第1章 专题3 线段的垂直平分线与角平分线的综合-（教师用书）【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练（北师大版·新教材）

[答案 P9]

利用角平分线与线段的垂直平分线的性质进行计算　　

1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，线段BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.

(1)若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数；

(2)若BC＝5，BF∶FD＝5∶3，S△BCF＝10，求点D到边AB的距离．

1题图

解：(1)∵BD平分∠ABC，

∴∠CBA＝2∠CBD＝2∠ABD＝48°，

∴∠ACB＝180°－60°－48°＝72°.

∵线段BC的垂直平分线交BC于点E，

∴∠BEF＝∠CEF＝90°，FB＝FC．

在Rt△BEF和Rt△CEF中，

∴Rt△BEF≌Rt△CEF(HL)，

∴∠FCB＝∠FBC＝24°，

∴∠ACF＝∠ACB－∠FCB＝72°－24°＝48°.

1题答图

(2)如答图，过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥AB于点H.

∵BD平分∠ABC，DG⊥BC，DH⊥AB，

∴DH＝DG.

∵BF∶FD＝5∶3，S△BCF＝10，∴S△DCF＝6，

∴S△BCD＝S△BCF＋S△DCF＝16.

∵BC＝5，∴DG·5＝16，∴DG＝，∴DH＝DG＝，

即点D到边AB的距离为.

 

利用尺规作图解决问题　　

2．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°.

(1)利用直尺和圆规作图(要求：保留作图痕迹，不写作法)：

①在BC上求作一点D，使得AD＋DC＝BC；

②连接AD，在DC上找一点E，使得点E到AD，AC的距离相等；

(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．

2题图

解：(1)①如答图，点D即为所求．

②如答图，点E即为所求．

2题答图

(2)∵DF垂直平分AB，

∴DB＝DA，

∴∠DAB＝∠B＝30°.

∵∠C＝40°，

∴∠BAC＝180°－30°－40°＝110°，

∴∠DAC＝110°－30°＝80°.

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAE＝∠DAC＝40°.

利用角平分线与线段的垂直平分线的性质进行证明　　

3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG垂直平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

(1)求证：BE＝CF；

(2)如果AB＝5，AC＝3，求AE，BE的长．