恒成立问题与存在性问题导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

恒成立问题与存在性问题 【学习目标】 1. 掌握解决恒成立和存在性问题的常用方法，如：分离参数、移项构造函数、讨论单调性求最值等. 2. 能够运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想和方法分析和解决问题. 【学习重难点】 重点：恒成立能成立问题的转化 难点：构造新函数处理问题 【知识梳理】 1. 单变量的恒成立问题 ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则，所以 <0； ④ 恒成立，则. 2.单变量的存在性问题 ① 使得成立，则； ② 使得成立，则； ③ ，使得成立，则； ④ 使得成立，则，所以 >0. .双变量的恒成立与存在性问题 ①使得恒成立，则; ②使得恒成立，则; ③恒成立，则 ; ④使得成立，则 . 【典例分析】 例1、已知函数f(x)＝aex－2x＋1.若f(x)>0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 【解】f(x)>0对x∈R成立，即为a>对任意x∈R恒成立， 设g(x)＝，则a>g(x)max·g′(x)＝， 令g′(x)＝0，解得x＝，当x>时，g′(x)<0，当x<时，g′(x)>0， 故函数g(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以g(x)max＝g＝＝，故实数a的取值范围为. 例2、已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【解】 (1)函数的定义域为. .当时，解不等式，得；当时，解不等式得； 当时，解不等式，得；当时，不等式，无实数解. 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，无单调递增区间. (2) 由（1）知，当时，在上单调递减，所以，显然恒成立；当时，在上单调递减，所以，显然恒成立；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以.因为当时恒成立，所以，解得.综上，实数m的取值范围为. 例3、已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【解】 (1) 因为，该函数的定义域为，，所以，解得. 此时，令，其中，，所以函数在上单调递增，且， 当时，，则；当时，，则. 所以函数的减区间为，增区间为. (2)令，，只需，可得，，记，，则，. ①当时，，则函数在上为增函数，所以，所以函数在上为减函数，所以，此时当时，恒成立. ②当时，令，则，故函数在上单调递减，所以，同①可知，当时，恒成立. ③当时，由②可知，函数在上为减函数，所以， 构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，则， 所以，所以， 所以存在,使得，当时，，此时函数在上单调递增，此时，则函数在上单调递增，此时，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是. 【当堂训练】 1.已知函数.若对任意两个不相等的正数恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. A 【解析】 因为函数，若对任意两个不相等的正数，，都有恒成立，所以恒成立，所以恒成立. 令，则，因为的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，可得．故选A． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 恒成立问题与存在性问题 【学习目标】 1. 掌握解决恒成立和存在性问题的常用方法，如：分离参数、移项构造函数、讨论单调性求最值等. 2. 能够运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想和方法分析和解决问题. 【学习重难点】 重点：恒成立能成立问题的转化 难点：构造新函数处理问题 【知识梳理】 1.单变量的恒成立问题 ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则，所以 ； ④ 恒成立，则.所以. 2.单变量的存在性问题 ① 使得成立，则； ② 使得成立，则； ③ ，使得成立，则，所以； ④ 使得成立，则，所以 . 3.双变量的恒成立与存在性问题 ①使得成立，则; ②使得成立，则; ③使得成立，则 ; ④使得成立，则 . 【典例分析】 例1、已知函数.若对恒成立，求实数的取值范围． 例2、已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 例3、已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【当堂训练】 1. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是_________． 2.已知函数.若对任意两个不相等的正数恒成立，则实数的取值范围是_________． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $