第1章 问题解决策略：反思-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版·新教材）

该教案聚焦等腰三角形的相等线段性质，以教材母题变式导入，从角平分线、中线、高的基础性质延伸到综合应用，搭建从基础到复杂问题的学习支架，梳理性质应用脉络。 亮点在于分层设计题型，融合数学眼光（几何直观、抽象能力）、数学思维（推理能力）、数学语言（模型意识）。如第5题探究点D位置与DE=DF关系，用全等证明培养推理，延伸设问通过面积法得PD+PE+PF=高，构建模型。助力学生提升几何直观与推理能力，为教师提供落实核心素养的分层素材。

[答案　P10] 等腰三角形中的相等线段　　 (教材母题变式)如图，在△ABC中，若AB＝AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD与CE交于点O，则下列结论不一定正确的是(C) 1题图 A．∠ABD＝∠ACE B．BD＝CE C．OC＝DC D．AE＝AD 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，下列说法不一定正确的是(D) A．BC边上的高和中线互相重合 B．AB，AC边上的中线相等 C．在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等 D．AB，BC边上的高相等 如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E.若BC＝13，BE＝12，则BD的长为5． 3题图 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在边AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN. 4题图 证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC， ∴AM＝AB，AN＝AC. 又∵AB＝AC，∴AM＝AN. ∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD. 又∵AD＝AD，∴△AMD≌△AND，∴DM＝DN. 如图①，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F. 【问题解决】 (1)当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？请证明； (2)过点C作AB边上的高CG，试猜想DE，DF，CG的长度之间存在怎样的等量关系？直接写出你的结论； 【延伸设问】如图②，已知等边三角形ABC的高为7 cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则PD＋PE＋PF＝7_cm； 【规律总结】等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．等边三角形内一点到各边距离之和等于任意一边上的高． 5题图① 　 5题图② 解：【问题解决】(1)当D为BC的中点时，DE＝DF. 证明如下： ∵D为BC的中点，∴BD＝CD. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 5题答图 ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS)，∴DE＝DF. (2)CG＝DE＋DF. 【延伸设问】[解析]如答图，连接PA，PB，PC，过点C作AB边上的高CG.∵S△ABP＋S△BCP＋S△ACP＝S△ABC，∴AB·PD＋BC·PF＋AC·PE＝AB·CG.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴AB·(PD＋PE＋PF)＝AB·CG，∴PD＋PE＋PF＝CG＝7 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $