5.2.1 基本初等函数的导数学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2.1·基本初等函数的导数 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、能根据导数的定义，推导常见基本初等函数的导数公式 2、熟练掌握基本初等函数的导数公式，能利用这些公式求简单函数的导数 3、体会从导数定义出发推导基本初等函数导数公式的过程 通过推导基本初等函数的导数公式，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用导数公式求函数导数，提升数学运算素养 重点 基本初等函数导数公式的推导 利用基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数 难点 根据导数的定义，理解推导过程中的逻辑关系 灵活运用基本初等函数的导数公式，解决与函数求导相关的综合问题 新知导入 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.那么思考一下，如何求函数的导数呢？根据导数的定义，求函数的导数，就是求当时，无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.那么一个函数的导函数是否可由基本初等函数的导函数通过相应的运算得到呢？ 函数 的导数 若 （如图）表示位移关于时间的函数，则 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0 ，即一直处于静止状态． 类似的可求出其他基本初等函数的导数。 知识清单 知识点一 基本初等函数的导数公式 1.若(为常数)，则_____________； 2.若，且，则_____________； 3.若，则_____________； 4.若，则_____________； 5.若，且，则_____________； 特别地，若，则_____________； 6.若，且，则_____________； 特别地，若，则_____________. 例题讲解 例1 求下列函数的导数： （1）； （2）. 例 2 假设某地在 20 年间的年均通货膨胀率为 ，物价 （单位：元）与时间 （单位：年）之间的关系为 其中 为 时的物价. 假定某种商品的 ，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到 0.01 元／年）？ 试题练习 1.已知，若，则( ) A．1 B． C． D． 2.函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则( ) A.1 B. C.2 D. 3.下列求导结果正确的是( ) A. B. C. D. 4.已知，则_____________. 5.求曲线在点处的切线方程. 6.若，，则下列的值中满足条件的是( ) A. B. C. D. 7.设，，，…，，则( ) A. B. C. D. 8.曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为( ) A. B. C. D.或 9.已知，，若，则_______. 课后练习 1.设函数，则( ) A. B. C. D.0 2.曲线在点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为( ) A. B. C. D.或 3.（多选）下列结论中正确的有( ) A. B. C. D. 4.（多选）以下运算正确的有( ) A. B. C. D. 5.函数的导函数的定义域为________. 6. 下列结论正确的是__________.（填写序号） ①若，则； ②若,则; ③若，则； ④若，则. 7. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 8.求下列函数在给定点处的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数； （3）在处的导数；（4）在处的导数. 答案以及解析 知识清单 答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 例题讲解 例题1 解：（1） ；（2） ． 例题2 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 所以 所以，在第 10 个年头，这种商品的价格约以 0.08 元／年的速度上涨． 课堂练习 1.答案：B 解析:， ，解得. 故选：B. 2.答案：A 解析：易知平均变化率为， 可得，瞬时变化率为， 因此，解得. 故选：A. 3.答案：C 解析：，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误. 故选：C. 4.答案： 解析：因为，则，则. 故答案为：. 5.答案： 解析：因为的导数为， 所以， 由导数的几何意义，则曲线在点处的切线方程为，即. 6. A ，，又，，当时，，可取.故选A. 7. A ，，，，，所以.故.故选A. 8.D 切线的斜率，设切点的坐标为，则.又，，解得或，切点坐标为或.故选D. 9.1 因为，，所以，且.所以，即，解得或(舍去).故. 课后练习 1.答案：D 解析：因为为常数，所以. 2.答案：D 解析：切线的斜率，设切点P的坐标为，则.因为，所以，解得或-1，所以切点P的坐标为或. 3.答案：CD 解析：，A错误；，B错误；，C正确；. 4.答案：BC 解析：对于A，因为，所以A不正确；对于B，因为，所以B正确；对于C，因为，所以C正确；对于D，因为，所以D不正确. 5.答案： 解析：函数的定义域为，，导函数还需满足. 综上所述，导函数的定义域为. 6.答案：②③④ 解析：根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得， 对于①，函数，则，所以①不正确; 对于②，函数，可得，所以，故②正确; 对于③，函数，可得，所以③正确； 对于④，函数，则，所以④正确. 7.解析：（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以； （5）因为，所以； （6）因为，所以. 8.解析：（1）因为，所以，所以在处的导数为； （2）因为，所以，所以在处的导数为； （3）因为，所以， 所以在处的导数为； （4）因为，所以， 所以在处的导数为. 学科网（北京）股份有限公司 $