1.2 课时3 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 -【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版·新教材）

该教案聚焦初中数学“等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质”核心知识点，通过池塘测量、双翼闸门等实际问题导入，衔接等腰三角形知识，以例题（如三个角相等的三角形是等边三角形）搭建从基础判定到性质应用的学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如超市双翼闸门宽度计算）与变式训练（教材母题、中考改编题），培养数学眼光（抽象几何模型）、数学思维（推理证明，如证△ABC是等边三角形）、数学语言（规范几何表达）。通过问题驱动和分层例题，助力学生提升推理能力与应用意识，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

课时3　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 等边三角形的判定　　 (海南三亚期末)下列四个说法中，正确的有(D) ①三个角都相等的三角形是等边三角形： ②有两个角等于60°的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 如图，池塘旁边有一条笔直的小路BC和一棵小树A.测得的相关数据如下：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48 m．由上述数据可知AC＝48m. 2题图 (福建泉州期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且∠ADE＝∠CDF.求证：△ABC是等边三角形． 3题图 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°. 在Rt△AED和Rt△CFD中，∠ADE＝∠CDF， ∠AED＝∠DFC，AD＝CD， ∴Rt△AED≌Rt△CFD，∴∠A＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形． 含有30°角的直角三角形的性质　　 一个含30°角的三角尺ABC如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若BC＝6，则AB＝(C) 4题图①　　 　4题图② A．3 B．6 C．12 D．9 (教材母题变式)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是(C) A.BD＝BC B．BD＝BC C．BD＝BC D．BD＝BC 5题图 　　　 如图，在△ABC中∠A∶∠B∶∠BCA＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D，AB＝12，则DB等于(A) 6题图 A．3 B．4 C．6 D．9 (福建龙岩期中)等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为(C) A．8 B．7 C．5 D．4 中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域的学术盛会．在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图所示，它的顶角为120°，腰长为12 m，则腰上的高是6_m． 8题图 (福建福州期末)如图①所示的是某超市入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，示意图如图②所示，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm，双翼的边缘AC＝BD＝54 cm，且与闸机箱的夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 9题图① 　　 9题图② 解： 9题答图 如答图，过点A作AE⊥CP于 点E，过点B作BF⊥DQ于点F. 在Rt△ACE中， ∠ECA＝30°，AC＝54 cm， ∴AE＝AC＝×54＝27 (cm)， 同理可得BF＝27 cm. ∵当双翼展开时，点A与点B之间的距离为10 cm， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为27＋10＋27＝64(cm). 如图，E是等边三角形ABC的边AC上的点，点D满足∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(B) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法确定 1题图 　　 如图，上午8时一艘轮船从A地以25海里/时的速度向南偏西40°的方向行驶，上午10时到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶50海里到达C地，则A，C两地相距(C) 2题图 A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 (陕西西安期末)如图，在△ACD中，∠ACD＝90°，∠A＝30°，AC＝b，CD＝a，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，交斜边AD于点B，AB＝c，则下列说法正确的是①③．(请填写序号) 3题图 ①△BCD是等边三角形； 　　 ②a＋c<b； ③a＝c; 　　 ④b＝2a. (福建中考改编)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，BE⊥AC，垂足为H，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小； (2)求证：△CEG是等边三角形． 4题图 (1)解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°. ∵D是AB的中点， ∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝×60°＝30°. ∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°. (2)证明：由平移可知CD∥EF， ∴∠EAC＝∠DCA＝30°. 又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°， ∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∠AEC＝120°. 又∵AB＝CB，∴BE⊥AC， ∴AH＝CH，∴△AHE≌△CHE， ∴∠GEC＝∠AEC＝×120°＝60°. 由(1)知∠GCE＝60°，∴∠EGC＝60°， ∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，∴△CEG是等边三角形． 　巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 (陕西西安期中)如图，在边长为10的等边三角形ABC中，点M在边AB的延长线上，点N在边AC上，且MN＝MC.若AM＝16，则CN的长为(B) 1题图 A．3 B．4 C．5 D．6 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，DE＝2，则BC的长为12． 2题图 　 如图，在四边形ABCD中，AD＝8，BC＝2，∠B＝90°，∠A＝30°，∠ADC＝120°，则CD的长为4． 3题图 学科网（北京）股份有限公司 $