第二单元 长方体（一）（解决问题讲义）数学北师大版五年级下册

第二单元 长方体（一） 1.长方体和正方体的特征辨析与应用： ----掌握长方体（6个面、12条棱、8个顶点，相对面完全相同、相对棱长度相等）和正方体（特殊长方体，6个面都是正方形、12条棱长度都相等）的核心特征。解决问题时，能根据特征判断立体图形类型，通过观察、测量确定棱长、面的边长等关键数据，为后续计算棱长总和、表面积奠定基础，同时能区分长方体与正方体的异同点。 2.长方体和正方体棱长总和的计算与应用： ----牢记计算公式：长方体棱长总和=（长+宽+高）×4，正方体棱长总和=棱长×12。解题关键是找准对应数据（长方体需明确长、宽、高，正方体需确定棱长），统一单位后代入公式计算。能解决“求框架长度”“根据棱长总和求长/宽/高/棱长”等实际问题，计算时注意运算顺序，结果需标注正确单位（如厘米、分米）。 3.长方体和正方体表面积的计算方法： ----理解表面积定义（立体图形所有面的面积总和），掌握计算公式：长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，正方体表面积=棱长×棱长×6。解题时，先判断图形类型，再确定每个面的面积计算方式，若遇到“无盖”“无底”或“只有四个面”的特殊场景（如鱼缸、通风管），需减去对应面的面积，避免多算或漏算。 4.表面积相关实际问题的解题技巧： ----解决包装、粉刷、贴瓷砖等实际问题时，先分析需求（求表面积还是部分面的面积），再结合题意筛选有效数据。对于不规则的长方体组合图形，可通过拆分或拼接转化为标准长方体，分别计算面积后整合；注意单位统一（如平方米与平方分米换算），计算后结合实际情境验证结果合理性（如用料面积不能小于实际需求）。 类型1 长方体和正方体有关棱长的应用解决问题： 典型例题1：元宵节，奇思要制作一个底面是边长25cm的正方形，高是40cm的长方体灯笼，至少需要准备多少米的木条来搭这个灯笼框架？ 【分析】根据“长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4”，即可求出至少需要准备多少米的木条来搭这个灯笼框架。 变式训练：如图，有一个长6分米、宽4分米、高2分米的长方体硬纸箱，用绳子将箱子捆扎起来，打结处共用2分米。一共要用绳子多少分米？ 类型2 长方体和正方体的展开图解决问题： 典型例题2：宣纸质地柔软，经久耐用，被称为“千年寿纸”。陈师傅将宣纸裁成了如图A的形状，艺术创作后，准备加上木条制作成如图B所示的长方体灯罩，要做出这样一个灯罩，至少需要多少厘米的木条？ 【分析】根据题意可知，灯罩的长36厘米、宽12厘米、高22厘米，根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据解答，即可求出至少需要多少厘米的木条。 变式训练：一个正方体六个面上分别写着六个连续整数，且每个相对面上的两个数之和都相等．下图中所能看到的数为16、19和20，这六个整数之和为多少？ 类型3 长方体和正方体的表面积解决问题： 典型例题3：如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【分析】根据题意，把一个长方体木块平行于底面锯成三个大小相等的小正方体，说明原长方体的长、宽相等，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了4个底面的面积； 用增加的表面积36平方厘米除以4，求出原长方体的底面积为9平方厘米，因为底面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，得出原长方体的长、宽都是3厘米，再乘3，即是原长方体的高； 变式训练：用铁皮做一节长30米的长方体通风管，管道口是边长1分米的正方形，做20节这样的通风管道至少需要多少平方米的铁皮？ A夯实基础 1．一个长方体的底面积是30平方厘米，长是6厘米，如果这个长方体的高增加2厘米，则表面积增加了（    ）平方厘米。 A．24 B．60 C．50 D．44 2．如图有27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，要使剩下的图形表面积最大，应该（    ）。 A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号 3．在机场货运处，工作人员要捆扎（zā）一个正方体纸箱（如图，接头处忽略不计）已知纸箱的棱长是50cm，捆这个纸箱至少需要（    ）cm的扎带。 A．50×6 B．50×8 C．50×12 D．50×50 4．用做一个，“好”的对面是( )，“小”的对面是( )。 5．笑笑打算从4根长3cm和10根长6cm的小棒中选取12根小棒搭成一个长方体框架，给这个长方体框架的每个面都糊上红纸，至少需要红纸( )cm2。 6．将“致敬逆行英雄”6个字分别写在一个正方体的6个面上，这个正方体的展开图如下所示，和“行”相对的字是“( )”。如果这个正方体的棱长是3cm，那么这个正方体的表面积是( )cm2。 B培优拔高 7．乐乐的房间长5米，宽4米，高3米。要粉刷屋顶和四面墙壁，其中门窗面积共8平方米。如果每平方米需要涂料0.5千克，粉刷整个房间一共需要涂料多少千克？ 8．一个长方体的蓄水池，长为20米，宽为15米，深为2.5米。要给池底和四壁抹上水泥，需要抹水泥的面积是多少平方米？ 9．在西安举办的“丝路文化交流博览会”上，某商家准备将4盒精美的兵马俑纪念礼盒打包成套装，作为特色礼品进行展销。每盒礼盒尺寸为长20厘米、宽15厘米、厚5厘米。若用包装纸将4盒礼盒包装成一个整体（接头处忽略不计），最少需要多少平方厘米的包装纸？ 10．龙门小学游泳馆建有一个长50米，宽21米，深1.5米的长方体游泳池。如果给该游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要多少平方米的瓷砖？ 11．将下面长方体木料切成完全相等的两块，怎样切能使木料增加的表面积最多？先画一画，再算一算切完之后表面积增加了多少平方分米？ C思维拓展 12．小敏的好朋友要过生日了，小敏准备用彩色丝带把礼品盒包装一下（如下图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长10分米，需要多少米的丝带？ 13．淘气家卫生间墙面长3米，宽2.5米，高2.8米，门窗总面积是2.4平方米，现需要将卫生间的四壁和地板贴上瓷砖（除门窗外），需要用多少平方米的瓷砖？如果每平方米瓷砖20元，共需要花多少元？ 14．一间教室长15米、宽9米、高3米，黑板和门窗的面积是12.5平方米。现在要粉刷教室的天花板和四壁。如果每平方米需要0.4千克的乳胶漆，一共需要多少千克的乳胶漆？ 15．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，长、宽、高分别是15厘米、10厘米、8厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长25厘米。一共需要多少厘米彩带？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 长方体（一） 1.长方体和正方体的特征辨析与应用： ----掌握长方体（6个面、12条棱、8个顶点，相对面完全相同、相对棱长度相等）和正方体（特殊长方体，6个面都是正方形、12条棱长度都相等）的核心特征。解决问题时，能根据特征判断立体图形类型，通过观察、测量确定棱长、面的边长等关键数据，为后续计算棱长总和、表面积奠定基础，同时能区分长方体与正方体的异同点。 2.长方体和正方体棱长总和的计算与应用： ----牢记计算公式：长方体棱长总和=（长+宽+高）×4，正方体棱长总和=棱长×12。解题关键是找准对应数据（长方体需明确长、宽、高，正方体需确定棱长），统一单位后代入公式计算。能解决“求框架长度”“根据棱长总和求长/宽/高/棱长”等实际问题，计算时注意运算顺序，结果需标注正确单位（如厘米、分米）。 3.长方体和正方体表面积的计算方法： ----理解表面积定义（立体图形所有面的面积总和），掌握计算公式：长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，正方体表面积=棱长×棱长×6。解题时，先判断图形类型，再确定每个面的面积计算方式，若遇到“无盖”“无底”或“只有四个面”的特殊场景（如鱼缸、通风管），需减去对应面的面积，避免多算或漏算。 4.表面积相关实际问题的解题技巧： ----解决包装、粉刷、贴瓷砖等实际问题时，先分析需求（求表面积还是部分面的面积），再结合题意筛选有效数据。对于不规则的长方体组合图形，可通过拆分或拼接转化为标准长方体，分别计算面积后整合；注意单位统一（如平方米与平方分米换算），计算后结合实际情境验证结果合理性（如用料面积不能小于实际需求）。 类型1 长方体和正方体有关棱长的应用解决问题： 典型例题1：元宵节，奇思要制作一个底面是边长25cm的正方形，高是40cm的长方体灯笼，至少需要准备多少米的木条来搭这个灯笼框架？ 【答案】3.6米 【分析】根据“长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4”，即可求出至少需要准备多少米的木条来搭这个灯笼框架。 【详解】（25＋25＋40）×4 ＝90×4 ＝360（厘米） 360厘米＝3.6米 答：至少需要准备3.6米的木条来搭这个灯笼框架。 【点睛】解答本题关键是熟练运用长方体的棱长和公式。注意单位的转化。 变式训练：如图，有一个长6分米、宽4分米、高2分米的长方体硬纸箱，用绳子将箱子捆扎起来，打结处共用2分米。一共要用绳子多少分米？ 【答案】42分米 【分析】根据长方体的特征，相对的棱的长度相等，由图形可知：所需绳子的长度等于2条长＋4条宽＋6条高＋打结用的2分米，据此解答。 【详解】6×2＋4×4＋2×6＋2 ＝12＋16＋12＋2 ＝42（分米）， 答：一共用绳子42分米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及棱长和的计算方法，关键是弄清如何捆扎的。 类型2 长方体和正方体的展开图解决问题： 典型例题2：宣纸质地柔软，经久耐用，被称为“千年寿纸”。陈师傅将宣纸裁成了如图A的形状，艺术创作后，准备加上木条制作成如图B所示的长方体灯罩，要做出这样一个灯罩，至少需要多少厘米的木条？ 【答案】280厘米 【分析】根据题意可知，灯罩的长36厘米、宽12厘米、高22厘米，根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据解答，即可求出至少需要多少厘米的木条。 【详解】（36＋22＋12）×4 ＝70×4 ＝280（厘米） 答：至少需要280厘米的木条。 【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 变式训练：一个正方体六个面上分别写着六个连续整数，且每个相对面上的两个数之和都相等．下图中所能看到的数为16、19和20，这六个整数之和为多少？ 【答案】111 【分析】从16、19、20可以确定其中的5个数是16、17、18、19、20，第6个数是15还是21 ，分析：如果是15，16和19必须是对面，和题干中图形不符，所以这6个整数是16、17、18、19、20、21． 【详解】16+17+18+19+20+21=111答：这六个整数之和为111． 类型3 长方体和正方体的表面积解决问题： 典型例题3：如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】126平方厘米 【分析】根据题意，把一个长方体木块平行于底面锯成三个大小相等的小正方体，说明原长方体的长、宽相等，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了4个底面的面积； 用增加的表面积36平方厘米除以4，求出原长方体的底面积为9平方厘米，因为底面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，得出原长方体的长、宽都是3厘米，再乘3，即是原长方体的高； 最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原长方体的表面积。 【详解】36÷4＝9（平方厘米） 9＝3×3 所以原长方体的长、宽都是3厘米； 原长方体的高：3×3＝9（厘米） 原长方体的表面积： （3×3＋3×9＋3×9）×2 ＝（9＋27＋27）×2 ＝63×2 ＝126（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是126平方厘米。 变式训练：用铁皮做一节长30米的长方体通风管，管道口是边长1分米的正方形，做20节这样的通风管道至少需要多少平方米的铁皮？ 【答案】240平方米 【分析】根据题意可以知道，这个通风管道是一个底面是一个边长为1分米的正方形的长方体，求做20节通风管道至少需要多少铁皮，也就是求20个长1分米、宽1分米、高30米的长方体的侧面积。据此进行列式计算即可。 【详解】1dm＝0.1m 0.1×30×4×20 ＝3×4×20 ＝12×20 ＝240（平方米） 答：做20节这样的通风管道至少需要240平方米的铁皮。 A夯实基础 1．一个长方体的底面积是30平方厘米，长是6厘米，如果这个长方体的高增加2厘米，则表面积增加了（    ）平方厘米。 A．24 B．60 C．50 D．44 【答案】D 【分析】把长方体的高增加，表面积增加的是长方体前后左右4个面，增加的面积展开后是个大长方形，这个大长方形的长＝长方体底面周长，大长方形的宽＝增加的高，增加的表面积＝底面周长×增加的高，长方体的底面积÷长＝宽，底面周长＝（长＋宽）×2，据此列式计算。 【详解】30÷6＝5（厘米） （6＋5）×2×2 ＝11×2×2 ＝44（平方厘米） 表面积增加了44平方厘米。 故答案为：D 2．如图有27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，要使剩下的图形表面积最大，应该（    ）。 A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号 【答案】A 【分析】观察取出一块小正方体后增加小正方体面的个数，增加面的个数最多时，增加的表面积最大。由此判断。 【详解】A．取走①号后减少了小正方体1个面的面积，增加了上下左右后5个小正方体面的面积，相当于增加了4个小正方体面的面积。 B．取走②号后减少了小正方体3个面的面积，增加了上右后3个小正方体面的面积，相当于没变。 C．取走③号后减少了小正方体2个面的面积，增加了上左右后4个小正方体面的面积，相当于增加了2个小正方体面的面积。 D．取走④号后减少了小正方体3个面的面积，增加了上下左右后3个小正方体面的面积，相当于没变。 所以取走①号后剩下的表面积最大。 故答案为：A 3．在机场货运处，工作人员要捆扎（zā）一个正方体纸箱（如图，接头处忽略不计）已知纸箱的棱长是50cm，捆这个纸箱至少需要（    ）cm的扎带。 A．50×6 B．50×8 C．50×12 D．50×50 【答案】C 【分析】正方体十字交叉捆扎每个面需要两条扎带，横一条竖一条，长度均为正方体的棱长；正方体一共6个面，即可求出共需要多少cm的扎带。 【详解】 即捆这个纸箱至少需要（50×12）cm的扎带。 故答案为：C 4．用做一个，“好”的对面是( )，“小”的对面是( )。 【答案】 朋 友 【分析】根据正方体的展开与折叠后的关系：展开图中，中间隔着一个正方形的两个面，折叠后，就是相对的面。 【详解】根据分析得出： “好”与“朋”中间隔着一个正方形，所以“好”的对面是“朋”。 “小”与“友”中间隔着一个正方形，所以“小”的对面是“友”。 即“好”的对面是“朋”，“小”的对面是“友”。 5．笑笑打算从4根长3cm和10根长6cm的小棒中选取12根小棒搭成一个长方体框架，给这个长方体框架的每个面都糊上红纸，至少需要红纸( )cm2。 【答案】144 【分析】长方体有12条棱，分为3组，每组4条棱长度相等（分别对应长、宽、高）。题目中3cm的小棒仅4根，需全部使用作为一组 棱；6cm的小棒有10根，可提供另外两组棱各4根。因此长方体的长、宽、高只能是3cm、6cm、6cm。然后根据长方体的表面积公式，，把数据代入公式解答。 【详解】 至少需要红纸。 【点睛】本题考查了长方体的特征，以及长方体的表面积公式的灵活运用，关键是如何选择12根小棒搭成一个长方体框架。 6．将“致敬逆行英雄”6个字分别写在一个正方体的6个面上，这个正方体的展开图如下所示，和“行”相对的字是“( )”。如果这个正方体的棱长是3cm，那么这个正方体的表面积是( )cm2。 【答案】 致 54 【分析】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形；想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。 已知这个正方体的棱长是3cm，根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出这个正方体的表面积。 【详解】把这个正方体展开图围成正方体，可以想象成：“逆”是下面，“敬”是后面，“雄”是前面，“致”是左面，“行”是右面，“英”是上面；所以和“行”相对的字是“致”。 3×3×6 ＝9×6 ＝54（cm2） 和“行”相对的字是“（致）”。如果这个正方体的棱长是3cm，那么这个正方体的表面积是（54）cm2。 B培优拔高 7．乐乐的房间长5米，宽4米，高3米。要粉刷屋顶和四面墙壁，其中门窗面积共8平方米。如果每平方米需要涂料0.5千克，粉刷整个房间一共需要涂料多少千克？ 【答案】33千克 【分析】把这个房间看作是一个长5米，宽4米，高3米的长方体，需要粉刷的面积也就是这个长方体四个侧面的面积加上一个上底面的面积，再减去门窗的面积；根据长方体的面积＝（长×高＋宽×高）×2，据此代入数据求出四面墙壁和房顶的面积；用求出需要粉刷的面积乘0.5，所得结果即为用多少千克涂料。 【详解】（5×4＋5×3×2＋4×3×2－8）×0.5 ＝（20＋15×2＋12×2－8）×0.5 ＝（20＋30＋24－8）×0.5 ＝（50＋24－8）×0.5 ＝（74－8）×0.5 ＝66×0.5 ＝33（千克） 答：粉刷整个房间一共需要涂料33千克。 8．一个长方体的蓄水池，长为20米，宽为15米，深为2.5米。要给池底和四壁抹上水泥，需要抹水泥的面积是多少平方米？ 【答案】475平方米 【分析】求抹水泥的面积，就是求这个长方体蓄水池5个面的面积和。根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】20×15＋（20×2.5＋15×2.5）×2 ＝20×15＋（50＋37.5）×2 ＝20×15＋87.5×2 ＝300＋175 ＝475（平方米） 答：需要抹水泥的面积是475平方米。 9．在西安举办的“丝路文化交流博览会”上，某商家准备将4盒精美的兵马俑纪念礼盒打包成套装，作为特色礼品进行展销。每盒礼盒尺寸为长20厘米、宽15厘米、厚5厘米。若用包装纸将4盒礼盒包装成一个整体（接头处忽略不计），最少需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】2000平方厘米 【分析】要想使用的包装纸最少，那么就需要把最大的面拼在一起，这样拼成后的大长方体表面积就最小。长×宽的面的面积：20×15＝300（平方厘米），长×高的面的面积：20×5＝100（平方厘米），宽×高的面的面积：15×5＝75（平方厘米），因为75＜100＜300，所以长×宽的面面积最大，将长×宽的面拼在一起。此时拼成后的大长方体的长为20厘米，宽为15厘米，高为（5×4）厘米。然后根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2进行计算，即可求出最少需要多少平方厘米的包装纸。 【详解】5×4＝20（厘米） （20×15＋20×20＋15×20）×2 ＝（300＋400＋300）×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 答：最少需要2000平方厘米的包装纸。 10．龙门小学游泳馆建有一个长50米，宽21米，深1.5米的长方体游泳池。如果给该游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要多少平方米的瓷砖？ 【答案】1263平方米 【分析】求瓷砖的面积相当于求长方体前、后、左、右、下面，5个面的面积和，瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【详解】50×21＋50×1.5×2＋21×1.5×2 ＝1050＋150＋63 ＝1263（平方米） 答：一共需要1263平方米的瓷砖。 11．将下面长方体木料切成完全相等的两块，怎样切能使木料增加的表面积最多？先画一画，再算一算切完之后表面积增加了多少平方分米？ 【答案】图见详解；196平方分米 【分析】由于切一刀增加两个切面的面积，这个长方体木料最大的面是前、后面，所以平行于前、后面来切，平均分成的小长方体，表面积增加的最多，平均分成2个长方体，增加两个长14分米，宽是7分米的长方形的面积，根据长方形面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】如图： 14×7×2 ＝98×2 ＝196（dm2） 答：切完之后表面积增加了196平方分米。 C思维拓展 12．小敏的好朋友要过生日了，小敏准备用彩色丝带把礼品盒包装一下（如下图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长10分米，需要多少米的丝带？ 【答案】2.4米 【分析】已知长方体礼品盒长3分米、宽2分米、高1分米，由图可知，丝带的长度包括2条长、2条宽、4条高，再加上接头处的长度10分米，据此计算出丝带的长度；最后将单位分米换算为米（1米＝10分米）即可。 【详解】3×2＋2×2＋1×4＋10 ＝6＋4＋4＋10 ＝10＋4＋10 ＝14＋10 ＝24（分米） 24分米＝2.4米 答：需要2.4米的丝带。 13．淘气家卫生间墙面长3米，宽2.5米，高2.8米，门窗总面积是2.4平方米，现需要将卫生间的四壁和地板贴上瓷砖（除门窗外），需要用多少平方米的瓷砖？如果每平方米瓷砖20元，共需要花多少元？ 【答案】35.9平方米；718元 【分析】先求出卫生间需要贴瓷砖的面积，即卫生间侧面和底面的面积和减去门窗总面积，将数据代入长方体表面积公式（去掉上面）S＝ab＋（ah＋bh）×2，求出卫生间侧面和底面的面积和，再减去门窗总面积求出需要贴瓷砖的面积；最后用需要贴瓷砖的面积×每平方米瓷砖价格即可求出共需要花多少元；据此解答。 【详解】3×2.5＋3×2.8×2＋2.5×2.8×2－2.4 ＝7.5＋16.8＋14－2.4 ＝35.9（平方米） 35.9×20＝718（元） 答：需要用35.9平方米的瓷砖，如果每平方米瓷砖20元，共需要花718元。 14．一间教室长15米、宽9米、高3米，黑板和门窗的面积是12.5平方米。现在要粉刷教室的天花板和四壁。如果每平方米需要0.4千克的乳胶漆，一共需要多少千克的乳胶漆？ 【答案】106.6千克 【分析】先求出这间教室需要粉刷的面积，即长方体的表面积，因为地面、黑板和门窗不需要粉刷，所以只需要计算长方体5个面的面积，再减去黑板和门窗的面积，求出的面积乘每平方米需要乳胶漆的质量，据此解答。 【详解】15×9＋（15×3＋9×3）×2－12.5 ＝15×9＋（45＋27）×2－12.5 ＝15×9＋72×2－12.5 ＝135＋144－12.5 ＝279－12.5 ＝266.5（平方米） 266.5×0.4＝106.6（千克） 答：一共需要106.6千克的乳胶漆。 15．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，长、宽、高分别是15厘米、10厘米、8厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长25厘米。一共需要多少厘米彩带？ 【答案】107厘米 【分析】根据题意可知，彩带的长度＝4条高＋2条长＋2条宽＋接头处，代入数据解答即可。 【详解】8×4＋15×2＋10×2＋25 ＝32＋30＋20＋25 ＝107（厘米） 答：一共需要107厘米彩带。 1 学科网（北京）股份有限公司 $