5.1.2导数的概念及其几何意义学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用

5.1.2·导数的概念及其几何意义

学习指导

课标要求	核心素养	重难分析
1、理解导数的概念，明确导数是函数在某一点的瞬时变化率 2、能从几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度等）角度，解释导数的含义 3、体会平均变化率与瞬时变化率（导数）的联系与区别	通过从平均变化率过渡到瞬时变化率（导数）的过程，培养数学抽象与逻辑推理素养；从几何、物理等角度理解导数意义，提升直观想象素养	重点	导数的概念和定义式
			导数的几何意义和物理意义
		难点	深入理解导数定义中极限思想的应用
			结合具体函数，运用导数定义式计算函数在某点处的导数

 

知识清单

知识点一 变化率的概念

1.平均变化率的概念：对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到__________. 这时，的变化量为，的变化量为__________，把比值，即_____________叫做函数从到的平均变化率.

2.瞬时变化率（导数）的概念：如果当时，平均变化率无限趋近于一个__________的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的__________（也称为瞬时变化率），记作__________或，即.

知识点二 导数的几何意义

3.导数的几何意义：函数在处的导数__________就是在点的斜率，

即.这就是导数的几何意义.

4.注意点：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)、导函数f′(x)之间的区别与联系：

(1)区别：①f′(x0)是在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是______，不是变量．

②f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的．

(2)联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在_____处的函数值．

例题讲解

例题1．某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈.

（1）分别求s(t)在区间和上的平均速度；

（2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义.

 

 

 

 

例题2．已知函数f(x)＝.

（1）求函数f(x)在区间[]上的平均变化率；

（2）求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；

（3）求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．

 

 

 

 

例题3  已知，则的值为（    ）

A．－2a       B．2a           C．A         D．

例题4．用导数的定义求函数的导数．

 

课堂练习

1.函数在区间上的平均变化率为（    ）

A．1 B．2 C． D．0

2.已知，则(   )

A.-1 B.1 C.2 D.4

3.曲线在处的切线方程为(   ).

A. B. C. D.

10.若函数满足，，则(   )

A. B. C.2 D.8

5.曲线在点处的切线方程为(   )

A.  B.

C.  D.

6.设函数在处的导数存在，则(   )

A. B. C. D.

7.若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于_________．

8.曲线在点处的切线的斜率为（    ）

A．    B．        C．    D．

9.设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ）

A．-1 B．-3 C．1 D．

 

课后练习

1．某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ）

A． B． C． D．