第20章 专题5 利用勾股定理解决最值或最短路径问题-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（人教版·新教材）

该教案聚焦平面与几何体中的最短路径问题，通过归纳平面图形（对称转化、垂线段最短）和几何体（展开平面）模型，结合勾股定理、图形对称性等前序知识，搭建从具体实例到抽象方法的学习支架。 以生活情境例题（如高速公路出口、壁虎爬台阶）为载体，通过对称转化、立体展开策略培养几何直观与空间观念（数学眼光），构造直角三角形用勾股定理强化推理能力（数学思维），模型化表达提升应用意识（数学语言），助力学生掌握转化思想，为教师提供结构化教学资源。

平面图形上的最短路径问题　　 模型 图例 基本策略 模型一 确定动点P所在的直线；利用对称性，将同侧的A，B两点转化为异侧两点A′，B，则最短路径即为线段A′B；常构造直角三角形(Rt△CBA′)，利用勾股定理求解 模型二 利用“垂线段最短”确定最短路径；构造直角三角形，利用勾股定理求解 如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E，P分别是线段AC，AD上的一个动点，已知AB＝2，AD＝，则PE＋PC的最小值是． 1题图 如图，高速公路MN的同一侧有A，B两个城镇，它们到高速公路的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，且A′B′＝8 km.现要在高速公路上的A′，B′之间建一个出口P，使A，B两个城镇到出口P的距离之和最小，求AP＋PB的最小值． 2题图 解：如答图所示，作点A关于直线MN的对称点C，连接CB交直线MN于点P，此时AP＋PB的值最小，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D. 2题答图 ∵AA′＝2 km，BB′＝4 km， A′B′＝8 km， ∴AC＝4 km，CD＝6 km，BD＝8 km. 在Rt△CDB中，CB2＝CD2＋BD2＝62＋82＝100， ∴CB＝10 km，∴AP＋PB的最小值为10 km. 几何体中的最短路径问题　　 几何体中最短路径基本模型如下： 类型 图例 圆柱 长方体 阶梯 问题 基本 思路 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解 如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬(C) A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm 3题图 　　　 如图，圆柱形容器的底面周长是24 cm，高为17 cm，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长是(A) 4题图 A．20 cm B．8 cm C． cm D．24 cm 如图，有一个长、宽各为2 dm，高为3 dm且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为(C) 5题图 A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm 如图，圆柱形玻璃杯的高为5 cm，底面周长为12 cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与蜂蜜相对的点A处，点A距离杯上沿3 cm，则蚂蚁从外壁点A处爬行到内壁点B处的最短路程是10cm.(杯壁厚度不计) 6题图 (山西太原期中)包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图①，创意DIY小组的同学将一个10 cm×30 cm×40 cm的长方体纸箱裁去一部分(粗虚线为裁剪线)，得到如图②所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距离为50cm. 　　7题图①　　　　　　7题图② 一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为4 m的半圆，其边缘AB＝CD＝18 m，点E在CD上，CE＝2 m．一滑板爱好者从A点滑到E点，再从E点滑到B点，则他滑行的最短路程是多少？(边缘部分的厚度忽略不计，π取3) 8题图 解：如答图，把半圆柱体展开． 由题意可知AD＝πr＝4π≈12(m)， CE＝2 m，DE＝18－2＝16(m). 在Rt△ADE中， AE＝＝＝20(m). 8题答图 在Rt△BCE中， BE＝＝＝2(m)， 所以AE＋BE＝(20＋2)m. 答：他滑行的最短距离是(20＋2)m. 如图，长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm. (1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则路程最短的是多少？ (2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？ 9题图 解：(1)将长方体的前侧面和右侧面展开在同一平面，连接CD，如答图①，沿DC爬行路程最短． ∵长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm， ∴AD＝DE＋AE＝20 cm，AC＝AB＝15 cm. 9题答图① 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得CD＝＝＝25(cm)， 故最短路程是25 cm. (2)如答图②，连接AG，BG. 在Rt△BFG中，GF＝12 cm，BF＝8 cm， 由勾股定理，得GB＝＝ ＝4(cm). 9题答图② 在Rt△AGB中，GB＝4 cm，AB＝30 cm， 由勾股定理，得AG＝ ＝＝2(cm)， 故能放入木棒的最大长度是2 cm. 如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm. (1)点A1到点C2之间的距离是多少？ (2)若一只蚂蚁从长方体的表面点A2爬到点C1，则爬行的最短路程是多少？ 10题图 解：(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm， 宽为1 cm， ∴A2C2＝＝(cm)， ∴A1C2＝＝(cm). (2)如答图①所示，A2C1＝＝5(cm)； 如答图②所示，A2C1＝＝(cm)； 如答图③所示，A2C1＝＝2(cm). ∵5<2<，∴爬行的最短路程是5 cm. 10题答图① 　 10题答图② 　 10题答图③ 学科网（北京）股份有限公司 $