1.3 课时1 直角三角形的性质与判定-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版·新教材）

该教案聚焦直角三角形的性质与判定核心知识点，从三角形内角和定理回顾切入，衔接勾股定理复习，逐步引出直角三角形两锐角互余、斜边中线性质等特殊性质，再过渡到勾股定理逆定理、中线判定法等判定方法，构建从性质到判定的知识支架。 资料特色在于融合生活情境与几何推理，如梯子靠墙问题培养数学眼光中的几何直观，折叠问题通过设未知数列方程发展数学思维中的运算能力与推理意识，逆命题辨析题提升数学语言的逻辑表达。助力学生形成空间观念与应用意识，为教师提供分层例题与详细解答，提升课堂效率与教学针对性。

3 直角三角形 课时1　直角三角形的性质与判定 直角三角形的性质　　 (山东潍坊期末)若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另一个锐角等于(A) A．50° B．60° C．70° D．140° (河北承德期末)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是(C) 2题图 A．8 B．16 C．20 D．25 　　 　　 (连云港中考)如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为2.4m. 3题图 (广东揭阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，则∠APB＝135°. 4题图 如图，在△ABC中，CD是△ABC的高，AC＝20，BC＝15，BD＝9.求AD和CD的长． 5题图 解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°. 在Rt△BDC中，BC＝15，BD＝9， ∴CD＝＝＝12. 在Rt△ADC中，AC＝20，CD＝12， ∴AD＝＝＝16. 直角三角形的判定　　 如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，求证：∠ACB＝90°. 6题图 证明：∵CD是△ABC的中线， 且CD＝AB，AD＝BD＝AB， ∴AD＝CD，BD＝CD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD＝180°， ∴2(∠ACD＋∠BCD)＝180°， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°. (陕西西安期末)如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积． 7题图 解：如答图，连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC＝＝＝. 在△ACD中， ∵AC2＋CD2＝5＋22＝9，AD2＝32＝9， ∴AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴S△ABC＝×1×2＝1，S△ACD＝××2＝， ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝1＋. 7题答图 逆命题与逆定理　　 下列说法正确的是(A) A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题 (江苏苏州期末)下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．其中逆命题是真命题的有(B) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 (陕西中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(C) 1题图 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 (天津和平区期末)已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(D) A．a＝2，b＝，c＝3 B．∠A＋∠B＝∠C C．(a＋b)2＋(a－b)2＝2c2 D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4 (东营中考)如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是(A) 3题图 A．0.9 m B．1.3 m C．1.6 m D．2 m 如图，在△ABC中，CE，BF分别是AB，AC边上的高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，则∠EBF的度数是20°，∠FBC的度数是40°． 4题图 　　　 如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，P均在格点上，则∠PAB＋∠PBA＝45°． 5题图 Rt△ABC的两条直角边为a，b，斜边为c，若a＋b＝8，c＝6，则△ABC的面积为7． (北京西城区期中)下列命题中，其逆命题成立的是①．(请填写序号) ①内错角相等，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 现有一长方形纸片ABCD，在剪纸过程中需要折叠．如图，将△ADE沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，求EC的长． 8题图 解：由题意可设EC的长为x，则DE＝8－x. ∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF. ∵AD＝BC＝10，∴AF＝10. 又∵AB＝8，在Rt△ABF中，由勾股定理，得 BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36， ∴BF＝6，∴FC＝BC－BF＝10－6＝4. 在Rt△EFC中，由勾股定理，得FC2＋EC2＝EF2， 即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3， ∴EC的长为3. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB. (1)求∠ACE的度数； (2)若CD⊥AB于点D，F是CE上一点，且∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形． 9题图 (1)解：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝90°. ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠ACB＝45°. (2)证明：∵CD⊥AB，∠B＝60°， ∴∠BCD＝90°－60°＝30°. ∵∠BCE＝∠ACE＝45°， ∴∠DCF＝∠BCE－∠BCD＝15°. ∵∠CDF＝75°，∴∠CFD＝180°－75°－15°＝90°， ∴△CFD是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $