第1章 三角形的证明及其应用 本章考点检测训练-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版·新教材）

该教案聚焦三角形内角和定理、等腰三角形、直角三角形及线段垂直平分线与角平分线等核心知识点，通过基础例题（如三角形内角计算）逐步过渡到综合应用（如结合角平分线的证明题），构建递进式知识支架。 资料融入中考真题（如赤峰中考正n边形角度题），题型涵盖选择、填空、解答与证明，通过推理证明（如△AEF等腰三角形证明）培养推理意识，图形分析（正五边形角度计算）发展几何直观，助力学生提升逻辑思维与解题能力，为教师提供丰富教学资源，提升课堂效率。

[答案　P10] 三角形内角和定理　　 如图，在△ABC中，D是边BC上一点，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，且∠BAD＝∠BDA，则∠DAC的度数是(C) 1题图 A．70° B．44° C．34° D．24° 　　　 (赤峰中考)正n边形纸片的一部分如图所示，其中l，m是正n边形两条边的一部分．若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是(B) 2题图 A．5 B．6 C．8 D．10 如图，∠1＝35°，∠2＝90°. 3题图 如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是144°． 4题图 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC＝80°，∠C＝40°. (1)求∠DAE的大小； (2)若BF是∠ABC的平分线，求∠AGB的大小． 5题图 解：(1)∵∠BAC＝80°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝60°. ∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的平分线， ∴∠BAD＝90°－∠ABC＝30°，∠BAE＝∠BAC＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°. (2)由(1)得∠ABC＝60°，∠BAE＝40°. ∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠ABC＝30°， ∴∠AGB＝180°－∠ABF－∠BAE＝110°. 等腰三角形　　 如图，△ABC是等边三角形，△ACD是等腰直角三角形，CD＝AC，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠ADB的度数为30°． 6题图 如图，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，AD⊥BC于点D交BE于点F.求证：△AEF是等腰三角形． 7题图 证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. ∵AD⊥BC，∴∠FDB＝90°， ∴∠BFD＝180°－∠FDB－∠CBE＝180°－90°－∠CBE＝90°－∠CBE. ∵∠BAC＝90°，∴∠AEB＝180°－∠BAC－∠ABE＝180°－90°－∠ABE＝90°－∠ABE. ∵∠ABE＝∠CBE，∴∠BFD＝∠AEB. ∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEB， ∴AF＝AE，∴△AEF是等腰三角形． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是AC右侧的线段，且AD＝AC，连接BD交AC于点F，交∠CAD的平分线AE于点E，连接CE. (1)求证：∠BAC＝∠BEC； (2)若∠ABC＝60°，则线段AE，CE，BE之间存在怎样的数量关系，请写出你的理由． 8题图 (1)证明：∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE＝∠DAE. 在△ACE和△ADE中， ∴△ACE≌△ADE(SAS)，∴∠ACE＝∠D. 又∵AB＝AC＝AD，∴∠ABD＝∠D＝∠ACE. 在△ABF和△ECF中，∠BAF＝180°－∠ABF－∠AFB， ∠CEF＝180°－∠ECF－∠CFE， ∴∠BAF＝∠CEF，即∠BAC＝∠BEC. (2)解：AE＋CE＝BE.理由如下： 如答图，在BE上截取BG＝CE，连接AG. 由(1)可知∠ABG＝∠ACE. 又∵AB＝AC，∴△ABG≌△ACE， 8题答图 ∴AG＝AE，∠BAG＝∠CAE. 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠EAG＝∠FAG＋∠CAE ＝∠FAG＋∠BAG ＝∠BAC＝60°， ∴△AEG是等边三角形， ∴AE＝EG，则AE＋CE＝EG＋BG＝BE. 直角三角形　　 下列命题的逆命题是真命题的个数有(C) ①两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的对应角都相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (陕西西安期末)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝5，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝． 10题图 如图，已知AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°. (1)求证：AE＝BD； (2)请判断AE与BD的位置关系，并说明理由． 11题图 (1)证明：∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＋∠ECB＝∠BCD＋∠ECB， 即∠ACE＝∠BCD. 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD. 11题答图 (2)解：AE⊥BD.理由如下： 如答图，延长AE交BC于点M，交BD于 点N. ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAE＋∠AMC＝90°. 由(1)得∠CAE＝∠CBD. 又∵∠AMC＝∠BMN， ∴∠CBD＋∠BMN＝∠CAE＋∠AMC＝90°， ∴∠MNB＝90°，∴AE⊥BD. 线段的垂直平分线与角平分线　　 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接CE，若BE＝1，则△AEC的周长为(B) 12题图 A．12 B．13 C．14 D．15 　　　 如图，在△ABC中，∠B＝75°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧在AC两侧分别交于点P，Q，作直线PQ，交BC于点D，交AC于点E，F是AD上一点，且AB＝CF，若∠DAC＝45°，则∠ACF的度数为30°． 13题图 (陕西渭南期末)如图，已知∠ADC＋∠ABC＝180°，DC＝BC.求证：点C在∠DAB的平分线上． 14题图 证明：如答图，作CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F， 14题答图 ∴∠BEC＝∠DFC＝90°. ∵∠ADC＋∠ABC＝180°， ∠ADC＋∠CDF＝180°， ∴∠ABC＝∠CDF. ∵DC＝BC，∴△CBE≌△CDF， ∴EC＝FC， ∴点C在∠DAB的平分线上． (四川宜宾期末)如图，点D是△ABC外角∠CBF的平分线与∠CAB的平分线的交点． (1)如图①，若∠C＝88°，则∠D＝44度； (2)如图②，∠CBA的平分线与AD相交于点E，若∠BED＝∠D，求∠C的度数； (3)如图③，在(2)的条件下，过点E作AB的垂线分别交BC，AB于点M，N，MH平分∠CMN，交AC于点H，请判断MH与AD的位置关系，并说明理由． 15题图① 　 15题图② 15题图③ 解：(2)∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA， ∴∠EAB＝∠CAB，∠EBA＝∠CBA. ∵∠CAB＋∠CBA＋∠C＝180°， ∴∠EAB＋∠EBA＋∠C＝90°， 即∠EAB＋∠EBA＝90°－∠C， ∴∠BED＝∠EAB＋∠EBA＝90°－∠C. 由(1)得∠D＝∠C. ∵∠BED＝∠D，∴90°－∠C＝∠C，解得∠C＝90°. (3)MH∥AD.理由如下： 由题意，得∠C＝∠MNA＝90°， ∴∠CMN＋∠CAB＝180°. ∵AD平分∠CAB，MH平分∠CMN， ∴∠EAB＝∠CAB，∠HME＝∠CMN， ∴∠HME＋∠EAB＝90°. ∵∠AEN＋∠EAB＝90°， ∴∠HME＝∠AEN，∴MH∥AD. 学科网（北京）股份有限公司 $