第四单元 正比例与反比例 （解决问题讲义）数学北师大版六年级下册

第四单元 正比例与反比例 1.正比例的意义与判断方法： ----理解正比例的核心内涵：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量对应的比值（商）始终一定。掌握判断步骤：先找相关联的量→计算两组及以上对应量的比值→若比值不变，则成正比例关系，能举例区分正比例关系与非正比例关系（如速度一定时，路程与时间成正比例）。 2.反比例的意义与判断方法： ----掌握反比例的本质特征：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量对应的乘积始终一定。遵循判断逻辑：先确定量的关联性→计算两组及以上对应量的乘积→若乘积不变，则成反比例关系，明确正比例与反比例的核心区别（比值一定vs乘积一定）。 3.用正比例解决实际问题： ----解题关键：先判断题目中相关联的两种量是否成正比例（比值不变），再设未知数，根据正比例的意义列出比例式（对应量的比相等）求解。注意事项：确保对应量的单位统一，验算结果是否符合实际情境（如单价一定时，总价与数量的问题求解）。 4.用反比例解决实际问题： ----解题步骤：第一步判断两种相关联的量是否成反比例（乘积不变），第二步设未知量，依据反比例的意义列出等式（对应量的乘积相等），第三步解方程并验证。核心要点：找准不变的乘积量，避免因量的对应错误导致解题失误（如总工作量一定时，工作效率与工作时间的问题）。 5.正反比例问题综合辨析与应用： ----能根据题目条件快速区分正反比例关系，灵活选择对应方法解题；能解决含隐蔽不变量的复杂问题，通过列表、画图等方式梳理数量关系，突破“易混淆量”“多步关联”等难点，提升综合运用知识解决实际问题的能力。 类型1 变化的量解决问题： 典型例题1：下面是小华6～10岁的身高情况统计表。 年龄/岁 6 7 8 9 10 身高/厘米 112 118 125 130 136 （1）上表中有哪两种变化的量？     （2）这两种量是怎样变化的？ 【分析】（1）表格中有两栏，第一栏是年龄，第二栏是身高，身高随着年龄的变化而变化，这两个都是变化的量。 （2）通过比较年龄及身高数据可知年龄增长，身高也随之增加；据此解答。 变式训练：一台织布机的生产情况如下表。 工作总量（米） 15 30 45 60 75 ... 工作时间（时） 1 2 3 4 5 ... （1）表中反映了哪两个量的变化情况？ （2）这台织布机2小时织布多少米，它6小时织布多少米。 （3）这个题中不变的量是什么？ 类型2 正比例的认识及应用解决问题： 典型例题2：如表是某辆汽车所行路程及其对应耗油量的数值。 所行路程（千米） 16 32 48 64 耗油量（升） 2 4 6 8 （1）表中的耗油量与所行路程成正比例吗？为什么？ （2）在图中描出每组所行路程和耗油量所对应的点，然后把这些点依次连起来。估计一下，汽车行驶80千米的耗油量是多少？ 【分析】（1）根据表格中的数据可知，耗油量与所行路程的比值一定，所以成正比例。 （2）根据表格中的数据依次描出各点，再连接即可；再根据耗油量÷行驶的路程＝每千米的耗油量，用每千米的耗油量×80千米即可求出80千米的耗油量。 变式训练：一个工程队修路的时间与修路的米数的情况如下表。 修路的时间/天 0 l 2 3 4 5 … 修路的米数/米 0 60 120 300 … （1）将上面的表格填写完整。 （2）判断工程队修路的时间与修路的米数是否成正比例，并说明理由。 （3）根据表中数据，在下图中描出修路的时间和修路的米数所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （4）如果该工程队修路的时间为8天，那么修路的米数为 米。 类型3 反比例的认识及应用解决问题： 典型例题3：某物流公司要将一批货物运往加工厂，如果要一次把这些货物全部运走，货车的载质量与所需车辆的数量如下表。 载质量/吨 2.5 3 5 数量/辆 48 40 24 （1）货车的载质量与所需车辆的数量成反比例吗？为什么？ （2）如果用载质量为4.8吨的货车来运，一共需要多少辆？ 【分析】（1）判断两个相关联的量是否成比例，就看这两个相关联的量，它们之间的关系是商一定还是积一定；如果商一定，则成正比例；如果是积一定，则成反比例；如果商和积都不是定值，则不成比例。 （2）用货车的载质量乘对应所需车辆的数量，求出这批货物的总质量，再除以4.8，所得结果即为需要货车的数量。 变式训练：某运输公司为灾区抢运360吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表： 载重量/吨 4 6 9 12 车辆数/辆 90 60 （1）请把表格填写完整。 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为18吨的卡车来运，一共需要多少辆卡车？ 【分析】（1）一共有360吨救灾物资，根据数量关系：车辆的载重量×所需车辆的数量＝360，得出所需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 （2）从（1）中可知车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），乘积一定，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）从（2）可知，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。则需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 A夯实基础 1．六（1）班总人数一定，期中考试获得优秀的人数与优秀率（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 2．下列每组中的两个量成正比例的是（    ）。 A．圆的周长和半径 B．长方形的周长一定，长和宽 C．总人数一定，每排人数与排数 D．看一本书，己看的页数与剩下的页数 3．龙龙制作了一个摩天轮模型，模型高度与摩天轮的实际高度之比是3∶400，现测得模型的高度为27cm，则摩天轮的实际高度是（    ）米。 A．27 B．33 C．36 D．42 4．如果x和y成正比例，当x＝8时，y＝4，那么当x＝16时，y＝( )；如果x和y成反比例，当x＝8时，y＝4，那么当x＝16时，y＝( )。 5．若盐水的浓度一定时，盐的质量与盐水的质量成( )比例；若盐的质量一定时，盐水的浓度与盐水的质量成( )比例。 6．工作总量一定，工作效率和工作时间成( )比例；每本练习本的价格一定，购买的本数和总价成( )比例。 B培优拔高 7．春秋战国时期的《考工记》记载了铸造青铜鼎所用锡与铜的质量比是1∶6，如果一个锡铜合金的青铜鼎的质量是840kg，则锡的质量是多少千克？ 8．某校购进一堆煤，计划每天用1.5t，可用40天。实际每天比计划节约用煤0.3t，这堆煤实际用了多少天？（用比例解） 9．按照配方制作蛋糕需要120g低筋面粉、60g牛奶和50g玉米油。小宇发现家里的低筋面粉只剩100g了，如果全部用来制作蛋糕，需要准备多少克牛奶？（用比例解）。 10．某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如下表。 每天装配的数量／辆 60 90 120 180 时间／天 60 40 30 20 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 11．成语“立竿见影”用数学的眼光来看，这是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系。身高1.2米的小芮在阳光照射下的影子长2.1米，同时同地量得妈妈的影子长2.8米，妈妈的身高是多少米？（用比例解） C思维拓展 12．甲、乙两个团队原有队员的人数比为5∶3，从甲团队调50人到乙团队后，甲、乙两个团队的队员人数之比为5∶7，甲、乙两个团队原来各有多少人？ 13．如图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 （1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？ （填“成”或“不成”） （2）从图像上看，斑马与长颈鹿比，谁跑得快？请说明理由。 14．星光小学购买校服的数量和总价的关系如下图。 （1）图中点A表示（    ）。 （2）购买校服的数量和总价成（    ）比例。 （3）如果该校六年级1班要购买36套校服，共需多少元钱？ 15．《成语故事》的总价与购买本数如下表。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 10 20 30 60 … （1）将上表补充完整。 （2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？ （3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。 （4）480元最多可以购买（    ）本《成语故事》。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 正比例与反比例 1.正比例的意义与判断方法： ----理解正比例的核心内涵：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量对应的比值（商）始终一定。掌握判断步骤：先找相关联的量→计算两组及以上对应量的比值→若比值不变，则成正比例关系，能举例区分正比例关系与非正比例关系（如速度一定时，路程与时间成正比例）。 2.反比例的意义与判断方法： ----掌握反比例的本质特征：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量对应的乘积始终一定。遵循判断逻辑：先确定量的关联性→计算两组及以上对应量的乘积→若乘积不变，则成反比例关系，明确正比例与反比例的核心区别（比值一定vs乘积一定）。 3.用正比例解决实际问题： ----解题关键：先判断题目中相关联的两种量是否成正比例（比值不变），再设未知数，根据正比例的意义列出比例式（对应量的比相等）求解。注意事项：确保对应量的单位统一，验算结果是否符合实际情境（如单价一定时，总价与数量的问题求解）。 4.用反比例解决实际问题： ----解题步骤：第一步判断两种相关联的量是否成反比例（乘积不变），第二步设未知量，依据反比例的意义列出等式（对应量的乘积相等），第三步解方程并验证。核心要点：找准不变的乘积量，避免因量的对应错误导致解题失误（如总工作量一定时，工作效率与工作时间的问题）。 5.正反比例问题综合辨析与应用： ----能根据题目条件快速区分正反比例关系，灵活选择对应方法解题；能解决含隐蔽不变量的复杂问题，通过列表、画图等方式梳理数量关系，突破“易混淆量”“多步关联”等难点，提升综合运用知识解决实际问题的能力。 类型1 变化的量解决问题： 典型例题1：下面是小华6～10岁的身高情况统计表。 年龄/岁 6 7 8 9 10 身高/厘米 112 118 125 130 136 （1）上表中有哪两种变化的量？     （2）这两种量是怎样变化的？ 【答案】（1）年龄；身高； （2）见详解 【分析】（1）表格中有两栏，第一栏是年龄，第二栏是身高，身高随着年龄的变化而变化，这两个都是变化的量。 （2）通过比较年龄及身高数据可知年龄增长，身高也随之增加；据此解答。 【详解】（1）上表中变化的两种量是年龄和身高； （2）身高随年龄的变化而变化，年龄增长，身高也增加。 【点睛】本题主要考查对数据的分析能力。 变式训练：一台织布机的生产情况如下表。 工作总量（米） 15 30 45 60 75 ... 工作时间（时） 1 2 3 4 5 ... （1）表中反映了哪两个量的变化情况？ （2）这台织布机2小时织布多少米，它6小时织布多少米。 （3）这个题中不变的量是什么？ 【答案】（1）工作总量和工作时间 （2）30米；90米 （3）每小时织布的米数（织布机的工作效率）是不变的量 【解析】略 类型2 正比例的认识及应用解决问题： 典型例题2：如表是某辆汽车所行路程及其对应耗油量的数值。 所行路程（千米） 16 32 48 64 耗油量（升） 2 4 6 8 （1）表中的耗油量与所行路程成正比例吗？为什么？ （2）在图中描出每组所行路程和耗油量所对应的点，然后把这些点依次连起来。估计一下，汽车行驶80千米的耗油量是多少？ 【答案】（1）成正比例；因为耗油量与所行路程的比值一定；（2）见详解；10升 【分析】（1）根据表格中的数据可知，耗油量与所行路程的比值一定，所以成正比例。 （2）根据表格中的数据依次描出各点，再连接即可；再根据耗油量÷行驶的路程＝每千米的耗油量，用每千米的耗油量×80千米即可求出80千米的耗油量。 【详解】（1）2÷16＝（升/千米） 4÷32＝（升/千米） 6÷48＝（升/千米） 8÷64＝（升/千米） 所以耗油量与所行路程成正比例，因为耗油量与所行路程的比值一定。 （2）如图： 80×＝10（升） 答：汽车行驶80千米的耗油量是10升。 【点睛】本题主要考查了正比例的应用，掌握正比例的意义，会判断两个量是否成正比例是解题关键。 变式训练：一个工程队修路的时间与修路的米数的情况如下表。 修路的时间/天 0 l 2 3 4 5 … 修路的米数/米 0 60 120 300 … （1）将上面的表格填写完整。 （2）判断工程队修路的时间与修路的米数是否成正比例，并说明理由。 （3）根据表中数据，在下图中描出修路的时间和修路的米数所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （4）如果该工程队修路的时间为8天，那么修路的米数为 米。 【答案】（1）180，240； （2）成正比例，见详解； （3）见详解； （4）480 【分析】（1）根据已给的数据计算出每天修的米数，然后根据题意进行计算出3、4天共修的米数即可； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （3）根据表格中的数据描点连线即可； （4）可以根据1天修60米，进行乘法计算得到，或者将图中直线继续延长到8天。 【详解】（1） 修路的时间/天 0 l 2 3 4 5 … 修路的米数/m 0 60 120 180 240 300 … （2）这个工程队修路的时间与修路的米数成正比例。 因为60∶1＝120∶2＝180∶3＝240∶4＝300∶5＝60（一定），比值一定，所以工程队修路的时间与修路的米数成正比例。 （3）如图所示： （4）60×8＝480（米） 如果该工程队修路的时间为8天，那么修路的米数为480米。 【点睛】本题考查了判断两个相关联的量之间成什么比例的方法、画正比例图像的方法以及正比例的应用。 类型3 反比例的认识及应用解决问题： 典型例题3：某物流公司要将一批货物运往加工厂，如果要一次把这些货物全部运走，货车的载质量与所需车辆的数量如下表。 载质量/吨 2.5 3 5 数量/辆 48 40 24 （1）货车的载质量与所需车辆的数量成反比例吗？为什么？ （2）如果用载质量为4.8吨的货车来运，一共需要多少辆？ 【答案】（1）成反比例；理由见解析 （2）25辆 【分析】（1）判断两个相关联的量是否成比例，就看这两个相关联的量，它们之间的关系是商一定还是积一定；如果商一定，则成正比例；如果是积一定，则成反比例；如果商和积都不是定值，则不成比例。 （2）用货车的载质量乘对应所需车辆的数量，求出这批货物的总质量，再除以4.8，所得结果即为需要货车的数量。 【详解】（1）2.5×48＝120（吨） 3×40＝120（吨） 5×24＝120（吨） 因为2.5×48＝3×40＝5×24＝120（一定），也就是货车的载质量与所需车辆的数量的乘积一定，因此货车的载质量与所需车辆的数量成反比例。 答：成反比例。理由是货车的载质量与所需车辆的数量的乘积一定。 （2）3×40÷4.8 ＝120÷4.8 ＝25（辆） 答：一共需要25辆。 变式训练：某运输公司为灾区抢运360吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表： 载重量/吨 4 6 9 12 车辆数/辆 90 60 （1）请把表格填写完整。 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为18吨的卡车来运，一共需要多少辆卡车？ 【答案】（1）40；30； （2）成反比例，原因见详解 （3）20辆 【分析】（1）一共有360吨救灾物资，根据数量关系：车辆的载重量×所需车辆的数量＝360，得出所需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 （2）从（1）中可知车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），乘积一定，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）从（2）可知，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。则需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 【详解】（1）360÷9＝40（吨） 360÷12＝30（吨） （2）因为所需车辆的数量是随着车辆的载重量的增加而减少的，车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），所以车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）360÷18＝20（辆） 答：一共需要20辆卡车。 A夯实基础 1．六（1）班总人数一定，期中考试获得优秀的人数与优秀率（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】优秀率＝优秀的人数÷总人数×100%；则优秀的人数÷优秀率×100%＝总人数（一定），即优秀的人数∶优秀率＝总人数（一定），优秀的人数与优秀率成正比例。 六（1）班总人数一定，期中考试获得优秀的人数与优秀率成正比例。 故答案为：A 2．下列每组中的两个量成正比例的是（    ）。 A．圆的周长和半径 B．长方形的周长一定，长和宽 C．总人数一定，每排人数与排数 D．看一本书，己看的页数与剩下的页数 【答案】A 【分析】正比例：两个相关联的量，如果它们的比值一定，这两个量成正比例关系。所以判断两个量是否成正比例，需要看这两个量的比值是否一定。据此分析选项解题。 【详解】A．圆的周长公式：，则（定值），所以圆的周长和半径成正比例，此选项正确； B．长方形的周长＝（长＋宽）×2，则（长＋宽）＝长方形的周长÷2，长方形的周长一定，所以长和宽的和是定值，不成正比例，此选项错误； C．每排人数×排数＝总人数，总人数一定，所以每排人数与排数的乘积为定值，成反比例，此选项错误。 D．已看页数＋剩下页数＝总页数，所以已看页数与剩下页数的和为定值，不成正比例。此选项错误。 故答案为：A 3．龙龙制作了一个摩天轮模型，模型高度与摩天轮的实际高度之比是3∶400，现测得模型的高度为27cm，则摩天轮的实际高度是（    ）米。 A．27 B．33 C．36 D．42 【答案】C 【分析】设摩天轮的实际高度是x米，根据摩天轮的实际高度与模型高度的比值是一定，即两种量成正比例，由此设出未知数，列比例解答问题。 【详解】解：设摩天轮的实际高度是x米，由题意得： 27厘米＝0.27米 0.27： x ＝3：400 3x＝0.27×400 3x÷3＝0.27×400÷3 x＝108÷3 x＝36 摩天轮的实际高度是36米 故答案为：C 【点睛】本题考查了正反比例应用题，关键是得出摩天轮实际高度与模型高度的比值是一定的。 4．如果x和y成正比例，当x＝8时，y＝4，那么当x＝16时，y＝( )；如果x和y成反比例，当x＝8时，y＝4，那么当x＝16时，y＝( )。 【答案】 8 2 【分析】对于正比例关系，y与x的比值是一个定值；对于反比例关系，x与y的乘积是一个定值。我们先根据已知条件求出这个定值，再根据新的x值求出对应的y值。 【详解】如果x和y成正比例，x∶y＝8∶4＝8÷4＝2，当x＝16时，y＝16÷2＝8； 如果x和y成反比例，xy＝8×4＝32，当x＝16时，y＝32÷16＝2。 即如果x和y成正比例，当x＝8时，y＝4，那么当x＝16时，y＝8；如果x和y成反比例，当x＝8时，y＝4，那么当x＝16时，y＝2。 5．若盐水的浓度一定时，盐的质量与盐水的质量成( )比例；若盐的质量一定时，盐水的浓度与盐水的质量成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着发生变化，如果这两种量的比值一定，那么这两种量就是成正比例的量，如果这两种量的乘积一定，那么这两种量就是成反比例的量；盐水的浓度＝，据此正反比例的判断方法直接解题即可。 【详解】盐水的浓度＝，若盐水的浓度一定，就是盐的质量与盐水的质量的比值一定，此时盐的质量与盐水的质量成正比例； 根据盐水的浓度＝，可得：盐水的浓度×盐水的质量＝盐的质量，若盐的质量一定，则盐水的浓度与盐水的质量的乘积一定，此时盐水的浓度与盐水的质量成反比例。 若盐水的浓度一定时，盐的质量与盐水的质量成正比例；若盐的质量一定时，盐水的浓度与盐水的质量成反比例。 B培优拔高 6．工作总量一定，工作效率和工作时间成( )比例；每本练习本的价格一定，购买的本数和总价成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】两种相关联的量，若乘积一定，则成反比例；若比值一定，则成正比例。工作效率和工作时间，工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量一定，即乘积一定，所以工作效率和工作时间成反比例；购买的本数和总价，总价÷本数＝每本练习本的价格，每本练习本价格一定，即比值一定，所以购买的本数和总价成正比例。 【详解】综上分析所述，工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例；每本练习本的价格一定，购买的本数和总价成正比例。 7．春秋战国时期的《考工记》记载了铸造青铜鼎所用锡与铜的质量比是1∶6，如果一个锡铜合金的青铜鼎的质量是840kg，则锡的质量是多少千克？ 【答案】120kg 【分析】根据题意可得等量关系为锡铜合金的青铜鼎质量：锡的质量＝记载中铸造青铜鼎所用锡与铜的质量比（1：6），由此把实际所需锡的质量设为kg，则实际所需铜质量为kg据此可列式解答。 【详解】解：设锡的质量是kg，则铜的质量是kg。                                                                                答：锡的质量是120kg。 8．某校购进一堆煤，计划每天用1.5t，可用40天。实际每天比计划节约用煤0.3t，这堆煤实际用了多少天？（用比例解） 【答案】50天 【分析】求这堆煤实际用了多少天，要求用比例解，实际用了的天数×实际每天用煤量＝这堆煤的总量，这堆煤的总量一定时，实际用了的天数和实际每天用煤量成反比例关系。可以设这堆煤实际用了天，实际每天用煤量比计划节约0.3t，即实际每天用煤量为：t，这堆煤的总量为：计划每天用量×计划用的天数，据此即可解答。 【详解】解：设这堆煤实际用了天。                                                                       答：这堆煤实际用了50天。 9．按照配方制作蛋糕需要120g低筋面粉、60g牛奶和50g玉米油。小宇发现家里的低筋面粉只剩100g了，如果全部用来制作蛋糕，需要准备多少克牛奶？（用比例解）。 【答案】50克 【分析】设需要准备x g牛奶。由配方可知，低筋面粉和牛奶的质量成正比例关系，即原来低筋面粉质量与牛奶质量的比等于现在低筋面粉质量与所需牛奶质量的比，可列出比例式。根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，求解即可。 【详解】解：设需要准备x g牛奶。                                                         答：需要准备50g牛奶。 10．某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如下表。 每天装配的数量／辆 60 90 120 180 时间／天 60 40 30 20 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 【答案】（1）成反比例关系；理由见详解 （2）12天 【分析】（1）反比例关系的定义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的乘积一定，那么它们就成反比例关系。根据表格中的数据计算每天装配数量和时间相对应的乘积，看是否相等。 （2）由于每天装配数量和时间成反比例关系，它们的乘积始终是这批童车的总数（3600辆）。已知每天装配300辆，根据“时间＝总数÷每天装配数量”来计算天数。 【详解】（1）60×60＝3600（辆） 90×40＝3600（辆） 120×30＝3600（辆） 180×20＝3600（辆） 答：每天装配的数量与时间成反比例关系，原因是两种相关联的量乘积一定。 （2）3600÷300＝12（天） 答：如果该童车厂每天装配300辆，那么需要12天。 11．成语“立竿见影”用数学的眼光来看，这是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系。身高1.2米的小芮在阳光照射下的影子长2.1米，同时同地量得妈妈的影子长2.8米，妈妈的身高是多少米？（用比例解） 【答案】1.6米 【分析】根据同一时间、同一地点物体的实际长度与它的影长的比值一定，那么物体的实际长度与影长成正比例关系，即小芮的身高∶小芮的影长＝妈妈的身高∶妈妈的影长，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设妈妈的身高是米。 ∶2.8＝1.2∶2.1 2.1＝2.8×1.2 2.1＝3.36 ＝3.36÷2.1 ＝1.6 答：妈妈的身高是1.6米。 C思维拓展 12．甲、乙两个团队原有队员的人数比为5∶3，从甲团队调50人到乙团队后，甲、乙两个团队的队员人数之比为5∶7，甲、乙两个团队原来各有多少人？ 【答案】150人；90人 【分析】方法1： 已知条件：甲队员数∶乙队员数＝5∶3 对应量之间的关系：（甲队员数－50）∶（乙队员数＋50）＝5∶7 方法2： 由题意可知，两个团队的总人数不变；由“甲、乙两个团队原有队员的人数比为5∶3”，可知甲团队原有队员人数占总人数的，即；调走50人，甲团队现有队员人数占总人数的，即。由上述分析可知，50人占总人数的（），据此可求出总人数，然后根据甲、乙两个团队原有队员的人数比即可算出原来各有的人数。 【详解】解：设甲团队原有5x人，则乙团队原有3x人。根据上面对应量之间的关系列出比例： （5x－50）∶（3x＋50）＝5∶7 7（5x－50）＝5（3x＋50） 35x－350＝15x＋250 35x－15x＝350＋250 20x＝600 20x÷20＝600÷20 x＝30 所以5x＝5×30＝150，3x＝3×30＝90 方法2： 两个团队的总人数： 50÷（） ＝240（人） 甲团队原来人数： 240÷（5＋3）×5 ＝240÷8×5 ＝150（人） 乙团队原来人数：240－150＝90（人） 答：甲团队原来有150人，乙团队原来有90人。 13．如图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 （1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？ （填“成”或“不成”） （2）从图像上看，斑马与长颈鹿比，谁跑得快？请说明理由。 【答案】（1）成 （2）见详解 【分析】（1）判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 （2）观察统计图，横轴表示时间，纵轴表示路程，观察10分钟时斑马和长颈鹿分别跑的路程，路程多的就跑得快。 【详解】（1）路程÷时间＝速度，速度一定，所以斑马的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系； （2） 答：从图像上看，斑马跑得快，因为10分钟斑马跑了12千米，长颈鹿跑了8千米。 14．星光小学购买校服的数量和总价的关系如下图。 （1）图中点A表示（    ）。 （2）购买校服的数量和总价成（    ）比例。 （3）如果该校六年级1班要购买36套校服，共需多少元钱？ 【答案】（1）2套校服需要160元 （2）正 （3）2880元 【分析】（1）A点对应的列表示购买校服的数量，A点对应的行表示总价，据此解答； （2）根据图像可知，购买校服的数量和总价的图像是一条经过原点的直线，符合正比例图像的特点； （3）由购买校服的数量和总价成正比例可知，总价÷数量＝单价（一定），据此用160÷2列式求出校服的单价，再乘36即可解答。 【详解】（1）图中点A表示购买2套校服需要160元。 （2）由图形可知，购买校服的数量和总价成正比例关系。 （3）160÷2×36 ＝80×36 ＝2880（元） 答：共需2880元。 15．《成语故事》的总价与购买本数如下表。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 10 20 30 60 … （1）将上表补充完整。 （2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？ （3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。 （4）480元最多可以购买（    ）本《成语故事》。 【答案】（1）见详解 （2）正比例；原因见详解 （3）见详解 （4）48 【分析】（1）根据总价＝单价×数量，据此求出4本书的钱数、5本书的钱数，完成表格。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （3）根据统计表提供的数据，完成统计图。 （4）根据总价÷单价＝数量，据此求出480元买多少本《成语故事》，据此解答。 【详解】10÷1＝10（元/本） 4×10＝40（元） 5×10＝50（元） 表如下： 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 10 20 30 40 50 60 … （2）10∶1＝20∶2＝30∶3＝40∶4＝50∶5＝60∶6＝…＝10（一定），总价与购买本数之间成正比例。 （3）如图： （4）480÷10＝48（本） 480元最多可以购买48本《成语故事》。 1 学科网（北京）股份有限公司 $