第1章 专题2 构造等腰三角形的常用方法-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版·新教材）

该教案聚焦初中几何辅助线构造核心知识，通过“三线合一”“作平行线”“倍长中线”“截长补短”四种典型方法，衔接等腰三角形性质、全等三角形判定等前置知识，搭建从基础到复杂几何问题的学习支架。 资料以具体例题为载体，通过构造辅助线培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），逻辑推理证明过程强化推理能力（数学思维），规范符号表达提升数学语言运用。如倍长中线法延长AD至G构造全等，助力学生掌握辅助线技巧，提升解题能力，为教师提供系统教学案例，优化课堂效率。

[答案　P4] 构造“三线合一”图形　 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF. 求证：(1)ED＝DF； (2)ED⊥DF. 1题图 证明：(1)如答图，连接AD. ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C. 又∵∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， 1题答图 ∴AD＝BD. 在△BED和△AFD中， ∴△BED≌△AFD(SAS)，∴ED＝FD. (2)∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF， ∴∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°， ∴∠EDF＝90°，∴ED⊥DF. 作平行线构造等腰三角形　 如图，在等边三角形ABC中，D为边AC的延长线上一点，延长BC至点E，使CE＝AD，DG⊥BC于点G.求证：BG＝EG. 2题图 证明：如答图，过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F. ∵△ABC是等边三角形，DF∥BC， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°， ∴△ADF是等边三角形， ∴AD＝DF＝AF，∴CD＝BF，FD＝CE. 在△BFD和△DCE中， ∴△BFD≌△DCE(SAS)，∴DB＝DE. 又∵DG⊥BC，∴BG＝EG. 2题答图 倍长中线法构造等腰三角形　 如图，在△ABC中，AD是边BC的中线，E是AC上一点，BE交AD于点F.若AE＝EF，求证：BF＝AC. 3题图 证明：如答图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG. 在△BDG和△CDA中， 3题答图 ∴△BDG≌△CDA(SAS)， ∴BG＝AC，∠G＝∠CAD. ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE. 又∵∠BFG＝∠AFE， ∴∠CAD＝∠BFG， ∴∠G＝∠BFG， ∴BF＝BG， ∴BF＝AC. 截长补短法构造等腰三角形　 (山西晋中期中)徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB＋BD＝AC. 4题图① 　　 4题图② 4题图③ 小敏的证明思路：在AC上截取AE＝AB，连接DE.(如图②) 小洁的证明思路：延长CB至点E，使BE＝AB，连接AE.(如图③) 请你任意选择一种思路完成证明． 证明：小敏的证明思路：如答图①， 在AC上截取AE＝AB，连接DE. 4题答图① ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠EAD. 在△ABD和△AED中， ∴△ABD≌△AED(SAS)，∴BD＝DE，∠B＝∠AED. ∵∠AED＝∠EDC＋∠C，∠B＝2∠C，∴∠EDC＝∠C， ∴DE＝EC，∴AB＋BD＝AE＋DE＝AE＋CE＝AC. (详细答案见《参考答案及解析》P5) 学科网（北京）股份有限公司 $