全国九省联考2025-2026学年高三上学期1月联考数学试题

2026届高三年级1月联考 数学参考答案及评分意见 1.C【解析】因为集合A={x∈Zx2+x一6<0}={一2，一1,0,1}，B={x|x<1},所以A∩B={一2，一1,0}，即 集合A∩B中的元素个数为3.故选C. 3+4i 2.B【解析】.z 1干23十4i一③十4=5故选B. Γ11+2i√/12+22√5 5-m<0. 3.B【解析】由题意得 解得m>5,即实数m的取值范围是(5，十∞)，故选B. m+2>0, 2x+3y-1=0, x=-1, 4.D【解析】解 得 即直线l1与直线1的交点为（一1,1），记为点A.设直线11上的点 x-y+2=0, y=1, y+1 =-1. x-2 x=一3， B(2,一1)关于直线1的对称点为点C(x,y),则 解得 所以点C(一3,4).所以直线 x+2y-1 y=4, 2 2 十2=0， 4C即直线，的方程为y-1二3z+),即3x+2y十1=0.故选D 5.C【解析】由sinB(c-b)=(sinA十sinC)(c一a)及正弦定理，得b(c一b)=(a十c)(c一a),化简得b2+c2 a2=bc,由余弦定理得cosA= 2yA∈(0，，A又AB·ACcc0sA4,bc=8.△ABC的面 积S-nA-×8=2g放选C 6.B【解析】过点C作CD⊥x轴于点D(图略)，则由题意得CD=√3.因为△ABC是正三角形，所以AB=2.设函 数的最小正周期为T,则T=4因为w>0,所以w经-号所以f)=月m台+小因为0B=80A, 所以0A=专0B=名所以A(号0小B(侵0小侵5)所以受×+g=+∈z:解得g= 2必k∈2因为0<g<所以g=子所以f)=5m(受+引-则f0)十fD+f2+f6)=夏十 6-5_5=-0,所以f0)+f1)+f(2)+…+f(2024)+f(2025)=506×0+f0)+f1)=5.故选B. 222 7.C【解析】：点M在椭圆C上，∴.|MF,|十MFz|=2a.由题意知，直线MN平分∠FMF2.,MF1+2MF2= :M∈R.ME,=2MF,dME,-专a,MF,=子a在△F,M,中，由余弦定理得1MF,+ IMF,-2MF,F.o∠F,MF,=IF,R∠FMF,=120(信+（侵e-2xa×号a× ()-化微刷后一名箱时C的商心幸：=日-怎版症心 a 3 8.A【解折】函数fx)=e-e-2sin引2sim青-1=e-e+sinx,x∈R,则f'x)=e+e十cosx≥ 2√e·e十cosx=2十cosx(当且仅当x=0时，等号成立)，所以f'(x)>0在R上恒成立，所以函数f(x)是 2026届高三年级1月联考数学答案第1页（共7页） 增函数.因为f(-x)=e一e十sin(-x)=ex一e-sinx=一f(x),所以f(x)是奇函数. 因为f(xe-a)+f(-2lnx-2.x)≥0在(0，+oo)上恒成立，即f(xe-a)≥-f(-2lnx-2x)=f(2lnx+ 2x)在(0，+∞)上恒成立，所以xe'一a≥2lnx+2x在(0，十o∞)上恒成立，即a≤xe一21nx一2x在(0，十∞) 上恒成立.令g(x)=xe-2lnx-2x=er+x-2(lnx十x),则a≤g(x)在(0，+c∞)上恒成立. 令t=lnx十x,则t∈R,且函数g(x)等价于h(t)=e一2t. 因为h'(t)=e'-2,解h'(t)>0得t>ln2,解h'(t)<0得t<1n2, 所以h(t)在(-∞，ln2)上单调递减，在(ln2,十o∞)上单调递增，所以h(t)≥h(ln2)=2一2ln2,所以函数h(t) 的最小值为2-2ln2,即g(x)的最小值为2-2ln2,所以a≤2-2ln2,即实数a的取值范围是（一o∞，2-2ln2]. 故选A. 9.BC【解析】由题意和正项等比数列的性质，得Sg=(a3a6)'=4096,a3a6>0,解得aga6=8,故A错误.，a3= 1,a6=8,.g3-4=8,解得g=2,故B正确.a6=aq2=4,故C正确.：a3=1,q=2,当n=1或2时，an< 1,当n>3时，aw>1.:当an<1时，Sn<Sn-1,当an=1时，Sn=Sm-1,当am>1时，Sn>Sm-1∴.当Sm最小时， n=2或3，故D错误.故选BC. 10.BCD【解析】由题意得，圆C的圆心为C(0,0),半径r=2.若圆C关于直线l对称，则圆心C在直线1上，即 0=0十b2十1，关于b的方程没有实数解，所以不存在b使得圆C关于直线1对称，故A错误.圆心C到直线1的 距离d1≥2，当且仅当b=0时，等号成立：散B正确，当221时，直线1的方程为y=x十22. 因为圆心C到直线1的距离为2,2=2=，所以直线1与圆C相切，故C正确.因为r=2,所以当圆C上有三个 √2 点到直线1的距离为1时，圆心C到直线1的距离为1，即十1=1，所以6：=2-1，解得6=士√2-1，故D 2 正确.故选BCD 11.AD【解析】由椭圆和直线的对称性，设k>0,点A在x轴上方，椭圆的右焦点为F',如图.设A(xo,yo),则 B(-一，E0-故直线BE的斜率世--放A正确设Pm,0直线PA的斜 率为k直线PB的斜率为则kA·EP附一元，‘m十元，一m文因为点P和点A在椭圆C上，所以一一 号+号-10，号若-1@.0-@阳”- 1 m片76义=，所以骨所以心 1 A=-9,即k·k=所以直线PA与AB不垂直，即∠PAB不是直角故B错误联立椭圆C的方程 3√5 35 3√5k 、号十号1与直线1的方程y=x,解得一 ，则一x0= √/9k2+5 ,y0= ,所以△ABE的面 √/9k2+5 √9k2+5 积5AE=之×209k十59k+是29·及 1 45k 45 45 .5 2,当且仅当9k=5 一，即=时：等号成立，所以 3 面积的最大值是3同理，当k<0时，△ABE面积的最大值也是3故C错误如图，连接A 2026届高三年级1月联考数学答案第2页（共7页） C的左、右焦点分别为F(-2,0),F'(2,0),由椭圆的定义得|AF|十|AF'|=2a=6.又因为点A,B关于坐标原 点对称，所以|BF|=|AF'I,所以|AF|+|BF|=6.设|AF|=s,|BF|=t,s>0,t>0,则s十t=6,所以 +职+使+》6++》≥+2层·当且仅当华-即=4 4 1 t=2时，等号成立，故D正确.故选AD. 128【解析因为fx)=心1 所以fe)=lhe=1,f=e-t=,所以ffe)=是 In x,x>1, 18y=-3【解折1由题意知F3,0).设A,B:9,>0>0).则。-号-1.-1.两式 作老专写，化到中设P0则兰产所以 6 3 2 k=2因为km=,所以k=1,所以直线AB的斜截式方程为y=一3. 14.√33【解析】：AC=A1A+AC=A1A+AB+AD,∠BAA1=∠DAA1=60°，∠BAD=90°，.AB·AD= 0,∠AA1B1=∠AA1D1=120°，A1C12=A1C=(A1A+A店+AD)2=A,A2+AB+AD+2A,A· AB+2A1A·AD+2AB·AD=1A,A12+|AB12+|AD12+2A1AI|AB|cos120°+2AA1|AD1· cos120°.：AB=1,AD=2,A1C=3,AB|=1,|AD1=2,A1C1=3.代入上式，解得A1A=4. AC:=AA+AB+AD,..AC:=AC=(AA+AB+AD)*=AA+AB+AD*+2AAAB+ 2AA:.AD+2AB.AD=AA+AB+AD+2AAABI cos 60+2AAAD cos 60= 16+1+4+4+8=33,.|AC|=√33，即AC1=√33 15.解：(1)因为A(2,3),B(4,-1),C(7,2), 所以直线AB,AC的斜率分别为=-2e号二 ……4分 因为直线1经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足kAB≤k≤kC, 即一2≤≤一弓即直线1，的斜率的取值范围是[-2，-号] …………………6分 (2)由题意，得直线2的斜率存在，设为k',则k'<0. 因为直线l2过点A(2,3),所以直线L2的方程为y一3=k'(x一2). 令y=0,解得x=2 是：令x=0,解得y=3-2k,则P2-子.0Q0.3-26.…8分 3 所以1aP1Q1-图+·+T-+9]楼+ 2026届高三年级1月联考数学答案第3页（共7页） 6√6+2+2≥6./2 1 1 =6 17万·k2十2=12，………………10分 1 当且仅当2='，即'=一1时，等号成立，所以AP·AQ的最小值为12.…11分 此时直线l2的方程为x十y一5=0. ………13分 16.解：方法一：(1)设点O到平面ABC的距离为d. 因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OBC平面BOC,OCC平面BOC, 所以OA⊥平面BOC. 因为OB⊥OC,所以△AOB,△AOC,△BOC都是直角三角形，OA是三棱锥A一BOC的高 因为OA=OC=3,OB=2, 所以S△0-2X2×3=3,AB=BC-√2+3=V13,AC=√3+3=32， 所以S△ABC= 2×32x /(/13)2 3√2 317 ……4分 2 2 由等体积法，V三棱能O-ABC= 3SaAc·d= 3S△oe·OA,所以d= S△oBc·OA_3X36√/17 S△ABC 3/17 17 2 6√17 所以直线OB与平面ABC所成角的正弦值为OB 17 3√17 ………7分 2 17 (2)过点O作OD⊥BC于点D,连接AD(图略). 由(1)知，OA⊥平面BOC,又因为BCC平面BOC,ODC平面BOC,所以OA⊥BC,OA⊥OD.…9分 因为OD∩OA=A,ODC平面AOD,OAC平面AOD,所以BC⊥平面AOD.…10分 因为ADC平面AOD,所以BC⊥AD,所以∠ODA是二面角O一BC一A的平面角.…12分 在R1△BOC中，由等面积法及(1)中数据，得OD=OB·0C_2X3_63 BC /1313 所以在R△AOD中，tan∠ODA=OA-3=VI3 OD6√13 2 …15分 13 方法二：(1)因为OA,OB,OC两两垂直，所以以点O为坐标原点，OB,OC,OA所在的直线分别为x,y,x轴， 建立如图所示的空间直角坐标系。………1分 B x 因为OA=OC=3,OB=2,所以O(0,0,0),B(2,0,0),C(0,3,0),A(0,0,3).…3分 m·AB=0, 设平面ABC的法向量为m=(x,y,x),则 m·AC=0. 2026届高三年级1月联考数学答案第4页（共7页） 2x-3x=0, 因为AB=(2,0,-3),AC=(0,3,-3),所以 3y-3x=0. 令之=2，则x=3,y=2,所以m=(3,2,2).…7分 设直线OB与平面ABC所成的角为0，则sin0=|cos(OB,m)|. 因为OB=(2,0,0),所以sin0= |OB·m63/17 1oi1|m2×/1717 ……9分 (2)由(1)知，平面ABC的个法向量为m=(3,2,2).………………10分 OA=(0,0,3)是平面OBC的一个法向量.…11分 由题可知，二面角O一BC一A的平面角a是锐角， 所以cosa=|cos(OA,m)| 1OA·m 6 2√17 oAlm3×√/17 17· …13分 因为sina=√/1-cos2a=1- 217 =221 、17 17 √/221 所以ana=sinc 17 √1 cosa2√/17 ,即二商角0-BC-A的正切值是 2 …15分 17 17.解：(1)设动圆M的半径为R 由题意，圆C1与圆C2的标准方程分别为(x十3)2+y2=4和(x一3)2+y2=100, .C1(-3,0),半径r1=2,C2(3,0),半径r2=10.…2分 由题意得|MC1|=R+r1=R+2,MC2|=r2-R=10-R,∴.MC1|+1MC2=12>6=|CC21, ∴.由椭圆的定义，得圆心M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为12，焦距为6的椭圆.…………4分 在椭圆中，a=6,c=3,∴.b2=a2一c2=36一9=27， 圆心M的轨迹方程为写5十…………………………6分 (2有1)如，周线C即椭时后+若-1 由题意，点A1,A2是椭圆C的左、右顶点. ,直线A,P的斜率一定存在，设为大，则k≠0，且≠士直线AP的方程为y Q(0,6k).……………………………………………………7分 设P(xpyp), fr2 y2 由3627=1， 消去y,整理得(3+4k2)x2十48k2x+144k2一108=0. y=k(x+6), 144k2-108 18-24k2 由题意得一6.xp= 3十4k2.p= 3+4k2· …9分 点A到直载AP跑路2合PQ=1z6-241 3+4k 2026届高三年级1月联考数学答案第5页（共7页） 六5am专Pa1d-×18-2年Ex12-36楼3- 3+4k 3+4k2 …12分 √1+k :5auo2A,Flal=号×3x6k1=9k, :36k113一41=18k1,化简得213一421=3十42， 3+4k2 解得6：-或k Γ4· …14分 2996 当=时，-3，则A,P=时-- 2 当-时=-8，则1A,P川=十1-=层X33. 2 2 等上，A,P1的值为我3 ………15分 18解：1)函数/)-号+inx,其定义域为0，+∞， …………………2分 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0，十o∞)上单调递增；…4分 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=√2a,当x∈(0，√2a)时，f'(x)<0,当x∈(2a,+o∞)时，f'(x)>0, f(x)在(0，√2a)上单调递减，在(2a,十o∞)上单调递增.…6分 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0，√2a)上单调递减，在（√2a,十∞） 上单调递增。……………7分 ②由题意，g人）一em inr20即en之0…8分 :x∈[e,十o四)不等式可化为xhx之c,即eln之会c.…9分 设(x)=xe',则当x<0时，9(x)<0;当x=0时，p(x)=0;当x>0时，p(x)>0. g'(x)=(x+1)e,当x>-1时，p'(x)>0, (x)在(-1，十0∞)上单调递增.…11分 x∈[e,十o)ln>1phx≥ln≥是在[e,十eo)上恒成立. 即a≤x2lnx在[，十o∞)上恒成立.…l3分 设h(x)=x2lnx,x∈[e,+o∞)，则h'(x)=2xlnx+x=x(21nx+1)>0, ∴.h(x)在[e,十o∞)上单调递增， ………15分 ∴.h(x)mm=h(e)=e2,∴a≤e, 即实数a的取值范围是（一∞，e]. ………17分 2026届高三年级1月联考数学答案第6页（共7页） “由矩阵乘法的定义，得A·B= -6别 aa-6- ………………………4分 sa--0- …7分 [2a+c=2a+b, 26+d=a+b, 1b=c, A·B=B·A, 化简得 …8分 a+c=2c+d, la=b+d b+d=c+d, ,'ad-bc=1,.∴.(b+d)d-bc=1,即d2+bd-b2=1. …9分 a格 .a4+1=2ag十b①，bg+1=Qg十be②.…10分 ①A②，得a+入b=2a+b,+入a:+b,)=(2+A)a:+1+入)b:=2+入)a+2b, …12分 a=a-6 1十久，=2+，-3二5.数列a:十以6，是首项和公比均为35的等比数列.…14分 2 同理，数列{a十Xb:)是首项和公比均为3+5的等比数列. 2 +1,-a+5-5 …15分 解得5+5.6[-门 …17分 2026届高三年级1月联考数学答案第7页（共7页）2026届高三年级1月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A=(x∈Zx2+x一6<0)，B=(x|y=ln(1一x)》,则集合A∩B中的元素个 数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3+4i 2.已知i为虚数单位，z=+2则|z= A.5 B.√5 C.10 D.2√5 3若方程x ty? 5-m m+2 =1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是 A.(-2,5) B.(5,+) C.(-∞，-2)U(5,十∞) D.(-∞，-2) 4.在平面直角坐标系中，直线l1:2x+3y一1=0关于直线l:x一y十2=0对称的直线l:的 方程是 A.3x-2y+1=0 B.3x-2y-1=0 C.3x+2y-1=0 D.3.x+2y+1=0 5,在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若sinB(c一b)=(sinA十sinC)(c一 a),且AB·AC=4,则△ABC的面积为 B√5 C.2√5 D.2 2026届高三年级1月联考数学试题第1页（共4页） 6.函数f(x)=√3sin(wx十p)(w>0,0<p<π)的部分图象如图所示，△ABC是正三角形， 其中A,B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且OB=3OA,则f(0)十 f(1)+f(2)+…十f(2024)+f(2025)= B.√6 C.一√6 D.0 7已知E,E,是椭圆C:十岩a>b>0的左右焦点，点M为圆C上的一点，点N 在x轴上，满足∠F,MN=∠F,MN=60°，若MF+2MF2=LMN(L∈R),则椭圆C的 离心率为 A &哈 3 c 8.已知函数f(x)=e-er-2sin {2sin2普-若不等式了(xe-a)+f(-21nx 2x)≥0在(0，十o)上恒成立，则实数a的取值范围是 A.(-∞，2-2ln2] B.(-o,2+2ln2] C.(-∞，2ln2] D.(-∞，2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正项等比数列(an)的公比为q,前n项的积为S.若a3=1,S。=4096,则下列说法正 确的有 A.a3a6=土8 B.g=2 C.as=4 D.当Sn最小时，n=2 10.已知圆C:x2十y2=4,直线l:y=x十b2十1，b∈R,则下列结论正确的有 A.存在b使得圆C关于直线l对称 B.圆心到直线1的距离最小值为2 C.当b2=2√2-1时，直线l与圆C相切 D.存在b使得圆C上有三个点到直线l的距离为1 2026届高三年级1月联考数学试题第2页（共4页） 11.已知F为椭圆C:名十=1的左焦点，直线l:y=x(k≠0)与椭圆C交于A,B两 点，AE⊥x轴，垂足为E,直线BE与椭圆C的另一个交点为P,则下列结论正确的有 A.直线BE的斜率为2k B.∠PAB为直角 C.△ABE面积的最大值为√2 D,A可十B可的最小值为号 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=(e2,x≤1， 则f(f(e)= In z,x>1, 双曲线C:。一？=1中，过右焦点F的宜线与双曲线C同一支交于不同的两 B,线段AB的中点为P.若直线OP的斜率为2，则直线AB的斜截式方程为 14.在平行六面体ABCD一A1B,C1D,中，∠BAA1=∠DAA1=60°，∠BAD=90°.若AB= 1,AD=2,A,C=3,则AC1= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)已知平面内三点A(2,3),B(4,一1)，C(7,2). (1)若直线L,经过点A且与线段BC有交点，求直线l,的斜率的取值范围； (2)若直线l2经过点A,且与x,y轴的正半轴分别交于P,Q两点，求|AP|·|AQ|的 最小值及此时12的方程. 16.(15分)如图，在三棱锥O一ABC中，OA,OB,OC两两垂直，OA=OC=3,OB=2. (1)求直线OB与平面ABC所成角的正弦值； (2)求二面角O一BC一A的正切值. 2026届高三年级1月联考数学试题第3页（共4页） 17.(15分)已知一动圆的圆心为M,该动圆与圆C1:x2十y2+6x十5=0外切，同时与圆 C2:x2+y2-6x一91=0内切. (1)求该动圆圆心M的轨迹方程； (2)设圆心M的轨迹为曲线C,点P在曲线C上（异于顶点），A1(-6,0),A2(6,0),F(一3， 0),直线A,P交y轴于点Q,若△A2PQ的面积是△A1FQ的面积的两倍，求|A1P|的值. 18.(17分)已知函数fx)=是+1nx. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设gx)=fx)-ln工，若对任意x∈[e,十o,er1nx一g(x)≥0恒成立，求实 数a的取值范围. (a b 19.(17分)我们把形如 的数学对象称作一个2×2矩阵.定义矩阵乘法： c d d, a1a2十b1c2 a1b2+bid2 2 C2 ciaz+dicz c1b2+ddz 已知矩阵A=11 (1)若矩阵B= 1) ,计算A·B和B·A. 10 a (2)若矩阵B= ,其中abc,d都是正整数，且满足A·B=B·A和ad-c= c d) 1,证明：d2+bd-b2=1. (3)现定义：A+1=A·A,其中A= 利用以上定义， 写出数列a,)与6，间的递推关系式记，=二1,5，A,=二15为方程A十X 2 1=0的两个根，利用数列(aa十入1ba)和(a4十入2ba),求数列(a),(ba)的通项公式. 2026届高三年级1月联考数学试題第4页（共4页）