专题3 利用勾股定理探究而点距离公式&专题4 利用勾股定理解决折叠问题-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（人教版·新教材）

第二十章勾股定理 专题3利用勾股定理探究两点间距离公式 [答案P7] 学习探究>-一…一-一-… 5已知一个三角形各顶点坐标为A(-1,4), 探究平面直角坐标系中两点间的距离，设P（x1, B(-3,1),C(1,1),请判定此三角形的形状，并 y1),P2(x2,y2) 说明理由。 (1)如图①，当P1,P2纵坐标相同时，PP2=x1-x2I; 当P1,P2横坐标相同时，PP2=1y1-y21. y y◆ 。P 0 图① (2)如图②，PC=Ix2-x1,P2C=1y2-y11,由勾股 定理，得P,P2=√(x2-x)2+(y2-y)了. y P1<---C AOB 图② ●实战演练 ①如图，在平面直角坐标系中，A(-4,0),C(1, 0),以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正 6如图，已知A(3,0),B(0,4),在x轴上找一点C, 半轴于点B,则点B的坐标为 () 使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标. y R 6题图 1题图 A.(0,3)B.(3,0)C.(2,0) D.(0,2) 2在平面直角坐标系中，点P(-4,3),则点P到 原点的距离为 ( A.3 B.-5 C.5 D.4 3在平面直角坐标系中，点A(-2,-1),B(-5, 3),则AB的长为 A.√13B.5 C.4 D.3 4(教材母题变式)如图，在平面直角坐标系中， △ABC各顶点的坐标分别为A(1,2),C(5,2), B(5,4),则AB的长为 y 012345x 4题图 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 27 同步练测·八年级数学·下册 专题4利用勾股定理解决折叠问题 [答案P8] ⑦模型展示>>-·一 合(E,F两点均在BD上)，折痕分别为BH,DG. 若AB=6cm,BC=8cm,则线段FG的长 模型类别 模型图 模型结论 为 △ADE≌△ADB, 折痕过图 DE =DB. 形的一个 在Rt△CDE中， 顶点 DE2 CE2 =CD2 △AB'F≌△CDF」 3题图 4题图 折痕过图 AF=CF. 形的两个 ④如图，把长方形ABCD沿直线BD向上折叠，使 在Rt△CDF中， 顶点 点C落在点C'的位置上，BC'交AD于点E.若 CD2+DF2=CF2 AB=3,BC=6,则DE的长为 AE=CE=AF, 5如图，在Rt△ABC中，∠C 、E D'F DF BE. 折痕不过 =90°，AC=12,BC=10,D D 在Rt△ABE中， 图形的 是BC的中点，E是AC上 AB2+BE2 =AE2. 顶点 动点，将△CDE沿DEB 在Rt△AD'F中， 折叠后得到△C'DE,连接 5题图 AD2+D'F2=AF AC.当△AEC'是直角三角形时，CE的长 解题思路： 为 (1)解决折叠问题的关键是抓住对称性； 6如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将 (2)求线段长时，可利用勾股定理直接计算，也可设 △ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG 未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思想分 交CD于点F,连接EF. 析和解决问题， (1)求证：DF=GF; (2)若AB=6,BC2=96,求DF的长. A ●实战演练 ①（北京海淀区期中）如图，有一块直角三角形纸 片，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,将斜边AB翻 折，使点A落在直角边BC延长线上的点D处， 6题图 折痕为BE,则CD的长为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 E D A 1题图 2题图 2如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点 D,E分别在AC,BC边上，且DE∥AB.将△ABC 沿DE折叠，使点C落在斜边AB上的点F处，则 AF的长是 A.3.6B.4 C.4.8 D.6.4 3(云南昆明期中)把一张长方形纸片ABCD按如 图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重 28 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩∴.△ABP≌△ACQ(SAS),∴.CQ=BP=2 在△PCQ中，PQ2+CP2=(3)2+12=4=22=CQ2, ∴.△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°， .∠APC=60°+90°=150°. 8题答图 课时2勾股定理及其逆定理的综合应用 【基础巩固练】 1.C2.B3.不垂直 4.解：由题意，得AB=15×2=30(n mile),AC=20×2= 40(n mile),BC =50 n mile. .AB2 +AC2 =BC2, .△ABC是直角三角形，且∠BAC=90° :货船沿南偏东80°方向航行， .客船航行的方向为北偏东10° 5.C6.45°7.符合 8.解：(1)由勾股定理可得AB=22,BC=42,CD=√26，AD= √10，所以四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=2,√2+ 42+√26+√10=62+√26+√10. (2)∠ABC是直角.理由如下： 如答图，连接AC,由勾股定理可得AC=√22+62=2√0， 所以AB2+BC2=(22)2+(42)2=(2√10)2=AC, 所以△ABC是直角三角形，所以∠ABC是直角. D B 8题答图 【能力提升练】 1.B2.2+5 2 3.90°4.①②④ 5.解：：BD2+AD2=62+82=102=AB2, ..△ABD是直角三角形，∴.AD⊥BC. 在R△ACD中，CD=√AC2-AD2=15, .∴.BC=BD+CD=6+15=21 6.解：如答图，连接AC. AE⊥BC,E是BC的中点，.AB=AC, .∠ACB=∠B=30°，.AC=2AE=2. 参考答案及解析 在△ACD中，AD2=8,AC2+CD2=4+4=8, .AD2=AC2+CD2,.∠ACD=90°， .∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°. D B E C 6题答图 7.解：设MN与AC相交于点E,则∠BEC=90. 因为AB2+BC2=52+122=132=AC2, 所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°. 因为∠BEC=90°， 所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE的长 由Sac=2AB·BC=方AC~BE,得BE-智海里 由CE+BE2=BC,得CE=答海里， 借13-特0.85（时）=51（分）， 169 所以走私艇C到点E的时间为10时41分. 答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海 专题3利用勾股定理探究两点间距离公式 1.A2.C3.B4.25 5.解：△ABC是等腰三角形.理由如下： AB=√(-1+3)2+(4-1)2=√13， BC=√(-3-1)2+(1-1)2=4， AC=√(-1-1)2+(4-1)7=√13， .AB=AC,AB2+AC2≠BC2, ∴.△ABC为等腰三角形. 6.解：设C(x,0).因为A(3,0),B(0,4), 所以AB=√32+42=5，AC=√(3-x)2=13-x1, BC=√2+16. ①当AB=AC时，△ABC为等腰三角形， 所以13-x=5,解得x=-2或x=8, 所以点C的坐标为(-2,0)或(8,0)； ②当AB=BC时，△ABC为等腰三角形， 所以√x2+16=5,解得x=3或x=-3, 当x=3时，A,C两点重合，不合题意，舍去， 所以点C的坐标为(-3,0)； ③当AC=BC时，△ABC为等腰三角形， 所以3-1=F+16,每得：=-名， 所以点C的坐标为(-名，0） ·7 同步练测·八年级数学·下册 综上所述，点C的坐标为(-2,0)或(8,0)或(-3,0) 或(6吵 专题4利用勾股定理解决折叠问题 1.B2A3.3m4559或5 6.(1)证明：由折叠的性质可知∠A=∠EGB=90°，AE=EG. E是AD的中点，∴.AE=EG=DE. EF=EF, 在Rt△ECF和Rt△EDF中， EG=ED, ∴.Rt△EGF≌Rt△EDF(HL),.DF=GF. (2)解：设DF=x,则GF=x,BF=6+x,CF=6-x 在Rt△BFC中，BF2=CF2+BC2, 即(6+x)2=(6-x)2+96,解得x=4, .DF的长为4. 专题5利用勾股定理解决最值或最短路径问题 1,√3[解析]如答图，过点B作BE⊥AC于点E,与AD交于 ,点P,此时PE+PC的值最小.：△ABC是等边三角形，且D 是BC的中点，∴.AD⊥BC,.PC=PB,∴.PE+PC=PB+PE =BE,即BE的长就是PE+PC的最小值..△ABC是一个 边长为2的等边三角形，∴CE=1,,在Rt△BCE中，由勾 股定理，得BE=√22-12=5，.PE+PC的最小值是5. 1题答图 2.解：如答图所示，作点A关于直线MW的对称点C,连接CB 交直线MN于点P,此时AP+PB的值最小，过点B作BD⊥ CA交CA的延长线于点D. D. B A P B 2题答图 .AA'=2 km,BB'=4 km,A'B'=8 km, .'AC=4 km,CD =6 km,BD =8 km. 在Rt△CDB中，CB2=CD2+BD2=62+82=100, ..CB=10km,∴.AP+PB的最小值为10km. 3.C4.A5.C6.10 7.50[解析]如答图，把书架侧面展开，连接AB,则蛛爬行 的最短距离为AB的长，连接AM,交BN于点O.由图可知 0A=30+10=40(cm),0B=40-10=30(cm).在Rt△A0B ·8… 中，AB2=0A2+0B2=402+302=502,所以AB=50cm,即 蜘蛛爬行的最短距离为50cm, B 0 M A 10 cm 30 cm 10 cm 30 cm 10 cm 7题答图 8.解：如答图，把半圆柱体展开. 由题意可知AD=Tr=4r≈12(m), CE=2m,DE=18-2=16(m). 在Rt△ADE中， AE=√DE2+AD2=√162+122=20(m). 在Rt△BCE中， BE=√CE2+BC=√22+122=2√37(m), 所以AE+BE=(20+2√37)m. 答：他滑行的最短距离是(20+2√37)m C E 0 8题答图 9.解：(1)将长方体的前侧面和右侧面展开在同一平面，连接 CD,如答图①，沿DC爬行路程最短 .:长方体盒子的长、宽、高分别是12cm,8cm,30cm, AD=DE +AE=20 cm,AC=AB=15 cm. 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得CD=√AD2+AC= √/202+152=25(cm), 故最短路程是25cm. B 9题答图① 9题答图② (2)如答图②，连接AG,BG. 在R△BFG中，GF=12cm,BF=8cm, 由勾股定理，得GB=√GF2+BF=√122+8=4√3(cm). 在Rt△AGB中，GB=4/13cm,AB=30cm,