第五章 培优课 导数中的函数构造问题-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教A版）

数学　选择性必修 第二册 RJ 培优课　导数中的函数构造问题 导数中函数的构造问题是历次考试的热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在试题中出现．这类题型通常是已知等式或不等式的结构特征，构造新函数解决比较大小、解不等式等问题． 类型一　利用f(x)与x构造函数 　(1)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的实数x，都有f′(x)＋1<0，且f(1)＝－1，则(　　) A．f(0)<0 B．f(e)<－e C．f(e)>f(0) D．f(2)>f(1) [解析]　构造g(x)＝f(x)＋x，则g′(x)＝f′(x)＋1，又f′(x)＋1<0，所以g′(x)<0，所以函数g(x)在R上单调递减，又g(1)＝f(1)＋1＝－1＋1＝0，所以g(0)＝f(0)＋0>g(1)＝0，即f(0)>0，故A错误；因为g(e)<g(1)，即f(e)＋e<0，所以f(e)<－e，故B正确；因为g(e)＝f(e)＋e<g(0)＝f(0)，所以f(e)<f(0)，故C错误；因为g(2)＝f(2)＋2<g(1)＝f(1)＋1，即f(2)<f(1)，故D错误． [答案]　B (2)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为________． [解析]　构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，可以推出当x＜0时，F′(x)＜0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，y＝x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减，根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数F(x)的单调性、奇偶性可得函数F(x)的大致图象，根据图象可知xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)． [答案]　(－∞，－4)∪(0，4) 【感悟提升】用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： (1)对于f′(x)＞g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)． (2)对于f′(x)＋g′(x)＞0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． (3)对于f′(x)＞a，构造h(x)＝f(x)－ax. (4)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝xf(x)． (5)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝. 【跟踪训练】 1．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) 答案：A 解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x>0时，g′(x)<0，所以在(0，＋∞)上，g(x)＝单调递减，又f(－1)＝0，f(x)是奇函数，则f(1)＝0，g(1)＝0，所以由g(x)＝>0，可得0<x<1，此时f(x)>0，又f(x)为奇函数，所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选A. 类型二　利用f(x)与ex构造函数 　(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)＞0，且f(3)＝3，则不等式f(x)＞3e3－x的解集为(　　) A．(－∞，0) B．(0，3) C．(－∞，3) D．(3，＋∞) [解析]　设F(x)＝exf(x)，则F′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0，所以F(x)在R上单调递增，又f(3)＝3，则F(3)＝e3·f(3)＝3e3，因为f(x)＞3e3－x等价于exf(x)＞3e3，即F(x)＞F(3)，所以x＞3，即不等式f(x)＞3e3－x的解集为(3，＋∞)．故选D. [答案]　D (2)(多选)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＜f(x)对任意的x∈R恒成立，则(　　) A．f(ln 2)＜2f(0) B．f(2)＜e2f(0) C．f(ln 2)＞2f(0) D．f(2)＞e2f(0) [解析]　令g(x)＝，则g′(x)＝＜0，所以g(x)在R上单调递减，又ln 2＞0，2＞0，所以g(ln 2)＜g(0)，g(2)＜g(0)，即＜，＜，所以f(ln 2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0)． [答案]　AB 【感悟提升】f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝exf(x)． (2)对于f′(x)＞f(x)，构造h(x)＝. 【跟踪训练】 2．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋1<f′(x)，f(0)＝2，则不等式f(x)＋1>3ex的解集为(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(－∞，0) 答案：C 解析：令g(x)＝，因为f(x)＋1<f′(x)，则g′(x)＝>0，故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝3，则由f(x)＋1>3ex，可得>3，即g(x)>g(0)，所以x>0.故选C. 类型三　利用f(x)与sinx，cosx构造函数 　已知f(x)是定义在上的函数，其导函数为f′(x)，f＝2，且当x∈时，f′(x)sinx＋f(x)cosx＞0，则不等式f(x)·sinx＜3的解集为________． [解析]　因为当x∈时，f′(x)sinx＋f(x)cosx＞0，所以当x∈时，[f(x)sinx]′＞0.令g(x)＝f(x)sinx，则当x∈时，g′(x)＞0，g(x)在内单调递增．因为f＝2，所以g＝fsin＝3，故不等式f(x)sinx＜3，即g(x)＜g，因为g(x)在内单调递增，所以原不等式的解集为. [答案]　 【感悟提升】f(x)与sinx，cosx构造常见的形式 (1)对于f′(x)sinx＋f(x)cosx＞0，构造函数h(x)＝f(x)sinx. (2)对于f′(x)sinx－f(x)cosx＞0，构造函数h(x)＝. (3)对于f′(x)cosx－f(x)sinx＞0，构造函数h(x)＝f(x)cosx. (4)对于f′(x)cosx＋f(x)sinx＞0，构造函数h(x)＝. 【跟踪训练】 3．(多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(0)＝0，f′(x)cosx＋f(x)·sinx＜0，则下列判断中正确的是(　　) A．f＜f B．f＞0 C．f＞f D．f＞f 答案：CD 解析：令g(x)＝，x∈，则g′(x)＝，因为f′(x)cosx＋f(x)·sinx＜0，所以g′(x)＝＜0在上恒成立，因此函数g(x)＝在上单调递减，又＜，所以g＞g，即＞，即f＞f，故A错误；又f(0)＝0，所以g(0)＝＝0，所以g(x)＝≤0在上恒成立，因为ln ∈，所以f＜0，故B错误；又＜，所以g＞g，所以＞，即f＞f，故C正确；又＜，所以g＞g，所以＞，即f＞f，故D正确．故选CD. 类型四　同构法构造函数 　(1)若ea＋a＞b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列说法正确的是(　　) A．a＞ln b B．a＜ln b C．ln a＞b D．ln a＜b [解析]　解法一：由ea＋a＞b＋ln b，可得ea＋a＞eln b＋ln b，令f(x)＝ex＋x，则f(a)＞f(ln b)，因为f(x)在R上是增函数，所以a＞ln b. 解法二：由ea＋a＞b＋ln b，可得ea＋ln ea＞b＋ln b，令g(x)＝x＋ln x，则g(ea)＞g(b)，因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以ea＞b，即a＞ln b. [答案]　A (2)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea＜bln b，则(　　) A．ab＞e B．b＞ea C．ab＜e D．b＜ea [解析]　由aea＜bln b，得ealn ea＜bln b．设f(x)＝xln x(x＞0)，因为a＞0，则ea＞1，因为b＞0，且bln b＞aea＞0，则b＞1.当x＞1时，f′(x)＝ln x＋1＞0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又ealn ea＜bln b，即f(ea)＜f(b)，所以ea＜b.故选B. [答案]　B 【感悟提升】同构法的三种基本模型 指对同构经常使用的变换形式有两种：一种是将x变成ln ex后构造函数；另一种是将x变成eln x后构造函数，总的来说，有以下三种基本模型： (1)和差型：形如ea±a＞b±ln b，同构后可以构造函数f(x)＝ex±x或f(x)＝x±ln x. (2)乘积型：形如aea≤bln b可以同构成aea≤(ln b)eln b，进而构造函数f(x)＝xex；也可以同构成ealn ea≤bln b，进而构造函数f(x)＝xln x. (3)比商型：形如＜可以同构成＜，进而构造函数f(x)＝；也可以同构成<，进而构造函数f(x)＝. 【跟踪训练】 4．(多选)设a＞e，b＞e，e为自然对数的底数．若ealn b＞ab，则(　　) A．ea＜b B．ea＞b C．a＜ln b D．a＞ln b 答案：BD 解析：由a＞e，b＞e，ealn b＞ab，得＞，即＞.设f(x)＝(x＞0)，则f′(x)＝，因为当x＞e时，f′(x)＞0，所以f(x)在(e，＋∞)上单调递增，因为＞，即f(ea)＞f(b)，又ea＞e，b＞e，所以ea＞b，a＞ln b．故选BD. 类型五　通过数值构造具体函数 　已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a [解析]　因为a＝＝，b＝＝，c＝，所以构造函数f(x)＝.因为f′(x)＝，由f′(x)＝>0，得0<x<e，由f′(x)＝<0，得x>e，所以f(x)＝在(e，＋∞)上单调递减．因为a＝＝＝f(4)，b＝＝＝f(e)，c＝＝f(9)，且9>4>e，所以b>a>c.故选C. [答案]　C 【感悟提升】当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 【跟踪训练】 5．已知a＝ln ，b＝，c＝sin－，则(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．a>c>b 答案：A 解析：令f(x)＝ln x－，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝－＝，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝>0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以f＝ln －＝ln －>f(1)＝0，即ln >，故a>b；因为sin<1，所以sin<＋，即sin－<，故c<b，所以a>b>c.故选A. 课后课时精练 中档题(占70%)　拔高题(占30%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 利用f(x)与x构造函数的单调性解不等式 利用f(x)与x构造函数的单调性比较大小 利用f(x)与ex构造函数的单调性解不等式 通过具体数值构造具体函数的单调性比较大小 利用f(x)与x构造函数的单调性解不等式 利用同构法构造函数的单调性比较大小 利用f(x)与sinx，cosx构造函数的单调性比较大小 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用f(x)与ex构造函数的单调性解不等式 利用f(x)与ln x构造函数的单调性解不等式 利用同构法构造函数解决问题 利用f(x)与x构造函数的单调性解不等式 利用f(x)与sinx，cosx构造函数的单调性解不等式 通过具体数值构造具体函数的单调性比较大小 利用同构法构造函数求参数的取值范围 一、单项选择题 1．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(2)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜1，则f(x)＞x－1的解集为(　　) A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|x＜－2或x＞2} D．{x|x＞2} 答案：B 解析：令g(x)＝f(x)－(x－1)，则g′(x)＝f′(x)－1＜0，所以g(x)在R上单调递减．又f(2)＝1，所以g(2)＝f(2)－(2－1)＝0.由f(x)＞x－1，得f(x)－(x－1)＞0，即g(x)＞0，解得x＜2.故选B. 2．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则(　　) A．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a) 答案：A 解析：设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减或g(x)为常函数．∵a＜b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)．故选A. 3．定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＜f′(x)，f(0)＝2，则不等式f(x)＜2ex的解集为(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，2) C．(0，＋∞) D．(2，＋∞) 答案：A 解析：设g(x)＝，则g′(x)＝，因为f(x)＜f′(x)，所以g′(x)＞0，即函数g(x)在R上单调递增．因为f(0)＝2，所以g(0)＝＝2，则不等式f(x)＜2ex等价于g(x)＜g(0)．因为函数g(x)在R上单调递增，所以x＜0，即不等式f(x)<2ex的解集为(－∞，0)．故选A. 4．已知a＝sin0.1，b＝0.1，c＝ln ，则(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．b>c>a D．b>a>c 答案：B 解析：设f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，因为0.1>0，所以f(0.1)>f(0)＝0，即0.1－sin0.1>0，即0.1>sin0.1，所以b>a；设g(x)＝ln x－，x>0，则g′(x)＝－＝≥0恒成立，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g>g(1)＝0，即ln －>0，所以c>b.综上可知，c>b>a.故选B. 5．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　) A．(－1，0) B．(－1，1) C．(0，1) D．(－1，0)∪(0，1) 答案：D 解析：构造F(x)＝，则F′(x)＝，∵当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，∴当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增，根据f(－1)＝0，可得F(－1)＝0，∴当x∈(－1，0)时，F(x)＞0，则f(x)＞0，又f(x)是偶函数，∴f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)．故选D. 二、多项选择题 6．已知a>b>1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是(　　) A．aea>beb B．aln b>bln a C．aln a>bln b D．bea>aeb 答案：ACD 解析：设f(x)＝xex，x>1，则f′(x)＝(x＋1)ex>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故f(a)>f(b)，即aea>beb，故A成立；设g(x)＝，x>1，则g′(x)＝，易知函数g(x)在(1，e)内单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故当1<b<a<e时，g(a)>g(b)，即>，故aln b<bln a，故B不成立；设h(x)＝xln x，x>1，则h′(x)＝ln x＋1>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增，故h(a)>h(b)，即aln a>bln b，故C成立；设k(x)＝，x>1，则k′(x)＝>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数k(x)在(1，＋∞)上单调递增，故k(a)>k(b)，即>，故bea>aeb，故D成立．故选ACD. 7．已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)，满足f′(x)sinx＞f(x)cosx(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　) A．f＞－f B.f＞－f C.f＞2f D.f＜f 答案：BC 解析：由已知，得函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)为奇函数，由函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)，满足f′(x)sinx＞f(x)cosx，得f′(x)sinx－f(x)cosx＞0，令g(x)＝，则g′(x)＝，当x∈(0，π)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，π)内单调递增．对于A，因为＞，即f＞f，所以f＝－f＜－f，故A不成立；对于B，因为＞，即f＞f＝－f，故B成立；对于C，因为＜，即f＞2f，故C成立；对于D，因为＞，即f＞f，故D不成立．故选BC. 三、填空题 8．已知f(x)是定义在R上的可导函数，满足f(1)＝0，且对任意的x∈R，都有f′(x)>ex，则不等式f(ln x)<x－e的解集为________． 答案：(0，e) 解析：因为f′(x)>ex，所以f′(x)－ex>0，构造函数F(x)＝f(x)－ex，则F′(x)＝f′(x)－ex>0，所以函数F(x)＝f(x)－ex在R上单调递增，不等式f(ln x)<x－e可化为f(ln x)－x<f(1)－e，所以F(ln x)<F(1)，所以ln x<1，所以0<x<e，所以不等式f(ln x)<x－e的解集为(0，e)． 9．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)＋>0，且f(e)＝－1，则不等式f(ex)＋x>0的解集为________． 答案：(1，＋∞) 解析：构造函数g(x)＝f(x)＋ln x，则g′(x)＝f′(x)＋>0，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数，不等式f(ex)＋x>0可化为f(ex)＋ln ex>f(e)＋ln e，即g(ex)>g(e)，所以ex>e，解得x>1.故不等式f(ex)＋x>0的解集为(1，＋∞)． 10．若实数x1，x2分别是方程ln (x－1)＋x＝3，xln x＝e2的根，则x1x2－x2的值为________． 答案：e2 解析：∵x1，x2分别是方程ln (x－1)＋x＝3，xln x＝e2的根，∴ln (x1－1)＋x1＝3，x2ln x2＝e2，且x1>1，x2>1，即ln (x1－1)＋x1－1＝2，变形为ln (x1－1)＋ln ex1－1＝2，从而(x1－1)e x1－1＝e2＝x2ln x2，同构，得e x1－1·ln e x1－1＝x2ln x2，且x1>1，x2>1，e x1－1＞1.设f(x)＝xln x，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝1＋ln x>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又f(e x1－1)＝f(x2)，∴ex1－1＝x2，则x1－1＝ln x2，∴x1x2－x2＝x2(x1－1)＝x2ln x2＝e2. 四、解答题 11．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，求不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集． 解：构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)， 则y′＝f(x)＋xf′(x)<0， 所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减． 又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)， 所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)， 所以0<x＋1<x2－1，解得x>2， 所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)． 12．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，其导函数为f′(x)，若f(x)＝f(－x)－2sinx，且当x≥0时，f′(x)>－cosx，求不等式f>f(x)＋sinx－cosx的解集． 解：令h(x)＝f(x)＋sinx， 则h(－x)＝f(－x)－sinx， 又f(x)＝f(－x)－2sinx， 所以f(x)＋sinx＝f(－x)－sinx， 即h(x)＝h(－x)， 所以h(x)为R上的偶函数， 又x≥0时，h′(x)＝f′(x)＋cosx>0， 所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增， 又h(x)为R上的偶函数， 所以h(x)在(－∞，0]上单调递减， 由f>f(x)＋sinx－cosx，得 f＋cosx>f(x)＋sinx， 所以f＋sin>f(x)＋sinx， 即h>h(x)， 所以>|x|，解得x>－， 所以不等式f>f(x)＋sinx－cosx的解集为. 13．已知e是自然对数的底数，a＝，b＝e2sin，c＝，试比较a，b，c的大小． 解：构造函数f(x)＝，x>e， 则f′(x)＝>0在(e，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递增， 因为a＝＝，c＝＝， 所以f(4)>f(π)>f(e)＝e，即c>a>e. 构造函数g(x)＝x－sinx，x>0， 则g′(x)＝1－cosx≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则g(x)>g(0)＝0，即x>sinx，x>0， 所以>sin，又e>0，则e>e2sin，即e>b. 综上所述，c>a>b. 14．已知函数f(x)＝ekx＋1，g(x)＝ln x．若kf(x)≥g(x)，求实数k的取值范围． 解：因为f(x)＝ekx＋1， 所以kf(x)＝k(ekx＋1)． 由kf(x)≥g(x)，得k(ekx＋1)≥ln x(x>0)， 即kx(ekx＋1)≥(1＋x)ln x(x>0)， 即ln ekx·(ekx＋1)≥(1＋x)ln x(x>0)． 构造函数h(x)＝(1＋x)ln x(x>0)， 则ln ekx·(ekx＋1)≥(1＋x)ln x(x>0)可化为h(ekx)≥h(x)(x>0)． 因为h′(x)＝ln x＋＋1(x>0)， 令t(x)＝ln x＋＋1(x>0)， 则t′(x)＝－＝(x>0)， 令t′(x)＝0，解得x＝1， 当x∈(0，1)时，t′(x)<0，t(x)在(0，1)内单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x＝1时，t(x)取得最小值，即t(x)min＝t(1)＝2>0， 所以t(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即h′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 因为h(ekx)≥h(x)(x>0)，所以ekx≥x(x>0)， 即kx≥ln x(x>0)，即k≥(x>0)． 令m(x)＝(x>0)，则m′(x)＝(x>0)， 令m′(x)＝0，则1－ln x＝0，解得x＝e， 当x∈(0，e)时，m′(x)>0，m(x)在(0，e)内单调递增， 当x∈(e，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)在(e，＋∞)上单调递减， 所以当x＝e时，m(x)取得最大值， 即m(x)max＝m(e)＝， 所以m(x)≤，所以k≥. 故实数k的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $