专题5 利用勾股定理解决最值或最短路径问题-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（人教版·新教材）

第二十章勾股定理 专题5利用勾股定理解决最值或最短路径问题 [答案P8] 类型()平面图形上的最短路径问题 类型②几何体中的最短路径问题 ⑦模型展示>-·-·-· ①模型展示》>一：- 模型 图例 基本策略 几何体中最短路径基本模型如下： 类型 图例 确定动点P所在的直线；利 用对称性，将同侧的A,B两 B R 点转化为异侧两点A',B,则 模型 最短路径即为线段A'B;常 圆柱 构造直角三角形 (Rt△CBA'),利用勾股定理 求解 利用“垂线段最短”确定最 模型二 短路径；构造直角三角形， 长方体 利用勾股定理求解 B h》“”·-·---.。.。,。。 阶梯 1如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E, 问题 P分别是线段AC,AD上的一个动点，已知AB= 2,AD=√3，则PE+PC的最小值是 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线 基本 段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾 思路 股定理求解 3如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分 1题图 别是50cm,30cm,10cm,A和B是这个台阶的两 2如图，高速公路MN的同一侧有A,B两个城镇， 个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃 它们到高速公路的距离分别为AA'=2km,BB' 可口的食物，请你算一算，这只壁虎从A点出 =4km,且A'B'=8km.现要在高速公路上的A', 发，沿着台阶爬到B点，至少需爬 （) B'之间建一个出口P,使A,B两个城镇到出口P A.13 cm B.40 cm C.130 cm D.169 cm 的距离之和最小，求AP+PB的最小值， 50 10 M N (单位：cm 2题图 3题图 4题图 4如图，圆柱形容器的底面周长是24cm,高为 17cm,在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的 圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处 有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最 短路线长是 A.20 cm B.83 cm C.√433cm D.24 cm 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 29 同步练测·八年级数学·下册 5如图，有一个长、宽各为2dm,高为 9如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是 3dm且封闭的长方体纸盒，一只昆 12 cm,8 cm,30 cm. 虫要从顶点A爬到顶点B,那么这只 (1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从 昆虫爬行的最短路程为 5题图 D处爬到C处去吃，有无数种走法，则路程 A.3 dm B.4 dm C.5 dm D.6 dm 最短的是多少？ 6如图，圆柱形玻璃杯的高为 (2)若此长方体盒子有盖，则能放人木棒的最大 5cm,底面周长为12cm,在 长度是多少？ 杯内壁底的点B处有一滴 蚂蚁A D 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在 B蜂蜜 杯外壁与蜂蜜相对的点A 处，点A距离杯上沿3cm, 6题图 则蚂蚁从外壁点A处爬行到内壁点B处的最短 路程是 cm.(杯壁厚度不计) 9题图 ⑦新情境（山西太原期中）包装纸箱是我们生活 中常见的物品.如图①，创意DY小组的同学将 一个10cm×30cm×40cm的长方体纸箱裁去一 部分（粗虚线为裁剪线），得到如图②所示的简 易书架.若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿 书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距 离为」 cm 10如图，长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽为 40 cm 40 cm 1 cm (1)点A1到点C2之间的距离是多少？ A (2)若一只蚂蚁从长方体的表面点A2爬到点 30 cm 10 cm 30 cm 10 cm 10cm C,则爬行的最短路程是多少？ 7题图① 7题图② 8一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该 U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆 B 柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为 C2 4m的半圆，其边缘AB=CD=18m,点E在CD 上，CE=2m.一滑板爱好者从A点滑到E点，再 10题图 从E点滑到B点，则他滑行的最短路程是多少？ (边缘部分的厚度忽略不计，π取3)》 8题图 30 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩同步练测·八年级数学·下册 综上所述，点C的坐标为(-2,0)或(8,0)或(-3,0) 或(6吵 专题4利用勾股定理解决折叠问题 1.B2A3.3m4559或5 6.(1)证明：由折叠的性质可知∠A=∠EGB=90°，AE=EG. E是AD的中点，∴.AE=EG=DE. EF=EF, 在Rt△ECF和Rt△EDF中， EG=ED, ∴.Rt△EGF≌Rt△EDF(HL),.DF=GF. (2)解：设DF=x,则GF=x,BF=6+x,CF=6-x 在Rt△BFC中，BF2=CF2+BC2, 即(6+x)2=(6-x)2+96,解得x=4, .DF的长为4. 专题5利用勾股定理解决最值或最短路径问题 1,√3[解析]如答图，过点B作BE⊥AC于点E,与AD交于 ,点P,此时PE+PC的值最小.：△ABC是等边三角形，且D 是BC的中点，∴.AD⊥BC,.PC=PB,∴.PE+PC=PB+PE =BE,即BE的长就是PE+PC的最小值..△ABC是一个 边长为2的等边三角形，∴CE=1,,在Rt△BCE中，由勾 股定理，得BE=√22-12=5，.PE+PC的最小值是5. 1题答图 2.解：如答图所示，作点A关于直线MW的对称点C,连接CB 交直线MN于点P,此时AP+PB的值最小，过点B作BD⊥ CA交CA的延长线于点D. D. B A P B 2题答图 .AA'=2 km,BB'=4 km,A'B'=8 km, .'AC=4 km,CD =6 km,BD =8 km. 在Rt△CDB中，CB2=CD2+BD2=62+82=100, ..CB=10km,∴.AP+PB的最小值为10km. 3.C4.A5.C6.10 7.50[解析]如答图，把书架侧面展开，连接AB,则蛛爬行 的最短距离为AB的长，连接AM,交BN于点O.由图可知 0A=30+10=40(cm),0B=40-10=30(cm).在Rt△A0B ·8… 中，AB2=0A2+0B2=402+302=502,所以AB=50cm,即 蜘蛛爬行的最短距离为50cm, B 0 M A 10 cm 30 cm 10 cm 30 cm 10 cm 7题答图 8.解：如答图，把半圆柱体展开. 由题意可知AD=Tr=4r≈12(m), CE=2m,DE=18-2=16(m). 在Rt△ADE中， AE=√DE2+AD2=√162+122=20(m). 在Rt△BCE中， BE=√CE2+BC=√22+122=2√37(m), 所以AE+BE=(20+2√37)m. 答：他滑行的最短距离是(20+2√37)m C E 0 8题答图 9.解：(1)将长方体的前侧面和右侧面展开在同一平面，连接 CD,如答图①，沿DC爬行路程最短 .:长方体盒子的长、宽、高分别是12cm,8cm,30cm, AD=DE +AE=20 cm,AC=AB=15 cm. 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得CD=√AD2+AC= √/202+152=25(cm), 故最短路程是25cm. B 9题答图① 9题答图② (2)如答图②，连接AG,BG. 在R△BFG中，GF=12cm,BF=8cm, 由勾股定理，得GB=√GF2+BF=√122+8=4√3(cm). 在Rt△AGB中，GB=4/13cm,AB=30cm, 由勾股定理，得AG=√AB2+GB2=√302+(4√/13)2= 2√277(cm), 故能放人木棒的最大长度是2√/277cm. 10.解：(1)长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽为1cm, ∴.A2C2=√42+12=√17(cm), .A1C2=√52+（√17）2=√42(cm). (2)如答图①所示，A2C1=√(1+4)2+52=5，√2(cm); 如答图②所示，A2C1=√(4+5)2+12=√82(cm); 如答图③所示，A2C1=√(1+5)2+4平=2√3(cm). :52<2√13<√82，∴.爬行的最短路程是5√2cm C 4 G A A 5 A21B24 C2 A21B2 D2 A2 10题答图① 10题答图② 10题答图③ 易错疑难集训二 1.4或342.4或22 3.解：当第三边为斜边时，6和8分别是两直角边的长，由勾股 定理，得第三边的长为√6+82=10；当第三边为直角边时， 斜边长为8，由勾股定理，得第三边的长为√⑧2-6=2√万， .第三边的长为10或2万. 易错分析… 在直角三角形中，已知两边求第三边，且没有说明 哪条边是斜边时，应分两种情况讨论：①已知两边为直 ,角边：②两边中的较长边为斜边 4.D 5.解：分两种情况： ①当高CD在△ABC内部时，如答图①， ,'CD⊥AB,∴.∠CDA=90 CD=3,AD=1,..AC=AD2 +CD2=2. AB=2AC,∴.AB=4,∴.BD=AB-AD=4-1=3, .BC=√BD2+CD=32+(3)2=25; ②当高CD在△ABC外部时，如答图②. 同理，可得AC=2,AB=4, .BD=AB+AD=4+1=5 .BC=√CD2+BD2=√(5)2+52=2万. 综上所述，BC的长为23或2√7， 参考答案及解析 B D 5题答图① 5题答图② :易错分析 本题的易错之处是只考虑高在三角形内部一种情 况，当题目中没有给定图形时，要考虑高在三角形内部 和三角形外部两种情况，因此需要分类讨论求解，否则 会出现漏解的错误 6.解：a2=(6)2=6,b2=1,c2=(5)2=5, .62+c2=a2, ∴.以a,b,c为边长的三角形是直角三角形（其中a为斜边长）. ,易错分析 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时，我 们不能简单地看两边a,b的平方和是否等于边c的平 方，而应先比较a,b,c的大小，找出最大边长，再分别 计算出三边长的平方，最后看两条较小边长的平方和 是否等于最大边长的平方 7.(1)c=b+1a2=b+c (2)c=b+2a2=2(b+c) (3)1 本章考点检测训练 1.A2.A3.D4.125.√/17-1 6.解：(1)= (2)在Rt△CFA中，由勾股定理，得AC=√AF2+CF产= √/122+52=13（米）. BF=AF-AB=12-8=4(米)， ∴.在Rt△CFB中，由勾股定理，得BC=√CF2+BF2= √52+42=√4I(米) 由(1)，得AC=BC+CE, .CE=AC-BC=(13-√41)米， ∴.该男子需向右移动的距离为(13-√41)米. 7.解：(1)：1a-481+(b-√12)2=0， .a-√48=0，b-√12=0，.a=45,b=25. (2)分两种情况讨论： ①当a,b为直角三角形的两条直角边时， .c=√a2+b=(45)2+(25)2=2√5； ②当a为直角三角形的斜边时， .c=√a2-b2=√(43)2-(25)2=6. 综上所述，c的值为2√15或6. 8.C9.C10.1511.90°+ax ·9…