精品解析：天津市和平区汇文中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年第一学期数学学科期末质量调查 第I卷（选择题） 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求） 1. 如图图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 对于二次函数，下列结论中，错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，函数的最大值为0 D. 开口向下 3. 的值等于（ ） A. B. 2 C. D. 4. 如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图： （1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（　　） A. ∠ABD＝90° B. sin2A+cos2D＝1 C. DB＝AB D. 点C是△ABD的外心 10. 如图，已知是正三角形，Q是边上一点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，连接，若，，则下面四个结论中，错误的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. 的周长是9 D. 11. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 已知二次函数，当时，的值为______． 14. 一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面直径为6，则此圆锥的母线长为______． 15. 某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明，小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是________． 16. 如图，与是位似图形，位似比为，已知，则的长为________． 17. 如图，在中，，，，是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，点，的对应点分别是点，，点在边上． （1）若是的中点，则_______________________； （2）若，则点到的距离为_______________________． 18. 如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以为直径作圆，点M为弧的中点． （I）线段的长度等于________． （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）． 三、解答题：（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （1）用适当的方法解下列方程：． （2）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 20. 已知二次函数．若二次函数图象经过点． （1）写出该二次函数图象上与对称的点的坐标_____． （2）求二次函数的解析式，并写出顶点坐标． （3）当时，求函数的最大值与最小值的差_____． 21. 已知，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，点在的延长线上，且平分． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，过点作的切线与的延长线交于点，若的半径为，，求的长． 22. 李老师给班级布置了一个实践活动，测量云南某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量．如图，纪念碑设在1.2米的石台上，他们先在水平地面点处测得石碑最高点的仰角为，然后沿水平方向前进18米，到达点处，测得点的仰角为，测角仪的高度为1.6米，求纪念碑的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，） 23. 已知宿舍、街心公园、图书馆依次在同一条直线上，街心公园离宿舍，图书馆离宿舍．李华从宿舍出发，匀速骑行到达街心公园；在街心公园停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍，给出的图象反映了这个过程中李华离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 李华离开宿舍的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 李华离宿舍的距离/km 2 12 （2）填空： ①街心公园到图书馆的距离为______； ②李华从街心公园到图书馆的骑行速度为______； ③当时，请直接写出y关于x的函数解析式； （3）在李华离开图书馆之前，同宿舍的张明也从图书馆直接回宿舍，张明比李华早走了，如果张明匀速跑回宿舍的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到李华时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 在一次数学兴趣小组活动中，小明将两个形状相同，大小不同的三角板和三角板放置在平面直角坐标系中，点，，，． （1）如图①，求点的坐标； （2）如图②，小明同学将三角板绕点按顺时针方向旋转一周． ①若点，，在同一条直线上，求点到轴的距离； ②连接，取的中点，在旋转过程中，点到直线的距离的最大值_____________（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接． （1）直接写出结果；_____，_____，_____； （2）在（1）中的抛物线上的第一象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若没有，请说明理由． （3）如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边上的动点，且，记的最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期数学学科期末质量调查 第I卷（选择题） 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求） 1. 如图图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：D． 2. 对于二次函数，下列结论中，错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，函数的最大值为0 D. 开口向下 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数是顶点式，结合它的图象顶点，开口方向，图象位置等，逐一判断． 【详解】解：根据二次函数的性质，可得：二次函数的图象顶点为（，0），对称轴为，开口向下， 故当时，函数的最大值为0，当时，y随x的增大而减小； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，了解二次函数的性质是解决本题的关键． 3. 的值等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先代入特殊角的三角函数值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值等于， 故选：A． 4. 如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在主视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 6. 一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式．直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：C． 7. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可. 【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得： 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系. 8. 如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； 故选D． 9. 如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图： （1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（　　） A. ∠ABD＝90° B. sin2A+cos2D＝1 C. DB＝AB D. 点C是△ABD的外心 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定方法，三角形的外接圆的性质，特殊角三角函数值，解直角三角形一一判断即可． 【详解】由作图可知：CA＝CB＝CD， ∴∠ABD＝90°，点C是△ABC外接圆的圆心，故A，D正确， ∵AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°，∠D＝30°， ∴BD＝AB，故C正确， ∴sin2A+cos2D＝，故B错误， 故选B． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆与外心，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10. 如图，已知是正三角形，Q是边上一点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，连接，若，，则下面四个结论中，错误的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. 的周长是9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的判定，旋转的性质，结合已知逐一判断即可． 【详解】∵是正三角形， ∴， ∵绕点C按顺时针方向旋转，得到， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 故A正确，不符合题意； 故B正确，不符合题意； ∵绕点C按顺时针方向旋转，得到，是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴的周长是， 故C正确，不符合题意； 无法证明， 故D错误，符合题意， 故选D． 11. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出正多边形的中心角，利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵十二边形是正十二边形， ∴， ∵于M，又， ∴， ∵正边形的周长， ∴圆内接正十二边形的周长， 故选：A． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长是解题的关键． 12. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程应用的最值问题. 根据题意用未知数表示出未知量；根据题目的条件列出一元二次方程，转化为一般式，求出最值. 【详解】解：∵每星期可以卖出300件， 又∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元， ∴实际卖出件. 故①正确； 设降价y元，那么卖出件， 根据题意可得：所获得的利润. 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 故②错误； 设涨价x元， 由题意可得：所获利润 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大. 故③错误. 故答案选：B 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 已知二次函数，当时，的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式化简函数表达式，再代入x的值计算． 【详解】解：由二次函数，根据平方差公式，得， 当时，， 故答案为：6． 14. 一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面直径为6，则此圆锥的母线长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的母线长． 圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，利用扇形弧长公式与底面周长相等建立方程求解母线长． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 底面直径为6，则底面半径，底面周长， 侧面展开图的圆心角为， 则扇形弧长， 由，得， 解得． 故答案为：10． 15. 某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明，小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出小聪和小慧被同时选中的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 可知：共有6种等可能的结果，其中小聪和小慧同时被选中的情况有1种， ∴小聪和小慧被同时选中的概率是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数，再找出某事件所占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率． 16. 如图，与是位似图形，位似比为，已知，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，可得AB：DE=2：3，继而可求得DE的长． 【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3， ∴AB：DE=2：3， ∴DE=6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了位似图形的性质．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点． 17. 如图，在中，，，，是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，点，的对应点分别是点，，点在边上． （1）若是的中点，则_______________________； （2）若，则点到的距离为_______________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质及勾股定理解得，，在中，由勾股定理得到，最后由旋转的性质解题； （2）过点作交于点，交于点，由旋转性质得到，继而得到，再由勾股定理解得，结合含30°角的直角三角形性质及正切定义，分别求得，最后根据线段的和差解题即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ， 若是的中点， 中， 绕点顺时针旋转，得到， ， 故答案为：； （2）如图，过点作交于点，交于点 由旋转性质得到 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形、勾股定理、正切、图形的旋转、全等三角形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 18. 如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以为直径作圆，点M为弧的中点． （I）线段的长度等于________． （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）如图所示 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∵点O是的中点，点R是的中点， ∴， ∴， ∵点P是弧的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可； （Ⅱ）取格点，连接，，使得是等腰直角三角形，交于点Q，连接，取的中点R，连接交于点P（此时），连接，，点P即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）略 【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题：（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （1）用适当的方法解下列方程：． （2）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1），，（2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握解因式分解法、根与系数的关系是解题的关键． （1）先移项，然后再提公因式即可解答此方程； （2）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，解得，利用根与系数的关系得出，，再代入解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴或， 解得，，， （2）解： 方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系得， ，， ， 整理得，即， ∴或， 解得：或， ， ． 20. 已知二次函数．若二次函数图象经过点． （1）写出该二次函数图象上与对称的点的坐标_____． （2）求二次函数的解析式，并写出顶点坐标． （3）当时，求函数的最大值与最小值的差_____． 【答案】（1） （2），顶点坐标为 （3）8 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的最值．熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出对称轴，再由对称性求解即可； （2）把代入，求出，即可求出函数解析式，再配方成顶点式，求出顶点坐标； （3）根据解析式得抛物线开口向下，对称轴为直线，则当时 ，函数有最大值为5，当时，，当时，，则当时，函数的最大值为5，最小值为，即可求解． 【小问1详解】 解：对称轴为直线， ∵二次函数图象经过点， ∴二次函数图象上与对称的点的坐标是，即； 【小问2详解】 解：把代入， 得 解得：， ∴二次函数的解析式为 ∵ ∴顶点坐标为； 【小问3详解】 解： ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时 ，函数有最大值为5， 当时， 当时，， ∴当时，函数的最大值为5，最小值为， ∴函数的最大值与最小值的差为． 21. 已知，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，点在的延长线上，且平分． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，过点作的切线与的延长线交于点，若的半径为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得，由圆内接四边形对角互补可得，即可得，由平分得由三角形内角和定理即可求出； （2）过点作，垂足为，由垂径定理得，利用勾股定理得，由平分得，由得，即可得，进而得，由是的切线得，即可得，可证四边形是矩形，得，，即可得，利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， ∴， 在中， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线 ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角为直角、圆内接四边形的性质、垂径定理、切线的性质定理、角平分线的定义、矩形的判定与性质以及勾股定理，利用角平分线与等腰三角形得平行关系，结合垂径定理与矩形判定计算线段长度是解题的关键． 22. 李老师给班级布置了一个实践活动，测量云南某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量．如图，纪念碑设在1.2米的石台上，他们先在水平地面点处测得石碑最高点的仰角为，然后沿水平方向前进18米，到达点处，测得点的仰角为，测角仪的高度为1.6米，求纪念碑的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，） 【答案】12.4m 【解析】 【分析】延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC=MN=18m，DE=CN=BM=1.6m，求得CE=AE，设AE=CE=x，得到BE=18+x，解直角三角形求出AE，根据AE+ED-GD即可得到答案． 【详解】解：延长BC交AD于E，如图， 则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形， ∴BC=MN=18m，DE=CN=BM=1.6m， ∵∠AEC=90°，∠ACE=45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CE=AE， 设AE=CE=x， ∴BE=18+x， ∵∠ABE=22°， ∴， 解得：x=12（m）， ∴AE=12（m） ∴AD=AE+ED=12+1.6=13.6（m）， ∴ 答：天和核心舱的高度约为12.4m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 23. 已知宿舍、街心公园、图书馆依次在同一条直线上，街心公园离宿舍，图书馆离宿舍．李华从宿舍出发，匀速骑行到达街心公园；在街心公园停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍，给出的图象反映了这个过程中李华离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 李华离开宿舍的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 李华离宿舍的距离/km 2 12 （2）填空： ①街心公园到图书馆的距离为______； ②李华从街心公园到图书馆的骑行速度为______； ③当时，请直接写出y关于x的函数解析式； （3）在李华离开图书馆之前，同宿舍的张明也从图书馆直接回宿舍，张明比李华早走了，如果张明匀速跑回宿舍的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到李华时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）10，12，20 （2）①8，②16，③当时，；当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）直接根据函数图象即可得出答案； （2）①直接根据函数图象即可得出答案； ②根据速度、路程、时间的关系求解即可； ③分；；三种情况讨论，利用待定系数法求解即可； （3）设张明出发后遇到李华，根据相遇时两人走的路程相等，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：李华从宿舍到街心公园的速度为， 当时，， 当时，李华停留在街心公园，则； 当时，李华停留在图宿馆，则； 故答案为：10，12，20； 【小问2详解】 解：①街心公园到图书馆的距离为； 故答案为：8； ②李华从街心公园到图书馆的骑行速度为， 故答案为：16； ③当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 当时，； 当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，； 【小问3详解】 解：李华从图书馆到宿舍的速度为， 设张明出发后遇到李华， 则， 解得， ∴相遇时离宿舍的距离为． 24. 在一次数学兴趣小组活动中，小明将两个形状相同，大小不同的三角板和三角板放置在平面直角坐标系中，点，，，． （1）如图①，求点的坐标； （2）如图②，小明同学将三角板绕点按顺时针方向旋转一周． ①若点，，在同一条直线上，求点到轴的距离； ②连接，取的中点，在旋转过程中，点到直线的距离的最大值_____________（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质求出根据勾股定理求出，得到再运用勾股定理求出，从而得到点D的坐标； （2）①分点E在上方和下方，利用面积法求解即可；②取的中点M，连接过点M作于点N，可得为的中位线，可判断点G在以M为圆心为半径的圆上，进一步可求出点到直线的距离的最大值． 【小问1详解】 在中， 在中， 又， 解得，（负值舍去） 又， ∴点D的坐标为； 【小问2详解】 ① 分两种情况：当点E在上方时，如图，过点D作轴于点F， ， ， ； 当点E在下方时，如图，过点D作轴于点G， 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 综上，点到轴的距离为或； ②如图，取的中点M，连接过点M作于点N， ∵M为的中点，G为的中点， ∴为的中位线， ∴点G在以M为圆心，以为半径的圆上， ∵M为的中点， ∴， 在中， 当点G运动到点时，此时三点共线，点G到的距离最大，最大值为 ∴点G到的中大距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，面积法，三角形中位线定理以及圆的有关知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 25. 已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接． （1）直接写出结果；_____，_____，_____； （2）在（1）中的抛物线上的第一象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若没有，请说明理由． （3）如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边上的动点，且，记的最小值为，求的值． 【答案】（1），，； （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线解析式为，即可得到值，由可得，根据正切定义可求出； （2）过点作轴于点，可求直线，设，则，，再由可建立起关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解最值； （3）作，且使，连接，证明得到，，，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， ， 解得， 抛物线解析式为； 当时，， 解得，， 抛物线与轴交于、两点， ， ，， 在中，； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：存在， 过点作轴于点， 设直线， ∵点，， ∴， 解得， ∴直线， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时； 【小问3详解】 解：如图，作，且使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 作于点， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ∵，， ∴ ∴， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $