1.5 课时1 角平分线的性质与判定-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版·新教材）

该教案聚焦三角形角平分线的性质、判定及内、外角平分线模型，从基础选择（到三边距离相等的点）切入，过渡到面积比、长度计算等综合应用，再到证明题与模型总结，构建从具体到抽象的学习支架。 资料融合核心素养，如景区休息点选址、绿地小亭定位等实际情境，引导学生用数学眼光观察现实世界的空间关系。证明题通过作辅助线推理培养推理意识，模型总结助学生用数学语言表达角度规律。助力学生提升几何直观与推理能力，为教师提供分层教学资源，提高课堂效率。

课时2　三角形三个内角的平分线 三角形角平分线的性质与判定　　 在三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形的(B) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 (内蒙古通辽模拟)如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线交于点O，并将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(C) 2题图 A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5 　　　 如图，O为△ABC内角平分线的交点，过点O作OM⊥AB于点M.若∠ACB＝60°，OM＝2，则OC的长为4． 3题图 (广东湛江期中)如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P.求证：BP为∠MBN的平分线． 4题图 证明：过点P作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥AC交AC于点E，PF⊥BC交BC延长线于点F. ∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥BA，PE⊥AC， ∴PD＝PE. ∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC， ∴PE＝PF，∴PD＝PF. 又∵PD⊥BA，PF⊥BC，∴BP为∠MBN的平分线． (教材母题变式)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E. 5题图 (1)求证：AC＝AE； (2)若AC＝8，BC＝6，求CD的长． (1)证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝ED.在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AC＝AE. (2)解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，S△ABC＝·AC·BC＝24，S△ACD＝AC·CD＝4CD.∵DE⊥AB，DE＝CD，∴S△ABD＝DE·AB＝5DE＝5CD.∵S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，∴24＝4CD＋5CD，解得CD＝. 三角形角平分线的应用　　 甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，则正确的作图是(C) 6题图 问题：如图，某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在道路边AB上建一个休息点M，使它到边AC，BC的距离相等，在图中确定休息点M的位置． 如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中修建一座小亭供人们小憩，且使小亭到三条公路的距离相等，试确定小亭的位置． 7题图 　　 解：如答图，分别作三角形绿地两个内角的平分线，交点P即为小亭的位置． 7题答图 如图，AE与BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，下列说法不正确的是(C) 1题图 A．AE，BF是△ABC的内角平分线 B．CG也是△ABC的一条内角平分线 C．AO＝BO＝CO D．点O到△ABC三边的距离相等 将如图①所示的△ABC剪成三部分放在如图②的网格中，已知点O，A，B，C均在格线上，若∠BOC＝126°，则∠BAC的度数为(C) 2题图① 2题图② A．54° B．60° C．72° D．100° (辽宁大连期中)如图，已知△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，过点O作OH⊥BC于点H，若∠BAC＝60°，OH＝3，则OA的长为6． 3题图 [核心素养]如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H. (1)点D到B，C两点的距离相等吗？为什么？ (2)点D到∠BAC两边的距离相等吗？为什么？ (3)猜想BG和CH之间的大小关系，并证明你的结论． 4题图 解：(1)相等．理由如下： ∵D是线段BC垂直平分线上的一点， ∴点D到B，C两点的距离相等． (2)相等．理由如下： ∵点D在∠BAC的平分线上， ∴点D到∠BAC两边的距离相等． (3)BG＝CH.证明： 4题答图 如答图，连接BD，CD. ∵D是线段BC垂直平分线上的点， ∴BD＝CD. ∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC， ∴DG＝DH，∴Rt△BDG≌Rt△CDH，∴BG＝CH. 　三角形的内、外角平分线模型 【模型展示】 如图①，BD，CD分别为△ABC两个内角的平分线，则∠D＝90°＋∠A. 如图②，BD，CD分别为△ABC两个外角的平分线，则∠D＝90°－∠A. 如图③，BD，CD分别为△ABC一内角和一外角的平分线，则∠D＝∠A. 图① 　 图② 　 图③ 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥BA交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC，若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为32°． 1题图 在△ABC中． (1)如图①，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P. ①若∠A＝64°，求∠BPC的度数； ②若∠A＝n°，则∠BPC＝90°＋n°； (2)如图②，△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数； (3)如图③，△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q.请直接写出∠BPC与∠BQC之间的数量关系． 2题图① 　 2题图② 　 2题图③ 解：(1)①∵∠A＝64°，∴∠ABC＋∠ACB＝116°.∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1＋∠2＝(∠ABC＋∠ACB)＝58°，∴∠BPC＝180°－(∠1＋∠2)＝122°. (2)∵∠DBC和∠FCB的平分线相交于点Q，∴∠QBC＝∠DBC，∠QCB＝∠FCB，∴∠QBC＋∠QCB＝(∠DBC＋∠FCB)＝[360°－(∠ABC＋∠ACB)]＝[360°－(180°－∠A)]＝(180°＋∠A)＝90°＋∠A，∴∠BQC＝180°－(∠QBC＋∠QCB)＝180°－＝90°－∠A.∵∠A＝n°，∴∠BQC＝90°－n°. (3)∠BPC＋∠BQC＝180°. 学科网（北京）股份有限公司 $