整数有____________； 负分数有____________； 有理数有____________； 正无理数有____________． 题型十八 无理数的大小估算 35．（25-26七年级下·全国·周测）观察表格并回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)__________，__________． (2)①已知，则__________； ②已知，若，则__________（用含m的代数式表示b）． (3)试比较与a的大小． 36．（24-25七年级下·全国·期中）对任何正实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，．对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫作一次操作．如对72进行如下操作：．这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是（   ） A．256 B．255 C．225 D．224 题型十九 无理数整数部分的有关计算 37．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 38．（24-25七年级下·重庆·期末）（多选）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 题型二十 实数概念理解 39．（22-23七年级下·福建龙岩·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 40．（22-23七年级下·湖南株洲·月考）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________}； (2)负无理数集合：{______________}； (3)正实数集合：{________________}． 题型二十一 实数的分类 41．（24-25七年级下·安徽六安·月考）将下列实数分别填到相应的横线内． ，，，，，，，，，（每两个3之间依次增加一个0） (1)整数：{　　　　　　　}； (2)分数：{　　　　　　　}； (3)无理数：{　　　　　　　} 42．（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 题型二十二 实数的性质 43． （20-21七年级下·江西宜春·月考）（1）计算：                  （2） 已知：，求x的值． 44．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)在（2）的条件下，若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 题型二十三 实数与数轴 45．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 46．（22-23八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根. 题型二十四 实数的大小比较 47．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长： (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为，她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 48．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即_______．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，_______． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由． 题型二十五 实数的混合运算 49．（25-26七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 50．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)a的值为____________． (2)求的算术平方根． 题型二十六 程序设计与实数运算 51．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转化器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为10时，则输出的y值为 ． 若输出的y值是且，则输入的x的值为 ． 52．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 题型二十七 新定义下的实数运算 53．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 54．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）数学乐园：解二元一次方程组，①②，得，当时，，同理：．符号称之为二阶行列式，规定：．设，那么方程组的解就是． (1)二阶行列式_____； (2)①解不等式：；②用二阶行列式解方程组； (3)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 题型二十八 实数运算的实际应用 55．（23-24七年级下·北京·期中）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：．请回答下列问题： (1)______，______； (2)当时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）； ①；②；③；④若（为整数），则． (3)当时，解关于的方程． 56．（23-24七年级上·四川成都·期末）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 题型二十九 与实数运算相关的规律题 57．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 58．（20-21七年级下·安徽·月考）观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.5 实数（高频易错题题型训练） 【解析版】 题型一 平方根概念理解 1 题型二 求一个数的平方根 3 题型三 求代数式的平方根 4 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 5 题型五 利用平方根解方程 6 题型六 求一个数的算术平方根 8 题型七 利用算术平方根的非负性解题 9 题型八 估计算术平方根的取值范围 10 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 11 题型十 算术平方根的实际应用 13 题型十一 立方根概念理解 15 题型十二 求一个数的立方根 18 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 19 题型十四 与立方根有关的规律探索 20 题型十五 立方根的实际应用 21 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 23 题型十七 无理数 24 题型十八 无理数的大小估算 25 题型十九 无理数整数部分的有关计算 26 题型二十 实数概念理解 28 题型二十一 实数的分类 29 题型二十二 实数的性质 31 题型二十三 实数与数轴 33 题型二十四 实数的大小比较 35 题型二十五 实数的混合运算 37 题型二十六 程序设计与实数运算 39 题型二十七 新定义下的实数运算 41 题型二十八 实数运算的实际应用 43 题型二十九 与实数运算相关的规律题 46 题型一 平方根概念理解 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知正数a的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的值． 【答案】15 【思路引导】本题考查了平方根，算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据正数a的两个平方根分别是和得到，求出x，即可得到，根据相反数的定义结合算术平方根的非负性，求出，再代入求值即可． 【规范解答】解：∵正数a的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·河南南阳·月考）在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确过程见解析 【思路引导】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键．错误的在第②部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． 【规范解答】解：不正确． 一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ， 这个数为16； ②当时，解得， 当时，，舍去； 综上所述，这个数为16． 题型二 求一个数的平方根 3．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知，的平方根是，，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查平方根、算术平方根、代数式求值，理解平方根的定义，由算术平方根的非负性求得c值是解答的关键．根据平方根和算术平方根的定义求得a、b、c值，进而代值求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴，解得； ∵的平方根是， ∴，解得； ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】（1）0；（2）12 【思路引导】本题考查平方根、算术平方根、立方根、绝对值： （1）先根据已知条件判断出与y的数量关系，进而求出的平方根； （2）先根据平方根、立方根的定义得出，解方程组求出x，y的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解． 【规范解答】解：（1） 或． 且， ， ， ， 的平方根是0． （2）由题意可知，， 解得， ． ， 的算术平方根是12． 题型三 求代数式的平方根 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根． 【答案】(1)2 (2)和 【思路引导】（1）利用两点间的距离公式计算即可；（2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：∵AB＝2， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵|2c＋6|与互为相反数， ∴， ∵，， ∴2c＋6＝0，d−4＝0， ∴c＝−3，d＝4， ∴， ∴的平方根是． 【考点再现】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得m的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． 6．（21-22七年级下·吉林四平·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a＝5，b＝4； (2)． 【思路引导】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【规范解答】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4． ∴，，解得a＝5，b＝4． （2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为， 即ab+5的平方根是． 【考点再现】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 7．（16-17七年级上·浙江嘉兴·月考）已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查算术平方根，平方根，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出，即得关于的方程，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出，再求即可． 【规范解答】（1）解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知正数m的两个平方根分别是和，n的算术平方根是2， p的相反数是． 求的值． 【答案】的值为或 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根和相反数，熟练掌握平方根，算术平方根和相反数的定义是解题的关键． 根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求出的值，进而求出的值，根据算术平方根定义求出n，根据相反数的定义求出p，继而相加计算即可． 【规范解答】解：正数m的两个平方根分别是和， ， 整理得， 解得或， 当时，； 当时，； n的算术平方根是2， ， p的相反数是， ， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 题型五 利用平方根解方程 9．（20-21七年级下·河南信阳·期末）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：___________； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③ 解：． 或． ④． 解：或． 或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 【答案】(1)负数没有平方根 (2)⑤或；⑥或 【思路引导】本题考查利用平方根解方程，读懂题意，按照阅读材料中的方法求解是解决问题的关键． （1）根据平方根的性质即可得到答案； （2）仿照③、④，利用平方根解方程即可． 【规范解答】（1）解：方程②无实数解的依据是：负数没有平方根， 故答案为：负数没有平方根； （2）⑤解：． ． 或 ⑥解：． 或． 或． 10．（24-25七年级下·山西大同·期末）怀仁市的自然资源以煤炭和高岭岩闻名，就此形成一个行业——陶瓷业．有一种被当地人称作“黑砂石”的矿物质，实际上是重要的陶瓷制作原料．某中学课外活动小组为了宣传当地陶瓷，A小组成员制作如图①所示正方形陶瓷卡片，该卡片的面积为；小组成员制作如图②所示的长方形封皮，长方形封皮的长和宽的比为，面积为． (1)求正方形卡片的边长； (2)通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】(1) (2)不能 【思路引导】本题考查了平方根和算术平方根的应用． （1）直接根据算术平方根计算即可； （2）设长方形封皮的长为，根据面积公式列方程求出长方形封皮的长和宽，再判断即可． 【规范解答】（1）解：∵该卡片的面积为， ∴该卡片的边长为； （2）解：设长方形封皮的长为，则宽为， ∵面积为， ∴， 即， 解得（负值舍去）， ∴长方形封皮的长为，则宽为， ∵长方形封皮的宽， ∴卡片不能直接装进长方形封皮中． 题型六 求一个数的算术平方根 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】根据算术平方根的定义，求解和，再代入表达式求值． 本题主要考查了算术平方根的相关定义，熟练掌握并能够运用是解决本题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得 ∵， ∴，代入， 得，即， 解得 则 故答案为：． 12．以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 【答案】B 【思路引导】本题考查了算术平方根和平方根，分别利用算术平方根和平方根的定义及性质对每个选项逐个分析，即可得到正确的答案． 【规范解答】解：A．7是49的算术平方根， 即，故该选项错误； B．7是的算术平方根，即，故该选项正确； C．是49的平方根，即，故该选项错误； D．是49的平方根，即，故该选项错误； 故选：B 题型七 利用算术平方根的非负性解题 13．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了代数式求值，非负数的应用，算术平方根，根据偶次幂，算术平方根均为非负数，它们的和为0时，由此解出a和b的值，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 14．（20-21七年级下·黑龙江佳木斯·期中）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查平方的非负性和二次根式的双重非负性，有理数的乘方，解决此题定关键是正确的计算；先根据非负性得到，的值，代入求值即可得到答案； 【规范解答】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 题型八 估计算术平方根的取值范围 15．（23-24七年级下·广西玉林·月考）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)，； (2)的“青一区间”为． 【思路引导】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 16．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 【答案】D 【思路引导】本题考查平方根，算术平方根的计算，算术平方根的取值范围，能够数量掌握算术平方根的运算是解决本题的关键．根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可． 【规范解答】解：A、面积为17的正方形的边长为，故正确，不符合题意； B、17的算术平方根为，故正确，不符合题意； C、，则，故在整数4和5之间，故正确，不符合题意； D、，则，故选项错误，符合题意． 故选：D． 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 17．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）； （2）右；1 （3）； 【思路引导】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【规范解答】解：（1），． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②从到小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位．即． 18．先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【思路引导】本题考查了与算术平方根有关的规律探究问题，根据例子找出其中的数字变化的规律是解题的关键． （1）由已知的等式可以发现：等式的左边被开方数都是加连续两个自然数平方的倒数和的形式，中间的算式都是第一个加数是，第二个加数是两个连续自然数中第一个数的倒数，第三个加数是两个连续自然数中第二个数的负倒数，右边的结果都为整数部分是，分数部分的分子为，分母为两个连续自然数的积，据此可得答案； （2）根据（1）的分析写出等式即可； （3）用字母表示第一个自然数，然后根据（1）的分析写出反映规律的等式，再验证即可． 【规范解答】（1）解：∵； ； ， ， ∴， 左边 右边； （2）解：， 故答案为：； （3）解：按照上面各等式反映的规律：． 左边 右边． 题型十 算术平方根的实际应用 19．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 【答案】（1）5，；（2）见解析 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图2和图3面积相等可得出图3拼成的大正方形的面积，再根据勾股定理即可求出边长； （2）根据题意画出裁剪线，然后拼接即可． 【规范解答】解：（1）图2可以把它剪拼成一个大正方形（图3）， 图3中拼成的大正方形的面积等于图2的面积， 图3中拼成的大正方形的面积为； 边长为， 故答案为：5，； （2）如图所示： 20．（24-25七年级下·广东广州·期末）天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式来估计，其中h（单位：米）是眼睛离海平面的高度． (1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？ (2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是米，他想看到距离岸边大约10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？ 【答案】(1)5千米 (2)米 【思路引导】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义． （1）将代入，即可求解； （2）根据题意代入求出h的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：因为， 所以， 所以（舍）或， 答：能看到5千米远； （2）解：当时，可得， 解得， （米）． 则观望台至少离海平面高为米． 题型十一 立方根概念理解 21．（20-21七年级下·内蒙古赤峰·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 【答案】（1）填表见解析；（2）被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍；（3）14.42，0.03107，31.07，0.1442 【思路引导】本题考查立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可求解； （2）由于被开方数的小数点每移动三位，相应的立方根的小数点移动一位，由此即可解决问题； （3）被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点就按同方向移动1位．利用此规律即可求解． 【规范解答】解：（1） 填表如下：                          0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 （2） 由上可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍．        （3） 根据你发现的规律填空： 已知，， 则， ， ， ， 故答案为：14.42，0.03107，31.07，0.1442． 22．（23-24七年级下·广东江门·月考）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【思路引导】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【规范解答】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解： ，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 题型十二 求一个数的立方根 23．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）求x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查了平方根解方程，立方根解方程． （1）两边同时除以4后开平方即可； （2）两边同时除以2后开立方即可． 【规范解答】（1）解：， 两边同时除以4，得， 开平方，得或， 即或， 解得或； （2）解：， 两边同时除以2，得， 开立方，得， 解得． 24．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．5和 B．和 C．和 D．－5和 【答案】B 【思路引导】本题考查相反数的定义，掌握互为相反数的两个数符号相反、绝对值相等是解题的关键，通过计算每组数的值，判断是否互为相反数，即和为零． 【规范解答】解：A、，5与不互为相反数； B、，，∴与互为相反数； C、，与相等，不互为相反数； D、与不互为相反数． 故选：B． 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 25．（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）（1）已知的立方根是，的算术平方根是，求的平方根． （2）若一个正数的平方根是和，求这个正数． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 根据立方根与算术平方根的定义得到，，则可计算出，，然后计算后利用平方根的定义求解． 首先根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程可得，然后再求出这个正数即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得，， 解得，， 所以， 而的平方根为， 所以的平方根为； （2）由题意得：， 解得：， ，， 则这个正数为． 26．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了立方根与平方根、算术平方根，熟练掌握立方根与平方根的性质是解题关键． （1）先根据立方根和算术平方根可得，，再解方程即可得； （2）先根据（1）的结果求出的值，再根据平方根的性质求解即可得． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴，， ∴， 将代入得：， ∴． （2）解：由（1）已得：，， ∴， ∵， ∴的平方根为． 题型十四 与立方根有关的规律探索 27．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（24-25七年级下·贵州黔南·月考）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根． 【答案】195112的立方根是58 【思路引导】本题考查立方根，根据题意所给方法确定195112的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【规范解答】解：①，，又， 能确定195112的立方根是个两位数．              ②195112的个位数是2，又， 能确定195112的立方根的个位数是8．             ③如果划去195112后面的三位112得到数195， 而，则，可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5，              因此195112的立方根是58． 题型十五 立方根的实际应用 29．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】（）把移到右边，再根据平方根的定义解答即可； （）把移到右边，再根据立方根的定义解答即可； 本题考查了利用平方根和立方根解答方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【思路引导】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【规范解答】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 31．（20-21九年级下·浙江·月考）已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求a、b的值； 【答案】a、b的值分别为2与 【思路引导】本题考查了平方根的性质，立方根等知识，掌握这些知识是解题的关键；由正数的两个平方根互为相反数得，可求得a的值；由立方根为的数得，可求得b的值． 【规范解答】解：∵和是某正数的两个不相等的平方根， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， 解得：， 综上，a、b的值分别为2与． 32．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【规范解答】解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于． 题型十七 无理数 33．（22-23七年级下·广西梧州·期末）在实数：，0，，，，，（相邻两个4之间3的个数逐次增加1个）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义． 根据无理数的定义逐项进行判断即可，无理数是无限不循环小数． 【规范解答】解：根据无理数的定义得， 是无理数的有：，，（相邻两个4之间3的个数逐次增加1个） 共3个， 故选：C． 34．在① ② ③④ ⑤3.14 ⑥0 ⑦⑧ ⑨⑩ 0.121221222（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填序号： 整数有____________； 负分数有____________； 有理数有____________； 正无理数有____________． 【答案】⑥⑨；①④；①④⑤⑥⑨；②③⑦⑧⑩ 【思路引导】本题重点考查​实数的分类与定义​，​准确理解并区分整数、负分数、有理数和正无理数的概念，特别是对需要化简的表达式（如带根号或绝对值的式子）进行正确运算是解题的关键​． 根据整数，负分数，有理数和无理数的概念判断即可． 【规范解答】整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 有理数有：①④⑤⑥⑨； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 题型十八 无理数的大小估算 35．（25-26七年级下·全国·周测）观察表格并回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)__________，__________． (2)①已知，则__________； ②已知，若，则__________（用含m的代数式表示b）． (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)0.1  10 (2)①31.6  ②10000m (3)当或1时，；当时，；当时，． 【思路引导】本题考查了算术平方根的性质与规律，掌握算术平方根的定义、被开方数与算术平方根的缩放关系，以及分情况讨论数的大小是解题的关键． （1）根据表格中与​的对应关系，利用算术平方根的定义，直接求出和的值； （2）①将变形为​，利用算术平方根的乘积性质，结合已知进行计算； ②观察​与​的数值倍数关系，根据算术平方根的缩放规律，推出被开方数与的关系； （3）分或三种情况，结合表格中的数据实例，比较与的大小． 【规范解答】（1）解：∵​，且， ∴； ∵，且， ∴． （2）解：①​， ∵， ∴． ②∵， ∴． （3）解：当或1时，； 当时，； 当时，． 36．（24-25七年级下·全国·期中）对任何正实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，．对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫作一次操作．如对72进行如下操作：．这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是（   ） A．256 B．255 C．225 D．224 【答案】B 【思路引导】本题考查了算术平方根、估算无理数的大小的应用，根据表示不超过a的最大整数，对各选项进行操作，找出只需进行3次操作变为1的最大整数即可解答． 【规范解答】解：A、256第一次操作，第二次操作，第三次操作，第四次操作， ∴256需要进行4次操作才变为1，不符合题意； B、255第一次操作，第二次操作，第三次操作 ∴255需要进行3次操作才变为1； C、225第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴225需要进行3次操作才变为1； D、224第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴224需要进行3次操作才变为1； ∵， ∴只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是255． 故选：B． 题型十九 无理数整数部分的有关计算 37．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【思路引导】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【规范解答】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 38．（24-25七年级下·重庆·期末）（多选）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 【答案】ABD 【思路引导】本题主要考查了新定义运算以及不等式的应用，熟练掌握根整数的定义并结合不等式求解是解题的关键．根据根整数的定义，分别对每个选项进行分析计算． 【规范解答】解：∵，，且， ∴， ∴，故选项A正确． 第一次：； 第二次：； 第三次：， ∴对连续求根整数，次之后结果为，故选项B正确． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的的整数值为、、，它们的和为，故选项C错误． 设第次运算的数为，则，所以，即； 第次运算的数为，则，所以，因为，取，则； 第次运算的数为，则，所以，取，则，所以的最大值为，故选项D正确． 故选：ABD． 题型二十 实数概念理解 39．（22-23七年级下·福建龙岩·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【答案】256 【思路引导】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 【规范解答】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【考点再现】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 40．（22-23七年级下·湖南株洲·月考）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________…}； (2)负无理数集合：{______________…}； (3)正实数集合：{________________…}． 【答案】(1)，，0，， (2)， (3)，， 【思路引导】（1）根据有理数的定义，即可求解； （2）根据负无理数的定义，即可求解； （3）根据正实数的定义，即可求解． 【规范解答】（1）解：， 有理数集合：{，，0，，，……}； 故答案为：，，0，，； （2）解：负无理数集合：{，，……}； 故答案为：，； （3）解：正实数集合：{，，，……}． 故答案为：，，． 【考点再现】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数． 题型二十一 实数的分类 41．（24-25七年级下·安徽六安·月考）将下列实数分别填到相应的横线内． ，，，，，，，，，（每两个3之间依次增加一个0） (1)整数：{　　　　　　　}； (2)分数：{　　　　　　　}； (3)无理数：{　　　　　　　} 【答案】(1)，，， (2)，， (3)，， 【思路引导】本题考查了实数的分类，立方根的求解，平方根的求解，化简绝对值，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）根据立方根，平方根的求解求出结果，再根据定义分类即可； （2）根据分数的定义分类即可； （3）根据无理数的定义分类即可． 【规范解答】（1）解：，，， 整数有：，，0，； （2）分数有：，，； （3）无理数有：，，． 42．（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【规范解答】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互质的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为6的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 题型二十二 实数的性质 43．（20-21七年级下·江西宜春·月考）（1）计算：                 （2） 已知：，求x的值． 【答案】（1） （2）或 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，求一个数的平方根，根据平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）先根据绝对值化简，然后根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据平方根的定义解方程即可求解． 【规范解答】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， 解得：或． 44．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)在（2）的条件下，若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在点的左侧，理由见解析 【思路引导】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出运动 2026秒时，在点左侧 2 个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移 4 个单位长度得到点， ∴B点表示的数为； （2）解：∵C点表示的数是所表示数的相反数， ∴C点表示的数为； （3）解：， ， ∴P运动 2026秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为． 因为表示的数是， ， ， ，即， ∴ P在点的左侧． 题型二十三 实数与数轴 45．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)1 (3)2 【思路引导】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的立方根． （1）由题意可直接求出的值是； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，进而可求出的立方根． 【规范解答】（1）解：实数m的值是． 故答案为：； （2） ． ． （3）∵与互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴， 则的立方根为． 46．（22-23八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根. 【答案】(1) (2)2 (3) 【思路引导】（1）根据两点间的距离公式计算即可； （2）由（1）可得、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出、的值，再代入，进而求其平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， ∴ ． （3）解：∵与互为相反数 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 即的平方根是． 【考点再现】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键． 题型二十四 实数的大小比较 47．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长： (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为，她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．小明的说法不正确．理由见解析 【思路引导】本题考查平方根的实际应用，熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，算术平方根定义，是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，由题意得到，求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：大正方形边长； 故大正方形纸片的边长为； （2）解：不同意小明的说法．不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由：∵长方形纸片的长、宽之比为且面积为， ∴设长为，则宽为， ∴， ∵， ∴， ∴长为， ∴不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．小明的说法不正确． 48．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即_______．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，_______． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)她的想法不可行，理由见解析 【思路引导】本题考查反证法，算术平方根的应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． （3）求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【规范解答】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （3）她的想法不可行，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴她的想法不可行． 题型二十五 实数的混合运算 49．（25-26七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根、立方根、绝对值、乘方的运算法则，及实数混合运算的顺序是解题的关键． （1）先分别计算式子中的结果，再按照加减运算顺序计算式子的值． （2）先依次计算的结果，再进行乘法运算，最后按顺序计算加减． 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴原式 ． （2）解：∵， ∴原式 ． 50．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)a的值为____________． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)－2π (2)2 【思路引导】(1) 圆向左滚动一周的距离等于圆的周长，先计算周长，再结合数轴方向确定点表示的数； (2) 先代入的值，计算立方根、化简式子，最后求结果的算术平方根． 【规范解答】（1）解：∵圆的直径为 2， ∴圆的周长为 ∵圆从原点向左滚动一周，点到达点 ∴点表示的数 （2）解：原式 ． ∵4的算术平方根为2， ∴的算术平方根为2． 【考点再现】本题考查圆的周长计算、实数的混合运算与算术平方根，掌握 圆的周长公式、立方根的计算、算术平方根的定义是解题的关键． 题型二十六 程序设计与实数运算 51．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转化器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为10时，则输出的y值为 ． 若输出的y值是且，则输入的x的值为 ． 【答案】 19或 【思路引导】本题主要考查了实数的混合运算，程序图，解题的关键是理解题目所给程序的运算顺序以及实数混合运算的运算顺序和运算法则． （1）把代入进行计算即可； （2）根据题意可得：或25，根据，即可得出结论． 【规范解答】解：输入的x值为10时，，取算术平方根为是有理数， 则返回是有理数，返回取算术平方根为，无理数则输出， 则y的值为， 故答案为：； 按数值转换器，进行逆运算， 输出的y是，且， 上一步应该是5或25， 当或25时，或或19或， ， 或， 故答案为：19或． 52．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【思路引导】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【规范解答】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或 （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 题型二十七 新定义下的实数运算 53．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【思路引导】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【规范解答】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 54．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）数学乐园：解二元一次方程组，①②，得，当时，，同理：．符号称之为二阶行列式，规定：．设，那么方程组的解就是． (1)二阶行列式_____； (2)①解不等式：；②用二阶行列式解方程组； (3)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解法，实数的新定义运算，解一元一次不等式，解题的关键是理解题意新定义的运算，根据二阶行列式计算． （1）根据，即可求出； （2）①根据，得，解出，即可； ②根据，，，那么方程组的解就是，即可求出的解； （3）根据无解，得，且中至少一个不为0，即可求出的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴的值是， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的解集为； ②∵方程组， ∴方程组中，，，，，，， ∴， ， ， ，， ∴方程组的解为：； （3）解：∵， ∴方程组中，，，，，，， ∴， ∵无解， ∴，且中至少一个不为0， ∴， 解得， ∵， ∴m的值为． 题型二十八 实数运算的实际应用 55．（23-24七年级下·北京·期中）对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：．请回答下列问题： (1)______，______； (2)当时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）； ①；②；③；④若（为整数），则． (3)当时，解关于的方程． 【答案】(1)2，； (2)①②④； (3) 【思路引导】本题考查了无理数的估算 （1）根据无理数的估算可得，再根据题干规定即可求解； （2）根据题干规定逐一判断即可； （3）根据，方程可变形为，再将代入，即可求出的值． 【规范解答】（1）解：， ， ，， 故答案为：2，； （2）解：表示的小数部分， ， ①命题是真命题； 根据定义可得，， ②命题是正命题； 表示的小数部分， ， ③命题是假命题； ， ， ， ，即， ④命题是真命题， 故答案为：①②④； （3）解：，， ， ， ， ， ， ． 【考点再现】本题考查了无理数的估算，实数的运算，不等式的性质，一元一次方程的应用，真假命题的判断，正确理解题干规定是解题关键． 56．（23-24七年级上·四川成都·期末）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 【答案】(1)1640元 (2)甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人 (3)元 【思路引导】本题考查实数计算，一元一次方程实际应用， （1）根据题意列出合起来购买服装的算式，再减去分开购买即为本题答案； （2）根据题意设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人，可知甲校参演人数大于人小于人，乙校区参演人数小于人，再列出一元一次方程即可； （3）根据题意先求出服装厂一件成本，再求出丙校区购买套数，继而求出本题答案． 【规范解答】（1）解：根据题意：（元）， ∵两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元， ∴（元）， 答：甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省1640元； （2）解：设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人， ∵甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人， ∴，解得：， 乙校区参演人数为：（人）， 答：甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人； （3）解：∵甲校区参演人数为60人， 又∵甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%， ∴设服装厂每套服装成本元， ，即：， ∵丙学校购买的服装比甲校区少12套， ∴丙校区购买了：（套）， ∴（元）， 答：服装厂卖给丙学校服装时共获利1440元． 题型二十九 与实数运算相关的规律题 57．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【思路引导】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【规范解答】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 58．（20-21七年级下·安徽·月考）观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【规范解答】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $