湖北省襄阳市第四中学2026届高三上学期数学晚自习测试（十四）

襄阳四中2026届高三上学期晚自习测试（十四） 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 2．某校高一有学生 980 人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为（     ） A．784 B．490 C．392 D．294 3．已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，且，，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 5．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（   ） A． B． C． D． 6．动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．过点作一直线与抛物线交于，两点，若抛物线在，两点处的切线交于点，且点满足，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知函数，，则下列关于函数的极值点的叙述，正确的是（    ） A．既没有极大值点也没有极小值点 B．既有极大值点也有极小值点 C．有且只有一个极小值点 D．有且只有一个极大值点 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．在斜三角形中，下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在直三棱柱 中，，Q是线段的中点，P是线段上的动点 （含端点），则下列命题正确的是 （    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与所成角的正切值的最小值是 C．在直三棱柱 内部能够放入一个表面积为的球 D．的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知数列为公差为的等差数列，且、、依次成等比数列，则 ． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率 ． 14．甲、乙、丙、丁四人报数，每人报出了一个正整数，且它们之和为11．设这四人报出的最大数为，则 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时. (1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？ 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 (2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率. 参考公式与数据：，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16．已知数列的前项和为，且. (1)若，求； (2)若数列是单调递增数列，求首项的取值范围. 17．如图，在三棱锥中，点分别是底边的中点，平面和平面相交于直线.    (1)求证：平面； (2)若平面平面是直线上的一点，，求直线与平面所成角的正弦值. 18．如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q． (1)求C的方程； (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由； (3)设S1，S2分别为△ABN和△NPQ的外接圆面积，求的取值范围． 19．已知函数有两个不同的零点，分别记为，且. (1)求实数的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)有两组正实数，且.证明：. 襄阳四中2026届高三上学期晚自习测试（十四） 数学答案 1．C 2．C 3．B 4．C 5．C 6．【答案】C【详解】令，解得，故的定义域为，，当且仅当，即时，等号成立，故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是. 故选：C 7．【答案】A【详解】由题意得，设直线l方程为，，，将直线l方程代入抛物线得，则.由得，，则，所以在两点处的切线的斜率分别为，，所以. 又因为，两边平方并整理得， ，所以， ，所以，即，所以.故选：A. 8．【答案】D【详解】因为，所以， 设， 当，在上单调递减， 所以存在唯一，当，在上单调递增， 当，在上单调递减，所以是函数的极大值点， 所以函数有且只有一个极大值点.故选：D. 9．【答案】ACD【详解】设，则，对于A，当时，，则，故A错误；对于B，，，所以，故B正确；对于C，当时，，，满足，但，故C错误；对于D，当时，，而，故D错误. 故选：ACD. 10．【答案】BD【详解】在斜三角形中，设内角、、的对边分别为、、，对于A选项，若，由正弦定理可得，由三角形三边关系可知等式不成立，A错；对于B选项，若，由两角和的正切公式可得，故，因为，故只需即可，合乎题意； 对于C选项，若，则， 即， 所以，即， 因为、，故，， 所以，即，即， 因为、，则、，故，所以，由题意可得，故， 由于，故，因为正切函数在上单调递增，故，整理得，这与三角形的内角和定理矛盾，C错； 对于D选项，若，由可得， 即， 等式两边平方可得， 即，因为，解得， 因为，则，故，则， 由于，，所以满足条件的锐角存在，D对.故选：BD. 11．【答案】ABD【详解】对于A选项，如下图所示，连接交于点，连接，因为四边形为平行四边形，则为的中点，又因为为的中点，则，因为平面，平面，则平面，因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B选项，因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由，则、、、、，设，其中， 则，设直线与所成角为， 所以，，当时，取最大值，此时，取最小值，取最大值，，，所以，直线与所成角的正切值的最小值是，故B正确；对于C选项，因为，，则，的内切圆半径为，由于直径，所以在这个直三棱柱内部可以放入一个最大半径为的球，而表面积为的球，其半径为：，因为，所以这个直三棱柱内部不可以放入半径为的球，故C错误；对于D选项，点关于平面的对称点为，则， ，，所以，，则，因为平面，，则平面，因为平面，则，将平面和平面延展为一个平面，如下图所示： 在中，，，，由余弦定理可得，当且仅当三点共线时，取最小值，故的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 14．【答案】【详解】设甲、乙、丙、丁报出的数分别为a，b，c，d，则，且，利用隔板法，将11个1分成4组，每组至少有1个1，则形成10个空，任取3个即可完成分组，则甲、乙、丙、丁报出的数有种情况． 分析可知的所有可能取值为3，4，5，6，7，8． 当时，a，b，c，d的取值只能是三个3，一个2，有种情况，则； 当时，有两种情况：①中有两个是4，余下两个分别为1，2，则有种情况； ②中只有一个是4，余下三个分别为2，2，3或1，3，3，有种情况，则； 当时，中只有一个是5，其余三个分别是1，2，3或1，1，4或2，2，2，有种情况，则； 当时，中只有一个是6，余下的三个数是：1，2，2或1，1，3，则有种情况，则； 当时，a，b，c，d中只有一个是7，余下三个数是1，1，2，有种情况，则． 当时，a，b，c，d中只有一个是8，余下三个数是1，1，1，则有种情况，则． 故． 【点睛】思路点睛：解决排列组合问题的常用方法有主元法、位置分析法、隔板法、捆绑法、插空法等，一般思路是先选后排，或用两个计数原理．遇到新的问题情境，要认真读题，抓住要点，分清主次．遇到的问题难度较大时，有时可采用先分类，再分步的方法，情况比较多时，用排除法也比较容易解决问题． 15．【详解】（1）表格如下： 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立. 根据表中的数据，可得 4分 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关. 6分 （2）由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人. 从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲，设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”， 事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”，“甲每周的锻炼时间不超过5小时”， 用连列表中的数据计算频率并替代概率后得 8分 又已知， 由全概率公式可得， 所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为. 13分 16．【详解】（1）因为，则， 3分 可得， 若，则，可知是以首项为2，公比为3的等比数列，则，所以. 6分 （2） 因为，当时，则；当时，则，两式相减可得，则， 9分 若数列是单调递增数列，则，解得， 12分 因为，解得， 综上所述：首项的取值范围为. 15分 17．【详解】（1）证明：因为点分别是底边的中点，所以，.因为平面平面PAB，所以平面， 3分 因为平面和平面的交线为，平面，所以，因为平面平面ABC，所以平面. 6分 （2）因为，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又.所以以为原点，分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，   因为，所以，又， 则， 由（1）可知，因为， 若，又，所以，所以 若，又，所以，所以 因为，设平面PBC的法向量为， 则，不妨取，解得， 9分 设直线与平面所成角为， 当点的坐标为时，. 则；. 12分 当点的坐标为时，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为或. 15分 18．【详解】（1）因为离心率，所以双曲线的方程为，将点代入双曲线方程得，所以，所以双曲线C的方程为． 5分 （2）直线PQ过定点，理由如下：设，直线PQ的方程为， 联立，整理得，则， 7分 直线，所以， 又N，B，Q三点共线，所以，即，即， 即． 9分 因为，所以，代入上式得，所以．所以PQ过定点. 10分 （3）设△ABN和△NPQ的外接圆半径分别为 由正弦定理可得，又， 所以，即． 11分 设直线PQ的方程为x＝my+4，与C的方程联立， 整理得，则， 13分 又，即，解得， 15分 又因为，所以． 17分 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系，关键是利用代换整理得直线过定点解决第2问. 19．【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由参变分离得有两个不同的零点，求导分析单调性，结合函数图像即可求解； （2）由题知，不等式转化为，令，则，进而得，令，求导再利用导数确定最值即可； （3）设，再证：即可. 【详解】（1）函数有两个不同的零点， 所以，即有两个不同的解， 令，由得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以， 当时，；当时， 所以. 注：函数的图像如下， （2）因为有两个不同的零点， 由题知，且，即， 相减得到： 因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立. 设，则时，不等式恒成立， 因为进而得在时恒成立， 设， 则， 即， 又因为且，则，所以当时，， 即，故在单调递增， 因为，所以恒成立，故满足题意. 当时，若，由，则在单调递减， 所以当时，与题设不符. 综上所述，正数的取值范围. （3）令，则 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 所以为极小值点，即最小值点，所以 即当且仅当时等号成立. 由（2）知：，进一步取，则； 不妨假设 则 故 进一步： 另外： 又 ， 当且仅当时等号成立 则. 即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $