第20章 专题5 利用勾股定理解决最值或最短路径问题-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级下册第二十章勾股定理，以专题形式深入讲解利用勾股定理解决最值或最短路径问题，通过回顾勾股定理基本应用搭建学习支架，引导学生从基础计算过渡到实际问题中的路径优化。 其亮点在于通过分层练透教材与多重拓展培优设计，结合几何直观与推理能力，引导学生在最短路径等实际问题中抽象空间形式与数量关系。采用专题聚焦与分层训练结合的教学方法，学生能提升数学应用意识，教师可借助同步练测实现精准教学。

八年级数学 下册 第二十章 勾股定理 专题5　利用勾股定理解决最值或最短路径问题 C A C 10 50 平面图形上的最短路径问题　　 模型 图例 基本策略 模型一 确定动点P所在的直线；利用对称性，将同侧的A，B两点转化为异侧两点A′，B，则最短路径即为线段A′B；常构造直角三角形(Rt△CBA′)，利用勾股定理求解 模型 图例 基本策略 模型二 利用“垂线段最短”确定最短路径；构造直角三角形，利用勾股定理求解 如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E，P分别是线段AC，AD上的一个动点，已知AB＝2，AD＝ eq \r(3)，则PE＋PC的最小值是__． 1题图 eq \r(3) 如图，高速公路MN的同一侧有A，B两个城镇，它们到高速公路的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，且A′B′＝8 km.现要在高速公路上的A′，B′之间建一个出口P，使A，B两个城镇到出口P的距离之和最小，求AP＋PB的最小值． 2题图 解：如答图所示，作点A关于直线MN的对称点C，连接CB交直线MN于点P，此时AP＋PB的值最小，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D. 2题答图 ∵AA′＝2 km，BB′＝4 km， A′B′＝8 km， ∴AC＝4 km，CD＝6 km，BD＝8 km. 在Rt△CDB中，CB2＝CD2＋BD2＝62＋82＝100， ∴CB＝10 km，∴AP＋PB的最小值为10 km. 几何体中的最短路径问题　　 几何体中最短路径基本模型如下： 类型 图例 圆柱 类型 图例 长方体 阶梯 问题 类型 图例 基本 思路 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解 如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬( ) A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm 3题图 如图，圆柱形容器的底面周长是24 cm，高为17 cm，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长是( ) 4题图 A．20 cm B．8 eq \r(3) cm C． eq \r(433) cm D．24 cm 如图，有一个长、宽各为2 dm，高为3 dm且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为( ) 5题图 A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm 如图，圆柱形玻璃杯的高为5 cm，底面周长为12 cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与蜂蜜相对的点A处，点A距离杯上沿3 cm，则蚂蚁从外壁点A处爬行到内壁点B处的最短路程是____cm.(杯壁厚度不计) 6题图 (山西太原期中)包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图①，创意DIY小组的同学将一个10 cm×30 cm×40 cm的长方体纸箱裁去一部分(粗虚线为裁剪线)，得到如图②所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距离为____cm. 　　7题图①　　　　　　7题图② 一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为4 m的半圆，其边缘AB＝CD＝18 m，点E在CD上，CE＝2 m．一滑板爱好者从A点滑到E点，再从E点滑到B点，则他滑行的最短路程是多少？(边缘部分的厚度忽略不计，π取3) 8题图 解：如答图，把半圆柱体展开． 由题意可知AD＝πr＝4π≈12(m)， CE＝2 m，DE＝18－2＝16(m). 在Rt△ADE中， AE＝ eq \r(DE2＋AD2)＝ eq \r(162＋122)＝20(m). 8题答图 在Rt△BCE中， BE＝ eq \r(CE2＋BC2)＝ eq \r(22＋122)＝2 eq \r(37)(m)， 所以AE＋BE＝(20＋2 eq \r(37))m. 答：他滑行的最短距离是(20＋2 eq \r(37))m. 如图，长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm. (1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则路程最短的是多少？ (2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？ 9题图 解：(1)将长方体的前侧面和右侧面展开在同一平面，连接CD，如答图①，沿DC爬行路程最短． ∵长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm， ∴AD＝DE＋AE＝20 cm，AC＝ eq \f(1,2)AB＝15 cm. 9题答图① 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得CD＝ eq \r(AD2＋AC2)＝ eq \r(202＋152)＝25(cm)， 故最短路程是25 cm. (2)如答图②，连接AG，BG. 在Rt△BFG中，GF＝12 cm，BF＝8 cm， 由勾股定理，得GB＝ eq \r(GF2＋BF2)＝ eq \r(122＋82) ＝4 eq \r(13)(cm). 9题答图② 在Rt△AGB中，GB＝4 eq \r(13) cm，AB＝30 cm， 由勾股定理，得AG＝ eq \r(AB2＋GB2) ＝ eq \r(302＋（4\r(13)）2)＝2 eq \r(277)(cm)， 故能放入木棒的最大长度是2 eq \r(277) cm. 如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm. (1)点A1到点C2之间的距离是多少？ (2)若一只蚂蚁从长方体的表面点A2爬到点C1，则爬行的最短路程是多少？ 10题图 解：(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm， 宽为1 cm， ∴A2C2＝ eq \r(42＋12)＝ eq \r(17)(cm)， ∴A1C2＝ eq \r(52＋（\r(17)）2)＝ eq \r(42)(cm). (2)如答图①所示，A2C1＝ eq \r(（1＋4）2＋52)＝5 eq \r(2)(cm)； 如答图②所示，A2C1＝ eq \r(（4＋5）2＋12)＝ eq \r(82)(cm)； 如答图③所示，A2C1＝ eq \r(（1＋5）2＋42)＝2 eq \r(13)(cm). ∵5 eq \r(2)<2 eq \r(13)< eq \r(82)，∴爬行的最短路程是5 eq \r(2) cm. 10题答图① 10题答图② 10题答图③ $