5.3.2函数的最值最值导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

函数的最值 【学习目标】 1．了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系； 2．掌握求函数最值的方法及其应用；3．体会数形结合、化归转化的数学思想． 【学习重难点】 重点：求函数最值的方法及其综合应用 难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系 【知识梳理】 1.函数在区间上的最值 (1)取得最值的条件:在区间上函数的图象是一条 的曲线. (2)结论:函数必有最大值和最小值,函数的最值在 或 取得. 2.求函数在区间上的最值的步骤 (1)求函数在区间内的极值. (2)将函数的 与端点处的函数值 进行比较,其中最大的一个是 ,最小的一个是 . 【概念辨析】 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)闭区间上的连续函数一定有最值. (　 ) (2)开区间上的单调连续函数无最值. (　 ) (3)极值只能在区间内取得,最值则可以在区间端点处取得. (　 ) (4)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值. (　 ) 2．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A． B．函数在处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【典例分析】 例1、求下面函数的最值： (1) ； (2) ． 变式、当时，求函数的最值. 例2、已知函数，是否存在实数，使得在上取得最大值，最小值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式、函数在区间内存在最小值,则实数的取值范围是 . 例3、证明：当时，.（对应书本89页例4） 【当堂训练】 1.已知在区间上的最大值是,求的取值范围. 2.若不等式恒成立,则实数的取值范围是__________. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的最值 【学习目标】1．了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系； 2．掌握求函数最值的方法及其应用；3．体会数形结合、化归转化的数学思想． 【学习重难点】重点：求函数最值的方法及其综合应用 难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系 【知识梳理】 1.函数f(x)在区间[a,b]上的最值 (1)取得最值的条件:在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线. (2)结论:函数y=f(x)必有最大值和最小值,函数的最值在极值点或区间端点取得. 2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值. (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 微点助解 　　函数最值与极值的区别与联系 (1)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个. (2)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值. 【概念辨析】 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)闭区间上的连续函数一定有最值. (　 ) (2)开区间上的单调连续函数无最值. (　 ) (3)极值只能在区间内取得,最值则可以在区间端点处取得. (　 ) (4)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值. (　 ) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 C【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又a<b<c，所以，A不正确． 因为，，且当时，；当c<x<e时，；当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，D不正确．故选C． 【典例分析】 例1、求下面函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]． 【解】(1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]， 所以f(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)， 令f(x)＝0，解得x＝－ 或x＝. 因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8， 所以当x＝时，f(x)取得最小值－8； 当x＝3时，f(x)取得最大值18. (2)f(x)＝＋cos x，令f(x)＝0， 又x∈[0,2π]，解得x＝或x＝. 因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f ＝＋，f ＝－. 所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. 例2、已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使得f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 【解】存在．显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．①若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： x [－1,0] 0 (0,2] f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 最大值 ↘ 所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以b＝3.又因为f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3， f(－1)>f(2)，所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，解得a＝2. ②若a<0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x [－1,0) 0 (0,2] f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 最小值 ↗ 所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以b＝－29.又因为f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)>f(－1)，所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，解得a＝－2. 综上所述,a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 变式、函数f(x)=x3-x2在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-3,2) B.[-3,2) C.[-1,2) D.(-1,2) 解析:选C　由f'(x)=x2-2x=0得x1=0,x2=2,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.f(x)在区间(a,a+5)内存在最小值,故最小值为f(2),又f(-1)=f(2), 故有解得-1≤a<2.故实数a的取值范围是[-1,2). 例3、证明：当时，.（对应书本89页例4） 【当堂训练】 1.已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围. 解:∵h(x)=x3+3x2-9x+1, ∴h'(x)=3x2+6x-9, 令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1, 当x变化时h'(x)及h(x)的变化情况如下表. x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) h'(x) + 0 - 0 + h(x) 单调递增 极大 值 单调 递减 极小 值 单调递增 当x=-3时,取极大值28; 当x=1时,取极小值-4. 而h(2)=3<h(-3)=28, 由h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则k≤-3. 故k的取值范围是(-∞,-3]. 2.若不等式lnx－kx≤0恒成立,则实数k的取值范围是__________. 【解析】由题可得，k≥在区间(0，+∞)上恒成立.令f(x)=(x>0),则f'(x)=(x>0),当x∈(0,e)时，f'(x)>0，当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+∞)，所以f(x)max=f(e)=, 所以k≥. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $