第20章 专题4 利用勾股定理解决折叠问题-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（人教版·新教材）

该教案聚焦几何折叠问题核心知识点，通过折痕过顶点、过两顶点、不过顶点三类模型，梳理全等关系与勾股定理应用，课堂导入结合模型图与结论，连接全等三角形和勾股定理，搭建从具体模型到解题方法的学习支架。 特色在于以模型化教学整合折叠问题，通过分类模型培养数学眼光（几何直观），解题思路强调对称性与方程思想发展数学思维（推理、运算），实战演练如直角三角形翻折、长方形折叠等题目强化模型意识。帮助学生提升空间观念和问题解决能力，为教师提供结构化资源，提高课堂效率。

模型类别 模型图 模型结论 折痕过图 形的一个 顶点 △ADE≌△ADB， DE＝DB. 在Rt△CDE中， DE2＋CE2＝CD2 折痕过图 形的两个 顶点 △AB′F≌△CDF， AF＝CF. 在Rt△CDF中， CD2＋DF2＝CF2 折痕不过 图形的 顶点 AE＝CE＝AF， D′F＝DF＝BE. 在Rt△ABE中， AB2＋BE2＝AE2. 在Rt△AD′F中， AD′2＋D′F2＝AF2 解题思路： (1)解决折叠问题的关键是抓住对称性； (2)求线段长时，可利用勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思想分析和解决问题． ►实战演练 (北京海淀区期中)如图，有一块直角三角形纸片，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将斜边AB翻折，使点A落在直角边BC延长线上的点D处，折痕为BE，则CD的长为(B) A．1 B．2 C．3 D．4 1题图 　　 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E分别在AC，BC边上，且DE∥AB.将△ABC沿DE折叠，使点C落在斜边AB上的点F处，则AF的长是(A) 2题图 A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 (云南昆明期中)把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E，F两点均在BD上)，折痕分别为BH，DG.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则线段FG的长为3 cm． 3题图 　　　 如图，把长方形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E.若AB＝3，BC＝6，则DE的长为． 4题图 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中点，E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠后得到△C′DE，连接AC′.当△AEC′是直角三角形时，CE的长为或5． 5题图 如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连接EF. (1)求证：DF＝GF； (2)若AB＝6，BC2＝96，求DF的长． 6题图 (1)证明：由折叠的性质可知∠A＝∠EGB＝90°，AE＝EG. ∵E是AD的中点，∴AE＝EG＝DE. 在Rt△EGF和Rt△EDF中， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL)，∴DF＝GF. (2)解：设DF＝x，则GF＝x，BF＝6＋x，CF＝6－x. 在Rt△BFC中，BF2＝CF2＋BC2， 即(6＋x)2＝(6－x)2＋96，解得x＝4， ∴DF的长为4. 学科网（北京）股份有限公司 $