第1章 三角形的证明（考点梳理对点练）-【千里马·单元测试卷】2025-2026学年八年级下册数学(北师大版·新教材)

第一章三角形的证明及其应用 + 第一章 三角形的证明及其应用 考点1三角形内角和定理 ⊙建议用时：25分钟答案P25 考点梳理 A.48° B.54° C.62 D.72° 1.三角形内角和定理T5,T11,T12,T13 2.三角形内角和定理的推论T1,T2,T3,T8,9,T13 3.多边形的内角和与外角和定理T4,T6,T7, .T10,T14 B E 10°-- 1.如图，∠A=40°，∠CBD是△ABC的外角， 6题图 7题图 ∠CBD=120°，则∠C的大小是 7.小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这 A.90° B.80° C.60° D.40° 样一道题：如图，假如你从点A出发，沿直线走 10m后向左转0°，接着沿直线走10m后，再 D 向左转°，…如此下去，当你第一次回到点A 时，发现自己走了100m,则0的值为() A.36 B.40 C.45D.60 8.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=50°， 1题图 2题图 且AD是△ABC的角平分线，则∠ADC= 2.如图，已知直线1，l2,l两两相交，且1⊥13，若 a=50°，则B的度数为 A.120°B.130° C.140° D.150° 3.如图，∠A,∠1，∠2的大小关系是 ( A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 8题图 9题图 9.如图，∠A=35°，∠B=45°，∠D=25°，则 D ∠BCD的度数为 10.“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林的窗棂（如 图①)中蕴含着许多的数学元素.如图②是某 3题图 5题图 个窗棂中的部分图案，若∠1=∠2=75°，∠3 4.已知一个多边形的内角和是720°，则这个多边 =∠4=65°，则∠5= 形是 A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 5.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线 BE,CD相交于点F,∠ABC=42°，∠A=60°， 则∠BFC等于 10题图 11题图 A.118° B.119°C.120° D.121° 11.填空： 6.将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆 已知：如图，AC,BD相交于点O. 放，公共顶点为D,且正六边形的边AB与正五 求证：∠A+∠B=∠C+∠D. 边形的边EF在同一条直线上，则∠BDE的度 证明：：∠A+∠B+∠1=180°( 数是 单元测试卷·八年级数学·北师版·下册 ∴.∠A+∠B=180°-∠ (等式性质)： 14.阅读小明和小红的对话，解决下列问题： 同理可得∠C+∠D=180°-∠ (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可 又.∠1=∠2( 能是1470°”的理由； ∴.∠A+∠B=∠C+∠D(等量代换) (2)求该多边形的内角和； 12.如图，CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C.求证： (3)若这是个正多边形，求该正多边形的一个 AB⊥CD. 内角比一个外角大多少 我把一个多边形的各内角 相加，得到的和为1470° 小红 B 多边形的内角和不可能是1470°， 12题图 我看你的过程，你多加了一个锐角 小明 14题图 13.如图，在△ABC中，∠A=72°，∠BCD=31°， CD平分∠ACB. (1)求∠B的度数； (2)求∠ADC的度数 D B 13题图 一2 第一章」 三角形的证明及其应用补 考点2等腰三角形（含30°角的直角三角形） ⊙建议用时：20分钟答案P25 考点梳理： 5.如图，在等边△ABC中，D,E分别是AB,AC上的 1.等腰三角形的判定与性质T1,T4,T8 点，且AD=CE,则∠BCD+∠CBE= 2.等边三角形的判定与性质T5,T6,T7 3.含30°角的直角三角形的性质T2,T4 4.反证法T3 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，D是AC D 上一点，若∠BDC=72°，则等腰三角形有 5题图 6题图 () 6.如图，已知△ABC是等边三角形，点B,C,D,E A.1个B.2个 C.3个 D.4个 在同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则∠E的 度数为 7.如图，在等边△ABC中，D为BC边的中点，过 点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. (1)求证：DE=DF; (2)若BE=5,求△ABC的周长， 1题图 2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高， ∠A=30°，BD=2cm,则AB的长为（) A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 3.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有 D 7题图 一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形 中 A.两锐角都大于45° 8.如图，在△ABC中，AB=AC,D为CA延长线上 B.有一个锐角小于45° 一点，DE⊥BC于点E,交AB于点F,若AF= C.有一个锐角大于45° BF.求证： D.两锐角都小于45° (1)△ADF是等腰三角形； 4.跨学科由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服 (2)DF=2EF. 的时候不太方便操作，小明设计了一种衣架， 在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即 可.如图①，衣架杆OA=OB=20cm,若衣架收 拢时，∠AOB=60°，如图②，则此时A,B两点 之间的距离是 8题图 4题图① 4题图② A.10 cm B.20 cm C.25 cm D.40 cm 3 需单元测试卷·八年级数学·北师版·下册 考点3 直角三角形 ⊙建议用时：20分钟答案P25 考点梳理… 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,点D在 1.直角三角形的性质与判定T2,T4,T5,T6,T7,9 BC上，∠ADC=2∠B,AD=√5，则BC的长为 2.直角三角形全等的判定T1,T8 3.命题定理3 1.(陕西汉中期中)如图，BE⊥AC于点E,CF⊥ AB于点F,若BE=CF,则Rt△BCF≌Rt△CBE 的理由是 ( B 6题图 7题图 7.如图，ABCD是长方形地面，AB=10m,AD= 5m,中间竖有一堵砖墙，高MN=1m,一只蚂 蚁从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵墙， 1题图 则它至少要走的路程为 A.AAS B.HL C.SAS D.ASA 8.（广西河地期中)如图，AD是△ABC的角平分 2.在△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B,则∠B的 线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高. 度数为 求证：Rt△ADE≌Rt△ADF A.20° B.30° C.40° D.50° 3.下列命题的逆命题成立的是 A.两直线平行，同位角相等 B.如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 D C.全等三角形的对应角相等 8题图 D.对顶角相等 4.新情境如图，小华想测量距离自己20m处的 楼的高度，他站在原地仰望楼顶，仰角恰好为 9.如图，∠ADC=90°，AD=16cm,CD=12cm, 60°.已知小华的身高为1.75m,则楼的高度 AB=29 cm,BC=21 cm. (√3≈1.732，保留整数)大约为 (1)求AC的长度； (2)求阴影部分的面积 日.604 4题图 A.33m B.36mC.42m D.51m 5.下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的 9题图 是 () A.a:b:c=1:V3:2 B.a=9k,b=40k,c=41k(k>0) C.∠A:∠B:∠C=1:4:5 D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 第一章三角形的证明及其应用 考点4线段的垂直平分线 ⊙建议用时：20分钟答案25 考点梳理 5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点 1.线段垂直平分线的性质T1,T2,T3,T7 E,DF⊥AC于点F,BE=CF,求证：AD是BC 2.线段垂直平分线的判定T3,T4,T5 的垂直平分线， 3.线段垂直平分线的画法3，T6 1.如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线交边 AC于点E,交边AB于点D,若AC长为8cm, BE长为6cm,则EC的长为 D A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1cm 5题图 6.如图，A,B,C为三个景点，连接各景点的有 AB,BC,AC三条小路，现计划在三个景点围成 的三角形区域内建立一个纪念品商店，要求商 1题图 2题图 店与观景点B和观景点C的距离相等，且到小 2.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN 路AB,BC的距离也相等，请你确定纪念品商 分别交AB,BC于点M,N,且M,N分别在PA, 店的位置.（保留作图痕迹，不写作法） PC的垂直平分线上.若∠ABC=80°，则∠APC 的度数为 A.120° B.125° C.130° D.135 3.如图，在△ABC中，AB=AC,分别以点A,B为 6题图 7.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线I1交BC 圆心，以大于2AB的长为半径画弧，两弧交点 于点D,AC边的垂直平分线2交BC于点E,L 的连线交AC于点D,交AB于点E,连接BD. 与L2相交于点0，连接OA,OB,OC,AD,AE. 若∠A=50°，则BDC= (1)若△ADE的周长为6cm,△OBC的周长为 A.100° B.50° C.25° D.15° 16cm. ①求线段BC的长； ②求线段0A的长； (2)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数. 0 3题图 4题图 4.如图，直线I与线段AB交于点O,点P在直线 I上，且PA=PB,则下列结论：①AO=BO; ②PO⊥AB;③∠APO=∠BPO;④点P在线段 7题图 AB的垂直平分线上.正确的有 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 -5 需单元测试卷·八年级数学·北师版·下册 考点5 角平分线 --C--LE ⊙建议用时：25分钟答案P26 考点梳理 5.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平 1.角平分线的性质T1,T2,T5,T6,T7,T10,T12 分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若 T13 DE=1,则BC的长为 () 2.角平分线的判定T3,T8,T9,T13 3.尽规作角平分线4，T11 A.3 B.2+√3 1.如图，如果点M在∠ANB的平分线上，AM1 C.√3+2 D.2+2 AN,BM⊥BN,那么和AM一定相等的线段是 ( A.BM B.BN C.MN D.AN 5题图 6题图 6.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3,连 接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边 1题图 2题图 2.如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC 上一动点，则DP长的最小值为 () 上，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,若PD= A.1 B.6 C.3 D.12 3,则PE的长为 7.如图，P是△ABC的三条内角平分线的交点， A.2 B.3 C.4 D.5 若△PAB,△PBC,△PAC的面积分别为S1,S2, 3.三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在 S,则 () 这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集 贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市 场应建在 A.三角形的三条角平分线的交点处 B.三角形的三条中线的交点处 C.三角形的三条高的交点处 7题图 D.以上位置都不对 A.S1<S2+S3 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠B=25°， 以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AB,AC B.S1=S2+S3 C.S>S2 +Sg 于点M,N,再分别以M,N为圆心，大于号MN D.无法确定S1与(S2+S3)的大小 为半径画弧，交于点P,作射线AP交BC于点 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E, D,则∠ADC的度数为 () CD=DE,若∠CBD=31°，则∠A= 4题图 C.57.5°D.60.5° 8题图 A.50° B.55 —6 第一章三角形的证明及其应用 9.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中：12.如图，AD∥BC,∠D=90°，∠DAB的平分线与 点，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE ∠ABC的平分线相交于点P,且点D,P,C在 =DF=3,则线段BE的长为 同一条直线上，∠CPB=30°. (1)求∠PAD的度数； D (2)求证：P是线段CD的中点， 9题图 10题图 10.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与 ∠BAC的平分线相交于点D,垂足为P,连接 12题图 BD,CD.若∠BAC=84°，则∠BDC= 11.如图，在△ABC中，∠C=90° (1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D 13.如图①是一个平分角的仪器，其中0D=0E, （尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字 FD =FE. 母，不用写作法和证明)； (1)如图②，将仪器放置在△ABC上，使点O (2)若CD=3,AB+BC=16,求△ABC的面积 与顶点A重合，D,E分别在边AB,AC上， B 沿AF画一条射线AP,交BC于点P,则 AP是∠BAC的平分线吗？请说明理由； (2)如图③，在(1)的前提下，过点P作PQ1 AB于点Q,已知PQ=4,AC=7,△ABC的 11题图 面积是32，求AB的长 A0) D D 13题图① 13题图② 13题图③参芳答 第一章三角形的证明及其应用 考点1三角形内角和定理 1.B2.C3.B4.B5.C6.A7.A 8.659.105°10.80 11.三角形的内角和等于180°12对顶角相等 12.证明：CE⊥AD,∴.∠CED=90°，∴.∠C+∠D=90° ∠A=LC,.∠A+∠D=90°， .∠ABD=90°，∴.AB⊥CD 13.解：(1).·CD平分∠ACB,∠BCD=31°， .∠ACD=∠BCD=31°，.∠ACB=62 在△ABC中，∠A=72°，∠ACB=62°， .∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-72°-62°=46°. (2)在△ACD中， ∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-72°-31°=77° 14.解：(1)设多边形的边数为n,则180°×（n-2)= 1470,解得n=10 6 n为正整数，∴.多边形的内角和不可能为1470°， (2)由题意可知，该多边形的边数为10，该多边形的内 角和为180°×(10-2)=1440°. (3)1440°÷10-360°÷10=144°-36°=108°. 答：该正多边形的一个内角比一个外角大108° 考点2等腰三角形（含30°角的直角三角形） 1.C2.C3.A4.B5.606.15° 7.（1)证明：.DE⊥AB,DF⊥AC, .∠BED=∠CFD=90. 在等边△ABC中，AB=AC,∴.∠B=∠C. D是BC的中点，.BD=CD r∠BED=∠CFD, 在△BED和△CFD中，{∠B=∠C, BD =CD, .∴.△BED≌△CFD(AAS), .DE=DF. (2)解：△ABC为等边三角形，∴.∠B=60° ·∠BED=90°， ∠BDE=30°，BE=B0. BE=5,.BD=10, .BC=2BD=20,∴.△ABC的周长为60， 8.证明：(1)AB=AC,.∠B=∠C .·DE⊥BC,∴.∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90°， .∴.∠D=∠BFE. ·∠BFE=∠DFA,.∠D=∠DA,∴.AD=AF, .∴.△ADF是等腰三角形. (2)如答图，过点A作AH⊥DE于点H. DE⊥BC, -2 参考答案及解析 案及解析 .∠AHF=∠BEF=90. D 8题答图 由(1)知AD=AF,∴.DH=HF. 在△AFH和△BFE中， r∠AHF=∠BEF, ∠AFH=∠BFE, LAF =BF, .∴.△AFH≌△BFE(AAS), ∴.HF=EF,∴DH=HF=EF, .∴.DF=2EF. 考点3直角三角形 1.B2.B3.A4.B5.D 6.√5+17.13m 8.证明：.DE,DF分别是△ABD和△ACD的高， .DE⊥AE,DF⊥AC,∴.∠DEA=∠DFA=90 又AD是△ABC的角平分线，DE=DF 在△405和△0P中，份加 .∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL). 9.解：(1)∠ADC=90°，AD=16cm,CD=12cm, .AC=√/AD2+CD=√/162+122=20(cm), .AC的长度为20cm. (2).AB=29 cm,BC=21 cm,AC=20 cm, 202+212=841,292=841, ∴.AC2+BC2=AB2, ∴.△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， Sne0=SAe-Sa=2AC·BC-之A0,CD =7×20x21-分x16x12=14(cm), ∴.阴影部分的面积为114cm2. 考点4线段的垂直平分线 1.C2.C3.A4.A 5.证明：AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF,∠BED=∠CFD=90°. DE =DF. 在Rt△BED和Rt△CFD中 ∠BED=∠CFD, LBE=CF. ∴.Rt△BED≌Rt△CFD(SAS),∴.∠B=∠C,∴.AB=AC AD是△ABC的角平分线，.AD是BC的垂直平分线. 需单元测试卷·八年级数学·北师版·下册 6.解：如答图，点P即为所求作的纪念品商店位置. A B 6题答图 7.解：(1)①1是AB边的垂直平分线， .DA =DB. 2是AC边的垂直平分线， .EA EC, .BC=BD+DE +EC=DA+DE +EA=6 cm. ②1是AB边的垂直平分线， ∴.OA=OB. 2是AC边的垂直平分线， .OA =OC...OB=OC. ..OB+OC+BC=16 cm,BC=6 cm, ∴.OA=OB=0C=5cm. (2)∠BAC=120°， .∠ABC+∠ACB=60° .·DA=DB,EA=EC, .∴.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB, .:.∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC=120°-60°=60°. 考点5角平分线 1.A2.B3.A4.C5.D6.C 7.A[解析]如答图，过点P作PD⊥AB于，点D,PE⊥AC 于，点E,PF⊥BC于点F.P是△ABC的三条内角平分 线的交点，PD=PE=PF.S1= C 2AB·PD,S=2BC·PE,S= E P 24C,PE,+S=2(4C+ BC)·PD.AB<AC+BC,A D 2AB·PD<2(AC+BC)·PD, 7题答图 ..S<S2+S3. 8.28°9.310.96° 11.解：(1)∠ABC的平分线如答图中BD所示. 小 D 11题答图 (2)如答图，过点D作DH⊥AB于点H. BD平分∠ABC,DC⊥BC,DH⊥AB, .CD=DH=3, △ABC的面积=Saa+Sum=2 BCxCD+2AB× DH=7×3Bc+7×3AB=分x3(BC+AB)=7 1 3×16=24. 12.(1)解：AD∥BC,∠D=90°， ∴.∠C=180°-∠D=90. -2 .∠CPB=30°， ∴.∠PBC=90°-∠CPB=60°. :BP平分∠ABC, .∠ABC=2∠PBC=120°. AD∥BC, ∴.∠DAB+∠ABC=180°， .∠DAB=180°-∠ABC=60°. AP平分∠DAB, LPAD=7∠DMB=30e (2)证明：过点P作PE⊥AB于点E. AP平分∠DAB,∠D=90°， .PE =PD. BP平分∠ABC,∠C=90°， .PE=PC, .PD=PC, ∴.P是线段CD的中点. 13.解：(1)AP是∠BAC的平分线. 理由如下：OD=OE,FD=FE,AF=AF, .△ADF≌△AEF,.∠DAF=∠EAF, ∴.AP是∠BAC的平分线. (2)如答图，过点P作PG⊥AC于点G. A(O) D第 0 E 米F G B P C 13题答图 AP平分∠BAC,PQ⊥AB,PG⊥AC, .PG=PO=4. :SAe=S6m+Sae=方AB·P0+74C,PG= 32,AC=7,.AB=9. 第二章不等式与不等式组 考点6一元一次不等式（组） 1.B2.D3.A4.B5.D6.B7.D8.D 9.310.m<311.m>3 5 12.(1)去分母，得3x-6≤4x-3. 移项，得3x-4x≤-3+6. 合并同类项，得-x≤3. 两边都除以-1，得x≥-3. 解集在数轴上表示如答图①. -5-4-3-2-1012345 12题答图① (2)解不等式①，得x>1,解不等式②，得x≤4， 所以这个不等式组的解集是1<x≤4. 将不等式组的解集在数轴上表示如答图②， -1012345 12题答图②