5.1.2 导数的概念及其几何意义 （导学案）数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用 5.1.2导数的概念及其几何意义导学案 1. 理解平均变化率的含义，能结合实例计算函数的平均变化率。 2. 经历由平均变化率逼近瞬时变化率的过程，理解导数的定义，体会极限思想。 3. 掌握导数的几何意义，能解释曲线在某点的切线与导数的关系，会求简单曲线的切线方程。 4. 了解导函数的概念，能通过定义求简单函数的导数值与导函数，感受数学思想的严谨性与实用性。 教学重点： 1. 从瞬时速度、切线斜率问题中抽象出导数的概念； 2. 理解导数的几何意义，掌握用定义求导数的步骤。 教学难点： 1. 体会极限思想，理解“平均变化率逼近瞬时变化率”的过程； 2. 抽象导数的数学本质，区分导数值与导函数的关系。 知识点一　函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率 我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识点二　y＝f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝＝. [提醒]　某点处的导数即为函数在这点的瞬时变化率，含有两层含义： (1) 存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值； (2) 不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导． [注意]　在导数的定义中，令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝ 与定义中的f′(x0)＝意义相同． 课堂引入1：外卖小哥的“瞬时速度”之争 引入场景与问题链 早上7点，外卖小哥从餐厅出发送早餐，3公里路程仅用3分钟，全程平均速度60km/h。但小区门口限速40km/h，物业调取监控称小哥进门时“瞬间冲太快”，小哥却反驳“我全程平均速度没超”，双方各执一词。 1. 平均速度能精准反映小哥每个瞬间的速度吗？ 1. 如何用数学方法精确计算小哥进门那一瞬间（比如出发后2分50秒）的真实速度？ 1. 这种“某一时刻的速度”和我们熟悉的平均速度，本质区别是什么？ 过渡衔接 其实生活中还有很多类似场景：运动员冲线瞬间的速度、汽车刹车时的紧急减速快慢……这些“某一时刻的变化快慢”，仅用“平均变化率”无法精准描述，而这正是我们今天要解锁的数学工具——导数，它能帮我们揭开“瞬时变化率”的神秘面纱。 【设计意图】选取外卖送餐这一学生高频接触的生活场景，用“争执点”制造认知冲突，快速勾起求知欲； 1. 紧扣导数核心本质“瞬时变化率”，通过“平均速度→瞬时速度”的疑问，自然渗透“从平均到瞬时”的过渡逻辑，铺垫极限思想，直击“体会极限思想”的教学难点； 1. 统领整节课，后续导数概念抽象、极限思想体会、符号理解等内容，均可依托该实例展开，让抽象概念有具体生活依托，降低“抽象导数概念”的难度。 课堂引入二：手机充电的“快慢密码” 引入场景与问题链 大家给手机充电时一定有这样的体验：刚插上电时，电量从10%涨到50%只用了20分钟；但从90%涨到100%却花了15分钟。打开电池设置，还能看到“当前充电功率20W” “当前充电功率5W”的提示。 1. 前20分钟电量的平均变化率是多少（%/分钟）？ 1. 充电到30分钟时，电量的“瞬时变化快慢”（对应当前充电功率），该怎么用数学方法精准刻画？ 1. 若把“电量-时间”的关系画成图像，平均变化率和瞬时变化率在图像上分别对应什么图形的特征？ 过渡衔接 这种“某一时刻的变化快慢”，就是导数的核心内涵；而它在图像上的对应特征，正是导数的几何意义。今天我们就从手机充电这样的日常现象出发，探究导数的概念及其几何意义，解锁生活中“变化快慢”的数学密码。 【设计意图】以手机充电这一全员熟悉的行为为载体，让抽象的导数概念落地，符合学情分析中“学生有直观认知基础”的特点，降低入门门槛； 1. 既覆盖“瞬时变化率”（导数概念），又通过“图像对应特征”的疑问，提前铺垫导数的几何意义（切线斜率），一举统领“概念+几何意义”两大核心知识点； 1. 用“日常现象背后的数学原理”激发探究欲，同时渗透“数形结合” “以直代曲”的思想，为后续几何意义的学习埋下伏笔，助力学生理解“导数符号”和几何意义的关联。 前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率，这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，具有一致性。 问题1：请你梳理解决上述两类变化率问题的过程，在解决这两类问题时采用的思想方法具有一致性吗?结果的表示形式具有一致性吗? 师生活动：师生一起回顾上节课所学内容，总结如下： 运动物体在时刻的瞬时速度与附近的平均速度关系： 平均速度； 瞬时速度 函数一点处的切线斜率与点附近的割线斜率的关系 函数在点附近的割线斜率 函数在点处的切线斜率为 解决这两类问题时都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式． 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题，开启今天的新课学习． 设计意图：对两个不同类型的典型实例进行属性分析、比较、综合，概括它们的共同本质特征得到本质属性，为抽象出导数概念作准备。 探究点1： 平均变化率的概念 问题2：你能运用上述思想方法研究函数的“变化率”吗? 师生活动：类比上述思想的本质：“平均变化率”逼近“瞬时变化率”，给出函数平均变化率的概念。 平均变化率的概念： 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到．这时，的变化量为，的变化量为．我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率． 追问1：对于函数在处的瞬时变化率如何表示？ 师生活动：注意到在“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题结果的形式，其瞬时变化率都是平均变化率的极限，即： ，① 且发现对于定义域中自变量的某个取值,①式都是一个确定的值. 追问2：如果是一般的函数，①是否也是一个唯一确定的值?若是，它有何意义? 师生活动：教师引导学生结合以下两个实例思考，并回答问题： （1）设; （2）设. 对于（1）中的，函数从到的平均变化率为： ， 平均变化率的极限，是一个唯一确定的值； 对于（2），函数从到的平均变化率为： ， 平均变化率的极限，不是一个唯一确定的值； 综上，通过对不同函数的探究发现，尽管对一些函数而言，①都是一个唯一确定的值，但并不是对所有函数，①都是一个唯一确定的值. 探究点2： 导数的定义（瞬时变化率） 导数的概念： 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(derivative)(也称为瞬时变化率)，记作或，即 ． 注： ①：是自变量在处的改变量，所以可正可负，但;是函数值的改变量，可以为0. ②：函数在某处的导数，就是在该处的函数值改变量与自变量改变量之比的极限，因此，它是一个常数而不是变量； ③：函数在处可导，是指当时，有极限，如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数. 设计意图：引导学生通过从特殊到一般的数学思维活动，归纳、概括出导数的概念，发展学生的数学抽象素养. 探究点3： 导数的几何意义 问题3：让我们应用导数的概念，再来重温两个情境.如何用导数表示运动员在时的瞬时速度？如何用导数表示抛物线在点处的切线的斜率？它们的意义是什么？ 师生活动：根据导数的概念，解释上节课中的两个具体情景的相关问题。 由导数的定义可知， 在高台跳水运动员的速度的情景中，运动员在时的瞬时速度，就是函数在处的导数； 在抛物线的切线斜率的情景中，抛物线在点处的切线的斜率，就是函数在处的导数． 实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等． 例1：设，求． 解：先计算附近的平均变化率： 故，根据导数的定义， ． 方法规律总结：由导数的定义求函数在处的导数的方法 第一步：求函数的增量； 第二步：求平均变化率 第三步：求极限得导数值. 变式训练: 利用导数的定义，求函数在处的导数. 解： 所以 所以，. 例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第时，原油的温度(单位：)为．计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和． 根据导数的定义， 所以． 同理可得．①（请同学们自己完成具体运算过程．） 在第6h时，， 所以． 在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为与，说明在第2h附近，原油温度大约以的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以的速率上升． 一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况． 例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度(单位：m/s)为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义． 分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为，． 解析：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度就是和． 根据导数的定义， 所以． 同理可得． 在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为与． 说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加，在第附近，汽车的速度每秒大约减少． 探究点4：导函数的概念 我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况．那么导数的几何意义是什么？ 问题4:利用解析几何的知识，观察函数的图象(如图5.1-3),你能发现平均变化率示的几何意义吗? 师生活动:教师引导学生从图象直观的角度看，函数的平均变化率就是割线的斜率. 设计意图:将第2课时中求抛物线的切线的斜率这一变化率问题的过程与方法推广到一般情形.为学生再次经历由平均变化率过渡到瞬时变化率，探究导数的几何意义作铺垫. 追问1：回顾抛物线的中点处的切线与割线的之间的关系，你认为应如何定义曲线在点处的切线? 师生活动：引导学生类比抛物线的切线的研究过程，得出：为了研究曲线在点处的切线，可以在点的附近任取一点考察曲线的割线的变化情况. 教师可以利用信息技术工具，观察当点沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势得到曲线的切线定义. 如图5.1-4，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线（tangent line）． 追问2：类似于平均变化率的几何意义为割线的斜率，瞬时变化率的几何意义是什么？ 与问题2中抛物线的割线和切线之间关系类似，由于割线的斜率为 . 记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数．因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即，这就导数的几何意义． 继续观察图5.1-4，可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线．进一步地，利用信息技术工具将点附近的曲线不断放大(图5.1-5)， 可以发现点附近的曲线越来越接近于直线．因此，在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替． 数学上常用简单的对象刻画复杂的对象，例如，用有理数3.1416近似代替无理数，这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲. 问题5：对于函数,对于中的任意一个都是一个唯一确定的数.由求函数在处导数的过程，对于与之间的关系，你有什么认识? 师生活动：学生独立思考，小组交流、作答，再进行全班讨论，教师帮助学生总结得出：从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数.这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作,即 教师讲解：由导数的意义可知，它也是一个函数，导函数的每一个取值都给出了原函数在此点处的变化率.所以，对导函数性质的研究可以使我们清楚地把握原函数的变化规律. 设计意图:通过从特殊到一般的推广，在函数一般概念的统领下，认识导数也是一个函数，它与原函数存在内在联系，并通过教师引导，知道对导函数的研究是后续的一个非常重要的课题。 例4 图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象．根据图象，请描述，比较曲线在，，附近的变化情况． 为使横轴中各点明确区分，本图坐标系中横、纵轴的单位长度选取不一致． 解：我们用曲线在，，处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，．这时，在附近线比较平坦，几乎没有升降． （2）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减． （3）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减．从图5.1-6可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢． 例5 图5.1-7是人体血管中药物浓度(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象．根据图象，估计，，，时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)． 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率． 如图5.1-7．画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值． 作处的切线，并在切线上取两点，如，， 则该切线的斜率，所以． 表5.1-3给出另外药物浓度的瞬时变化率的估计值． 表5.1-3 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度的瞬时变化率 0.4 0 －0.7 －1.4    1.（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义，结合图象即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，结合图象可得， 所以. 故选：A. 2.（24-25高二下·山东枣庄·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义判断． 【详解】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以， 故选：D． 3.（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数的导函数为，且满足，则（   ） A． B．0 C． D．-1 【答案】D 【知识点】求某点处的导数值 【分析】首先利用导数公式求，再代入导数公式求的值. 【详解】，所以，得， 则，所以. 故选：D 4.（23-24高三上·云南昆明·阶段练习） 设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】结合解析式直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 5.（多选题）（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据函数的图象确定在，处切线的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D错误. 故选：AC 6.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】首先根据题意求出切线方程，然后对求导，根据斜率值和切点的函数值求出的值. 【详解】因为，所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为，设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 7.（多选题）（22-23高二下·山东德州·阶段练习）如果曲线在点处的切线过点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据切点在曲线上可判断AC，再由导数的几何意义可判断BD. 【详解】因为切点为，所以，故A正确； 而为切线上的点，不一定为切点，故C错误； 由切线经过和可得切线斜率， 所以由导数的几何意义知，，故B正确D错误. 故选：CD 8.（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可. 【详解】易知曲线在点处的切线斜率为， 所以. 故选：D 9.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义分别代入计算可得结果. 【详解】将3代入直线方程可得， 易知切线的斜率为，所以； 因此与分别为. 故选：A 10.（25-26高三上·上海·阶段练习）设，则 . 【答案】 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求某点处的导数值 【分析】先求出，再分析出就是函数在处的导数，计算即可. 【详解】因为，所以. 由导数的定义可知. 故答案为： 1.（25-26高三上·江西·阶段练习）已知在上可导，且，则曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数对称性的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的定义式进行化简即可. 【详解】因为在上可导，所以由导数的定义及几何意义可知， 曲线在处切线的斜率， 因为，所以，， 所以， 又因为，所以， 则， 所以，则， 即， 故选：A. 2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求过一点的切线方程、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别求得两条切线方程，然后根据斜率之间的关系可知，然后根据求得，最后可知结果. 【详解】设切线对应切点为，切线方程为， 将代入，解得，，从而． 设与曲线的切点为， ，解得，① 切线方程为， 将代入，得，② 将①代入②，得， 令，则， 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 若，由，，则． 而在上单调递减，故； 若，因在区间上单调递增，且， 所以，与题设矛盾，故不可能． 综上，. 故选：B． 3.（2022·四川内江·模拟预测）曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设切线方程为，根据切线方程得到关于的方程组，解得，进而得出导数值计算求解. 【详解】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 4.（2025高三·全国·专题练习）曲线在处的切线斜率为（   ） A．1 B．－1 C．3 D．－3 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】对给定的函数求导，再将代入导函数中，得到的结果就是曲线在处的切线斜率. 【详解】因为，所以曲线在处的切线斜率为． 故选：B. 1. 知识清单 (1) 平均变化率：，反映区间内平均变化快慢； (2) 导数定义：，是瞬时变化率，可导的充要条件是该极限存在； (3) 求导步骤：作差→求比→取极限； (4) 导数的实际意义：瞬时变化率（速度、温度变化率等）。 2. 方法归纳 (1) 定义法求导数：严格遵循“三步法”，注意极限运算的规范性； (2) 概念辨析：区分平均变化率（区间量）与导数（点量）； (3) 实际问题解读：导数的正负表示变化趋势（正为增加，负为减少），绝对值表示变化快慢。 3. 常见误区 (1) 混淆平均变化率与导数，忽略“”的极限条件； (2) 求导时，计算错误（漏减）； (3) 解读实际意义时，未说明“瞬时”和“变化速率”的核心内涵。 习题5.1（第71页）第4、6、8、11题。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章一元函数的导数及其应用 5.1.2导数的概念及其几何意义导学案 1. 理解平均变化率的含义，能结合实例计算函数的平均变化率。 2. 经历由平均变化率逼近瞬时变化率的过程，理解导数的定义，体会极限思想。 3. 掌握导数的几何意义，能解释曲线在某点的切线与导数的关系，会求简单曲线的切线方程。 4. 了解导函数的概念，能通过定义求简单函数的导数值与导函数，感受数学思想的严谨性与实用性。 教学重点： 1. 从瞬时速度、切线斜率问题中抽象出导数的概念； 2. 理解导数的几何意义，掌握用定义求导数的步骤。 教学难点： 1. 体会极限思想，理解“平均变化率逼近瞬时变化率”的过程； 2. 抽象导数的数学本质，区分导数值与导函数的关系。 知识点一　函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率 我们把比值，即＝ 叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识点二　y＝f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝＝. 课堂引入1：外卖小哥的“瞬时速度”之争 引入场景与问题链 早上7点，外卖小哥从餐厅出发送早餐，3公里路程仅用3分钟，全程平均速度60km/h。但小区门口限速40km/h，物业调取监控称小哥进门时“瞬间冲太快”，小哥却反驳“我全程平均速度没超”，双方各执一词。 1. 平均速度能精准反映小哥每个瞬间的速度吗？ 1. 如何用数学方法精确计算小哥进门那一瞬间（比如出发后2分50秒）的真实速度？ 1. 这种“某一时刻的速度”和我们熟悉的平均速度，本质区别是什么？ 过渡衔接 其实生活中还有很多类似场景：运动员冲线瞬间的速度、汽车刹车时的紧急减速快慢……这些“某一时刻的变化快慢”，仅用“平均变化率”无法精准描述，而这正是我们今天要解锁的数学工具——导数，它能帮我们揭开“瞬时变化率”的神秘面纱。 【设计意图】选取外卖送餐这一学生高频接触的生活场景，用“争执点”制造认知冲突，快速勾起求知欲； 1. 紧扣导数核心本质“瞬时变化率”，通过“平均速度→瞬时速度”的疑问，自然渗透“从平均到瞬时”的过渡逻辑，铺垫极限思想，直击“体会极限思想”的教学难点； 1. 统领整节课，后续导数概念抽象、极限思想体会、符号理解等内容，均可依托该实例展开，让抽象概念有具体生活依托，降低“抽象导数概念”的难度。 课堂引入二：手机充电的“快慢密码” 引入场景与问题链 大家给手机充电时一定有这样的体验：刚插上电时，电量从10%涨到50%只用了20分钟；但从90%涨到100%却花了15分钟。打开电池设置，还能看到“当前充电功率20W” “当前充电功率5W”的提示。 1. 前20分钟电量的平均变化率是多少（%/分钟）？ 1. 充电到30分钟时，电量的“瞬时变化快慢”（对应当前充电功率），该怎么用数学方法精准刻画？ 1. 若把“电量-时间”的关系画成图像，平均变化率和瞬时变化率在图像上分别对应什么图形的特征？ 过渡衔接 这种“某一时刻的变化快慢”，就是导数的核心内涵；而它在图像上的对应特征，正是导数的几何意义。今天我们就从手机充电这样的日常现象出发，探究导数的概念及其几何意义，解锁生活中“变化快慢”的数学密码。 【设计意图】以手机充电这一全员熟悉的行为为载体，让抽象的导数概念落地，符合学情分析中“学生有直观认知基础”的特点，降低入门门槛； 1. 既覆盖“瞬时变化率”（导数概念），又通过“图像对应特征”的疑问，提前铺垫导数的几何意义（切线斜率），一举统领“概念+几何意义”两大核心知识点； 1. 用“日常现象背后的数学原理”激发探究欲，同时渗透“数形结合” “以直代曲”的思想，为后续几何意义的学习埋下伏笔，助力学生理解“导数符号”和几何意义的关联。 前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率，这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，具有一致性。 问题1：请你梳理解决上述两类变化率问题的过程，在解决这两类问题时采用的思想方法具有一致性吗?结果的表示形式具有一致性吗? 师生活动：师生一起回顾上节课所学内容，总结如下： 运动物体在时刻的瞬时速度与附近的平均速度关系： 平均速度； 瞬时速度 函数一点处的切线斜率与点附近的割线斜率的关系 函数在点附近的割线斜率 函数在点处的切线斜率为 解决这两类问题时都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式． 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题，开启今天的新课学习． 设计意图：对两个不同类型的典型实例进行属性分析、比较、综合，概括它们的共同本质特征得到本质属性，为抽象出导数概念作准备。 探究点1： 平均变化率的概念 问题2：你能运用上述思想方法研究函数的“变化率”吗? 师生活动：类比上述思想的本质：“平均变化率”逼近“瞬时变化率”，给出函数平均变化率的概念。 平均变化率的概念： 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到．这时，的变化量为，的变化量为．我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率． 追问1：对于函数在处的瞬时变化率如何表示？ 师生活动：注意到在“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题结果的形式，其瞬时变化率都是平均变化率的极限，即： ，① 且发现对于定义域中自变量的某个取值,①式都是一个确定的值. 追问2：如果是一般的函数，①是否也是一个唯一确定的值?若是，它有何意义? 师生活动：教师引导学生结合以下两个实例思考，并回答问题： （1）设; （2）设. 对于（1）中的，函数从到的平均变化率为： ， 平均变化率的极限，是一个唯一确定的值； 对于（2），函数从到的平均变化率为： ， 平均变化率的极限，不是一个唯一确定的值； 综上，通过对不同函数的探究发现，尽管对一些函数而言，①都是一个唯一确定的值，但并不是对所有函数，①都是一个唯一确定的值. 探究点2： 导数的定义（瞬时变化率） 导数的概念： 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(derivative)(也称为瞬时变化率)，记作或，即 ． 注： ①：是自变量在处的改变量，所以可正可负，但;是函数值的改变量，可以为0. ②：函数在某处的导数，就是在该处的函数值改变量与自变量改变量之比的极限，因此，它是一个常数而不是变量； ③：函数在处可导，是指当时，有极限，如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数. 设计意图：引导学生通过从特殊到一般的数学思维活动，归纳、概括出导数的概念，发展学生的数学抽象素养. 探究点3： 导数的几何意义 问题3：让我们应用导数的概念，再来重温两个情境.如何用导数表示运动员在时的瞬时速度？如何用导数表示抛物线在点处的切线的斜率？它们的意义是什么？ 师生活动：根据导数的概念，解释上节课中的两个具体情景的相关问题。 由导数的定义可知， 在高台跳水运动员的速度的情景中，运动员在时的瞬时速度，就是函数在处的导数； 在抛物线的切线斜率的情景中，抛物线在点处的切线的斜率，就是函数在处的导数． 实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等． 例1：设，求． 解：先计算附近的平均变化率： 故，根据导数的定义， ． 方法规律总结：由导数的定义求函数在处的导数的方法 第一步：求函数的增量； 第二步：求平均变化率 第三步：求极限得导数值. 变式训练: 利用导数的定义，求函数在处的导数. 解： 所以 所以，. 例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第时，原油的温度(单位：)为．计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和． 根据导数的定义， 所以． 同理可得．①（请同学们自己完成具体运算过程．） 在第6h时，， 所以． 在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为与，说明在第2h附近，原油温度大约以的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以的速率上升． 一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况． 例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度(单位：m/s)为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义． 分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为，． 解析：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度就是和． 根据导数的定义， 所以． 同理可得． 在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为与． 说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加，在第附近，汽车的速度每秒大约减少． 探究点4：导函数的概念 我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况．那么导数的几何意义是什么？ 问题4:利用解析几何的知识，观察函数的图象(如图5.1-3),你能发现平均变化率示的几何意义吗? 师生活动:教师引导学生从图象直观的角度看，函数的平均变化率就是割线的斜率. 设计意图:将第2课时中求抛物线的切线的斜率这一变化率问题的过程与方法推广到一般情形.为学生再次经历由平均变化率过渡到瞬时变化率，探究导数的几何意义作铺垫. 追问1：回顾抛物线的中点处的切线与割线的之间的关系，你认为应如何定义曲线在点处的切线? 师生活动：引导学生类比抛物线的切线的研究过程，得出：为了研究曲线在点处的切线，可以在点的附近任取一点考察曲线的割线的变化情况. 教师可以利用信息技术工具，观察当点沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势得到曲线的切线定义. 如图5.1-4，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线（tangent line）． 追问2：类似于平均变化率的几何意义为割线的斜率，瞬时变化率的几何意义是什么？ 与问题2中抛物线的割线和切线之间关系类似，由于割线的斜率为 . 记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数．因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即，这就导数的几何意义． 继续观察图5.1-4，可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线．进一步地，利用信息技术工具将点附近的曲线不断放大(图5.1-5)， 可以发现点附近的曲线越来越接近于直线．因此，在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替． 数学上常用简单的对象刻画复杂的对象，例如，用有理数3.1416近似代替无理数，这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲. 问题5：对于函数,对于中的任意一个都是一个唯一确定的数.由求函数在处导数的过程，对于与之间的关系，你有什么认识? 师生活动：学生独立思考，小组交流、作答，再进行全班讨论，教师帮助学生总结得出：从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数.这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作,即 教师讲解：由导数的意义可知，它也是一个函数，导函数的每一个取值都给出了原函数在此点处的变化率.所以，对导函数性质的研究可以使我们清楚地把握原函数的变化规律. 设计意图:通过从特殊到一般的推广，在函数一般概念的统领下，认识导数也是一个函数，它与原函数存在内在联系，并通过教师引导，知道对导函数的研究是后续的一个非常重要的课题。 例4 图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象．根据图象，请描述，比较曲线在，，附近的变化情况． 为使横轴中各点明确区分，本图坐标系中横、纵轴的单位长度选取不一致． 解：我们用曲线在，，处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，．这时，在附近线比较平坦，几乎没有升降． （2）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减． （3）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减．从图5.1-6可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢． 例5 图5.1-7是人体血管中药物浓度(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象．根据图象，估计，，，时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)． 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率． 如图5.1-7．画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值． 作处的切线，并在切线上取两点，如，， 则该切线的斜率，所以． 表5.1-3给出另外药物浓度的瞬时变化率的估计值． 表5.1-3 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度的瞬时变化率 0.4 0 －0.7 －1.4    1.（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·山东枣庄·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（   ）    A． B． C． D． 3.（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数的导函数为，且满足，则（   ） A． B．0 C． D．-1 4.（23-24高三上·云南昆明·阶段练习） 设函数，则（    ） A． B． C． D． 5.（多选题）（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 7.（多选题）（22-23高二下·山东德州·阶段练习）如果曲线在点处的切线过点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 8.（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 9.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A． B． C． D． 10.（25-26高三上·上海·阶段练习）设，则 . 1.（25-26高三上·江西·阶段练习）已知在上可导，且，则曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2022·四川内江·模拟预测）曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 4.（2025高三·全国·专题练习）曲线在处的切线斜率为（   ） A．1 B．－1 C．3 D．－3 1. 知识清单 (1) 平均变化率：，反映区间内平均变化快慢； (2) 导数定义：，是瞬时变化率，可导的充要条件是该极限存在； (3) 求导步骤：作差→求比→取极限； (4) 导数的实际意义：瞬时变化率（速度、温度变化率等）。 2. 方法归纳 (1) 定义法求导数：严格遵循“三步法”，注意极限运算的规范性； (2) 概念辨析：区分平均变化率（区间量）与导数（点量）； (3) 实际问题解读：导数的正负表示变化趋势（正为增加，负为减少），绝对值表示变化快慢。 3. 常见误区 (1) 混淆平均变化率与导数，忽略“”的极限条件； (2) 求导时，计算错误（漏减）； (3) 解读实际意义时，未说明“瞬时”和“变化速率”的核心内涵。 习题5.1（第71页）第4、6、8、11题。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $