第1章 专题3 线段的垂直平分线与角平分线的综合-（教师用书）【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练（北师大版·新教材）

[答案 P9] 利用角平分线与线段的垂直平分线的性质进行计算　　 1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，线段BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF. (1)若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数； (2)若BC＝5，BF∶FD＝5∶3，S△BCF＝10，求点D到边AB的距离． 1题图 解：(1)∵BD平分∠ABC， ∴∠CBA＝2∠CBD＝2∠ABD＝48°， ∴∠ACB＝180°－60°－48°＝72°. ∵线段BC的垂直平分线交BC于点E， ∴∠BEF＝∠CEF＝90°，FB＝FC． 在Rt△BEF和Rt△CEF中， ∴Rt△BEF≌Rt△CEF(HL)， ∴∠FCB＝∠FBC＝24°， ∴∠ACF＝∠ACB－∠FCB＝72°－24°＝48°. 1题答图 (2)如答图，过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥AB于点H. ∵BD平分∠ABC，DG⊥BC，DH⊥AB， ∴DH＝DG. ∵BF∶FD＝5∶3，S△BCF＝10，∴S△DCF＝6， ∴S△BCD＝S△BCF＋S△DCF＝16. ∵BC＝5，∴DG·5＝16，∴DG＝，∴DH＝DG＝， 即点D到边AB的距离为. 利用尺规作图解决问题　　 2．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°. (1)利用直尺和圆规作图(要求：保留作图痕迹，不写作法)： ①在BC上求作一点D，使得AD＋DC＝BC； ②连接AD，在DC上找一点E，使得点E到AD，AC的距离相等； (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数． 2题图 解：(1)①如答图，点D即为所求． ②如答图，点E即为所求． 2题答图 (2)∵DF垂直平分AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°. ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°－30°－40°＝110°， ∴∠DAC＝110°－30°＝80°. ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠DAC＝40°. 利用角平分线与线段的垂直平分线的性质进行证明　　 3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG垂直平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. (1)求证：BE＝CF； (2)如果AB＝5，AC＝3，求AE，BE的长． 3题图 (1)证明：连接BD，CD． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°. ∵DG垂直平分BC，∴BD＝CD． 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴BE＝CF. (2)解：在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(AAS)，∴AE＝AF. 设BE＝x，则CF＝x. ∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB－BE，AF＝AC＋CF， ∴5－x＝3＋x，解得x＝1， ∴BE＝1，AE＝AB－BE＝5－1＝4. 4．如图，已知在△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G.求证： 4题图 (1)BF＝CG； (2)AF＝(AB＋AC). 证明：(1)连接BE，CE，如答图． ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴EF＝EG. ∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC． 4题答图 在Rt△EFB和Rt△EGC中， ∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)， ∴BF＝CG. (2)∵BF＝CG， ∴AB＋AC＝AB＋AG＋GC＝AB＋AG＋BF＝AF＋AG. 在Rt△AEF和Rt△AEG中， ∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)，∴AF＝AG， ∴AF＝(AF＋AG)＝(AB＋AC). 学科网（北京）股份有限公司 $