5.1.2导数的概念及其几何意义学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.2·导数的概念及其几何意义 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、理解导数的概念，明确导数是函数在某一点的瞬时变化率 2、能从几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度等）角度，解释导数的含义 3、体会平均变化率与瞬时变化率（导数）的联系与区别 通过从平均变化率过渡到瞬时变化率（导数）的过程，培养数学抽象与逻辑推理素养；从几何、物理等角度理解导数意义，提升直观想象素养 重点 导数的概念和定义式 导数的几何意义和物理意义 难点 深入理解导数定义中极限思想的应用 结合具体函数，运用导数定义式计算函数在某点处的导数 知识清单 知识点一 变化率的概念 1.平均变化率的概念：对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到__________. 这时，的变化量为，的变化量为__________，把比值，即_____________叫做函数从到的平均变化率. 2.瞬时变化率（导数）的概念：如果当时，平均变化率无限趋近于一个__________的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的__________（也称为瞬时变化率），记作__________或，即. 知识点二 导数的几何意义 3.导数的几何意义：函数在处的导数__________就是在点的斜率，即.这就是导数的几何意义. 4.注意点：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)、导函数f′(x)之间的区别与联系： (1)区别：①f′(x0)是在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是______，不是变量． ②f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的． (2)联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在_____处的函数值． 例题讲解 例题1．某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈. （1）分别求s(t)在区间和上的平均速度； （2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 例题2．已知函数f(x)＝. （1）求函数f(x)在区间[]上的平均变化率； （2）求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率； （3）求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率． 例题3 已知，则的值为（    ） A．－2a B．2a C．A D． 例题4．用导数的定义求函数的导数． 课堂练习 1.函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D．0 2.已知，则( ) A.-1 B.1 C.2 D.4 3.曲线在处的切线方程为( ). A. B. C. D. 10.若函数满足，，则( ) A. B. C.2 D.8 5.曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6.设函数在处的导数存在，则( ) A. B. C. D. 7.若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于_________． 8.曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 9.设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D． 课后练习 1．某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 2．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 3.函数在区间上的平均变化率为_______． 4.已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s 5.若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 6.若，则（    ） A． B． C． D． 7.已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8.若上的可导函数在处满足，则______． 9.已知曲线y＝x3上一点P，则该曲线在P点处切线的斜率为（    ） A．4 B．2 C．－4 D．8 10设函数，若，则_________ 11．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在时的瞬时速度； (3)求到时的平均速度. 答案以及解析 知识清单 1. 2.确定 导数 3. 4.(1) 一个常数 (2) x＝x0 例题讲解 例题1 【分析】（1）直接计算平均值即可； （2）做差比较平均值大小，作图象可以看出其几何意义. 【详解】（1）物体在区间上的平均速度为, 物体在区间上的平均速度为. (2)由(1)可知， 所以. 作函数s(t)＝sin t在上的图象，如图， 可以发现，在s(t)＝sin t的图象上，连接的直线的斜率大于连接的直线的斜率. 例题2【分析】（1）根据函数解析式，计算； （2）根据（1）的结果，计算当，时，求平均变化率； （3）根据（2）的结果，计算当时，求瞬时变化率. 【详解】（1）由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ （2）由（1）可知：=4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时， ＝4×2＋2×0.01＝8.02. （3）在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2，2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f（2）＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx. ∴＝2Δx＋8，当Δx→0时，→8. 例题3 【答案】B 【分析】由导数的定义变形即可求解. 【详解】. 故选：B． 例题4 【分析】根据导数的定义直接计算即可求解. 【详解】设， 则， 得， 即函数的导数为. 课堂练习 1.解：在区间上的平均变化率为， 故选：A 2.答案：B 解析：， 故选：B. 3.答案：D 解析：因为，所以， 则当时，，， 故曲线在处的切线方程为， 即. 故选：D 4.答案：A 解析：， ，， 故选：A. 5.答案：A 解析:因为，所以， 而， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 6.答案：C 解析：． 故选：C. 7.【答案】2 【分析】利用平均变化率公式直接求解即可. 【详解】由题意得， 所以，或（舍去）． 故答案为：2 8.【答案】C 【分析】利用导数的定义求得正确答案. 【详解】设， 故选：C 9.【答案】D 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】解：因为， 所以， 故选：D 课后练习 1.【答案】A 【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 2.【答案】D 【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合. 【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s. 故选：D. 3.【答案】 【分析】根据平均变化率公式及对数的运算法则计算可求解. 【详解】在区间上的平均变化率为. 故答案为：. 4.【答案】C 【分析】利用导数的定义直接求得. 【详解】由，求导得：. 当时，，解得（舍去）. 故当时，液体上升高度的瞬时变化率为. 故选：C 5.【答案】D 【分析】由极限的定义化简即可求出答案. 【详解】因为， 所以 故选：D 6.【答案】C 【分析】根据导数的概念转化求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 7.【答案】B 【分析】根据题意，利用导数的定义，求得，列出方程，即可求解. 【详解】由函数， 则， 所以，解得. 故选：B. 8.【答案】6 【分析】导数的定义可得答案. 【详解】， 则. 故答案为：. 9.【答案】A 【分析】由导数的定义求出该曲线在P点处切线的斜率. 【详解】 故y′＝x2，y′|x＝2＝22＝4， 结合导数的几何意义知，曲线在P点处切线的斜率为4. 故选：A 10.【答案】2 【分析】根据函数在处的导数的定义得到方程，即可求出参数的值 【详解】解：因为，所以， 且，∴. 故答案为： 11.【分析】（1）根据初速度的定义求解即可， （2）根据瞬时速度的定义求解即可， （3）根据平均速度的定义求解即可. 【详解】（1）初速度 （2） ， 所以此物体在时的瞬时速度为，方向与初速度方向相反， （3）， 所以到时的平均速度为 学科网（北京）股份有限公司 $