5.2.1 基本初等函数的导数学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用

5.2.1·基本初等函数的导数

学习指导

课标要求	核心素养	重难分析
1、能根据导数的定义，推导常见基本初等函数的导数公式 2、熟练掌握基本初等函数的导数公式，能利用这些公式求简单函数的导数 3、体会从导数定义出发推导基本初等函数导数公式的过程	通过推导基本初等函数的导数公式，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用导数公式求函数导数，提升数学运算素养	重点	基本初等函数导数公式的推导
			利用基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数
		难点	根据导数的定义，理解推导过程中的逻辑关系
			灵活运用基本初等函数的导数公式，解决与函数求导相关的综合问题

新知导入

由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.那么思考一下，如何求函数的导数呢？根据导数的定义，求函数的导数，就是求当时，无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.那么一个函数的导函数是否可由基本初等函数的导函数通过相应的运算得到呢？

函数 的导数
 

若 （如图）表示位移关于时间的函数，则 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0 ，即一直处于静止状态．

类似的可求出其他基本初等函数的导数。

 

知识清单

知识点一 基本初等函数的导数公式

1.若(为常数)，则_____________；

2.若，且，则_____________；

3.若，则_____________；

4.若，则_____________；

5.若，且，则_____________；

特别地，若，则_____________；

6.若，且，则_____________；

特别地，若，则_____________.

例题讲解

例1 求下列函数的导数：

（1）；    （2）.

 

 

 

 

 

 

例 2 假设某地在 20 年间的年均通货膨胀率为 ，物价 （单位：元）与时间 （单位：年）之间的关系为 其中 为 时的物价. 假定某种商品的 ，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到 0.01 元／年）？

 

 

 

试题练习

1.已知，若，则(   )

A．1 B． C． D．

2.函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则(   )

A.1 B. C.2 D.

3.下列求导结果正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

4.已知，则_____________.

5.求曲线在点处的切线方程.

6.若，，则下列的值中满足条件的是(   )

A.              B.  C. D.

7.设，，，…，，则(   )

A. B. C. D.

8.曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为(   )

A. B. C. D.或

9.已知，，若，则_______.

课后练习

1.设函数，则(   )

A. B. C. D.0

2.曲线在点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为(   )