第20章 勾股定理综合测试-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（人教版·新教材）黑龙江专版

H专版 八年级数学·下册 学卧 第二十章综合测试 满分：120分 n 题 号 三 总分 得 分 装 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1若3,4，a为勾股数，则a的相反数的值为 ( A.-5 B.5 C.-5或-7 D.5或7 2在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且a2-b2=c2,则下 列说法正确的是 ( A.∠A是直角 B.∠B是直角 线 C.∠C是直角 D.∠A是锐角 3中国象棋因趣味性强，深受大众喜爱，若如图所示的部分棋盘是由边 0 长为1的小正方形组成的，则“车”“帅”两棋子间的距离为( 内 A.1 B.3 C.25 D.√10 楚河 军 汉界 北 西 东 0 6 m “路” 炮 不 B 帅 南 8 m 3题图 4题图 5题图 4如图，在水塔0的东北方向24m处有一抽水站A,在水塔的东南方向 18m处有一建筑工地B,在AB间建一条笔直的水管，则水管AB的长 要 为 ( A.40m B.45m C.30m D.35m 5如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”， 答 在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草. 他们少走的路长为 A.2m B.3m C.3.5m D.4m 6(东营中考)如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与 题 地面垂直，摆绳长2m,向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m, 摆动水平距离BD为1.6m,然后向后摆到最高点C处.若前后摆动 过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面 的高度是 ( 0 D 6题图 A.0.9 cm B.1.3cm C.1.6 cm D.2cm 7如图，在用6个边长均为1的小正方形构成的网格图中，∠α，∠B的 顶点均在格点上，则∠α+∠B= () A.75° B.60° C.45° D.30° C B B D E F G 7题图 8题图 8如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3,沿过点A的 直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C 与点D重合，若折痕与AC的交点为E,则AE的长是 () 43 B. 6 6 6 D.6 9将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为 320cm,在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①.彩旗完全展平时的 尺寸（单位：cm)如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最 小高度h是 A.170 cm B.160 cm C.230 cm D.200 cm 120 9题图① 9题图② 10题图 10如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°， △ACB的顶点A在△BCD的斜边DB上若AD=3AE,则A的值为 A.10 2 B.√10 c D.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11直角三角形的斜边比一条直角边长8，另一条直角边的长为12，则该 直角三角形的斜边长为 12如图，在Rt△AOB中，∠BA0=90°，AB=1,点A恰好落在数轴上表示 -2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P,使 点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是 .B-33) ↑y B A0,1) 0 C0元 1-2 12题图 13题图 13如图，一束光线从y轴一点A(0,1)出发，经过x轴上点C反射后经过 点B(-3,3),则光线从点A到点B经过的路线长是 14(甘肃中考)勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数 学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.如图是勾股 树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个 3 正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三 角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步 骤得到第3个图形，…则第5个图形中共有 个正方形 勾股树 第1个图形第2个图形 第3个图形 14题图 15对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂 美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AB=6,CD=10,则 AD2+BC2= D B 15题图 16题图 16如图，在△ABC中，CE是AB边的中线，CD⊥AB于点D,若AB=5,BC =4,AC=6,则DE的长是 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17(6分)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫 格点 (1)在图①中，AB=√5，以格点为端点，画线段MN=√13； (2)在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD,使它的面积为10. -B 17题图① 17题图② 18(6分)小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所 示)的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长 度.小东经测量得知AB=AD=5m,∠A=60°，BC=12m,∠ABC= 150°.小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度.你同意小明 的说法吗？若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由。 R C 18题图 19(8分)如图，∠A0B=90°，0A=45cm,0B=15cm,一机器人在点B 处看见一个小球从点A出发沿着A0方向匀速滚向点O,机器人立即 从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球. 如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的 路程BC是多少？ C A 19题图 20(8分)如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB,AC分别 交于E,D两点，且CB2=AD2-CD2. (1)求证：∠C=90°； (2)若AC=4,BC=3,求CD的长. D 20题图 21(8分)如图，一架梯子AC的长为2.5m,斜靠在一面墙上，梯子底端 离墙0.7m. (1)这架梯子的顶端离地面有多少米？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为m,底端到垂直墙面的距离为n, m=a,根据经验可知：当2.7<a<5.6时，梯子最稳定，使用时最 安全.若梯子的顶端下滑了0.4m,请问这时使用是否安全，并说 明理由， B C C' 21题图 22(8分)定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM, MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的 勾股分割点 (1)若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,则点M,N是线段AB的勾股分割 点吗？请说明理由； (2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB= 30,AM=5,求BN的长. M B 22题图 23(8分)如图，长方形ABCD中，AB=8,BC=10,在边CD上取一点E, 使得将△ADE沿AE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处 (1)求CE的长； (2)在(1)的条件下，BC边上是否存在一点P,使得PA+PE的值最 小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由， 23题图 24(9分)（广东中考）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著 作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直 角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b,c为一组“勾股数”.如 表中的每一组数都是勾股数， 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10,,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122 (1)请补全上表中的勾股数； (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表 示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明； 4 (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案 是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种 花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距 离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地 最少需要种植多少株花？ 24题图 25(11分)如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开 始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边BC 向点C以每秒2cm的速度移动.若P,Q两点分别从点A,B同时出 发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动 (1)经过6s后，BP= cm; (2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ (3)经过几秒△BPQ的面积等于10，√3cm2? 25题图参考答案及解析 第十九章综合测试 23.解：(1)22 18.解：同意小明的说法理由如下 BC=1.5m, 1.B2.C3.B4.C5.C6.A7.B8.D9.B (2):2+3与4+万m是关于2的共轭二次根式， 如客图，连接BD. AB=AD=5m,∠A=60° 只品=号<27 1D[解折：>0a√悟=a×经-瓜故 -0 ,(2+3)(4+3m)=2. ,△ABD是等边三角形，BD=5m,∠ABD=60 这时使用不安全 选D. 44+3m=,2 2(2-5) 2+5(2+2-4-2, ∠ABC=150°，.∠DBG=90 22.解：(1)点M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下： 1.1(藏2)126013.614-2a167 BC =12 m,BD =5 m, AM2+BN2=2.52+6=42.25,MW=6.52=42.25 .m=-2 .AM+NB'=MN, -CD=√/BC+B0=√/122+5=13(m). 16.15-3[解析】18-65=18-245= 24,解：(1)x≤-1 ∴以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形 答：CD的长度为13m √15+3-215x3=√（/5-3)2=/15-5. (2)由数轴，得a<b<0<c,c-a>0,b-c<0, 点M,N是线段AB的勾股分制点， ,原式=lal-(e-a）+Ib-cl=-a-e+a-b+e=-h (2)设BN=#,则MWN=AB-AM-BN=25-x 17.解：()原式=55××=10. 1 ①当MW为斜边时， 25.解：(1) (2)原式=(6万-子后+4月+25-经5÷2=4 +67-v6 依题意，得MN2=Af+NB, 18题容图 1 23a+m3i-m 19.解：，小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间 ,(25-x)2=25+x2. 18.解：原式=a+b)(a-÷2ab-&-d 相等， x=12: a aa-- n+I+后a+了-么 (3) 1 BC=CA.设AC=xcm,则0C=(45-x)cm ②当BN为斜边时 由勾殷定理可知0B+OC=BC 依题意，得BN2=AM2+MW, 第二十章综合测试 x2=25+(25-x)2 当a=1+反，b=1-2时， 152+(45-x)2=x2,解得x=25 1.A2.A3.C4.C5.D6.A7.C8.A9.A 米■13 原默滑 答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机 综上所述，BN的长为12或13. 1+2-(1-2) 1O.D[解析]：△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD 器人行走的路程BC是25cm =∠ACB=90,∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC,AC=BC, 23.解：(1)，长方形ABCD中，AB■8，BC■10， 19.解：√16<W19<25 20.(1)证明：如答图.连接BD AC2+BC=AF.2AC■AB,∠ECD-∠ACD=∠AB-∠ACD ∠B=∠BCD=90°，CD=AB=8,AD=BC=10. 4<19c5.2<19-2<3. :AB边上的垂直平分线为DE, AC=BC, AD BD. 由折叠知EF=DE.AF=AD=10. ∴a=2,6=1g-4, ∴LACE=∠BCD.在△AEC和△BDC中，{LACE=∠CD, CB=AD -CD 在Rt△ABF中，根据勾股定理，得BF=√/AF-AB=6, o4+2am4+22-高4g 3 3 EC=DC. CB'BD CD', .CF BC-BF =4. ∠C=90. 设CE=x,则EF=DE=CD-CE=8-x 20.解：(1)①(5+2)2=3+4②13-21=3-2 △AEC≌△BDC(SAS),∴.AE=BD,∠E=∠BDC,.∠BDC =45°，，∠BDC+∠ADC=90°，即∠ADB=90°.AD+BD 在Rt△ECF中，根据勾股定理，得CFP+CE=EFP 国，√7x行=9 ■AB,AD+AE=2AC.:AD■3AE,.10AE■2AC 16+x2=(8-)2.,x=3..CE=3 (2)如答图，延长EC至点E"使CE=CE=3,连接AE交BC 2)原式=4×受-√口×写-3+45+4)+(2- 于点P,连接PE.此时PA+PE的值最小，最小值为AE的长 ,CD=8..DE'■CD+CE■8+3■11. ■22-3-7-43+2-3■22-8-53. 11.1312.-513.514.3115.136 21.解：米，y都是实数， 16.2[解析]设BD=x(0<x<5),则AD=5-名.CD⊥AB于 在R肚△ADE中，根据勾股定理，得AE■√AD+DE2■，√2L. 20题答图 -≥0解得=1， 点D,二△ACD和△BCD都是直角三角形，根撼句股定理，得 (2)解：设CD=,则AD=BD=4-x x-1≥0， CD AC AD,CD BC BD,.AC AD BC 在Rt△BCD中，BD-CD=BC, y宁原赋片山 BD,即63-(5-)2=42-x2,解得=0.5.文CE为AB 六(4-x)3-2=3,解得x=8 7 2解：（1)把h=80米代人公式A=2,得80=之×10， 边的中线六B=BE=之B=号×5=25DE=E-D CD的长为经 23题答 ■2.5-0.5=2. 24.解：(1)24 解得：=4（负值舍去）. 21.解：(1)由题意可知∠B=90°，4C=2.5m,BC=0.7m, (2)①根据表中数据(3,4,5).(4,3,5)，(5,12,13)，(7.24 客：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒 17.解：(1)如客图①，线段MN即为所求（画法不唯一 .AB =AC"-BC"=5.76. 25).(8,15,17),(11,60,61).(12,35,37).(13.84,85). 200 (2)根据题意，得A=05×10=40(米)， (2)如答图②，正方形ABCD即为所求（画法不唯一）， .AB =2.4 m. (15,112,113),(16,63,65),(17,144,145),(19,180,181) 把=40米代入=之，得40=子×10， 即这架梯子的顶端离地面有2,4m高 (20,21,29)的规律能用含字母n,m(m>n,且n,m均为正整 (2)这时使用不安全理由如下： 数)的代数式表示三角形的三边设为a■m2-2,b■2mn,c 解得1=22（负值舍去）， 由题意，得AM'=0.4m =m2+n 六tm2.8秒 在Rt△A'BC中，A'B=AB-AA'=2.4-0.4=2(m),A'C= 证明：a2=(m2-n2)2=m-2m2n2+n2, 答：该物品坠落到地面用了约2.8秒. 17题答图① 2.5m, 62=(2mn)2=4m2n2, 19 a2+方2■m+2m2n2+n. 得DQ=3x, 又，DF=BE,,FC=AE ∠BEC=90°，，∠CBE=30°，∠BCA=60° c2=(m2+n2)2=m+2m2n2+m ,四边形AECF是平行四边形， 六∠ACB=∠ACD=60, a2+=c2. 2-=105. 2 ∴，EF与AC互相平分： ,.∠DCF=180°-60°-60°=60 根据勾殷定理的逆定理，得a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n 解得x1=10,=2 .LBCE L DCF. 能够成为直角三角形的三边长： 当x=10时，2x>12,故含去，∴x=2, BC CD,CE =CF, ②根据表中数据可知(6,8,10)，(9,12,15)，(21,28,35)分 则经过2秒△BPQ的面积等于105cm2 ∴.△BCE≌△DCF, 别是(3,4.5)的2倍，3倍，7倍：(10,24,26)，(14,48,50). 第二十一章综合测试 .∠DFC=∠BEC=90 (18,80.82).(22,120,122)分别是(5,12,13)，(7,24.25)， 1.B2.D3.A4.B5.A6.A7.D8.C9.A 17感答图 CF =CE =4, (9.40.41),(11.60,61）的2倍，经验算(9,40,41)满足 10.B[解析]四边形ABCD为正方形，AB=AD=DC,∠D 8.(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴DF=5CF=45, ,AB=CB,∠ABD=∠CBD. m2-n2,2mn,m2+n2 =∠BAD=90,CE=DF,,DE=AF,△DEA≌△AFB 因此，表中数据能用含字母n,m,k(m>,且n,m,k均为正 又，BE=BE,△ABE≌△CBE. AE=BF,LDEA=∠AFB.又：∠DEA+∠DAE=90 △DCF的面积=2CF,DF=7×4x45=85 整数)的代数式表示三角形的三边，设为a=(m2-n2),6 (2)解：，四边形ABCD是正方形 ∠AFB+∠DAE=90°，∠AOF=90°，中AE⊥BF.由 22.解：(1)：∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角。 2mnk.c=(m2+n)k. △DEA≌△AFB得Sam=Sam,S6-Saw=Sam ,∠BAD=90,∠ADB=45 ,∠3+∠4+∠5+∠6=360， 证明：d2=[(m2-2)k]2■m-2m222+状， SA4w,S64nm=Stmm,所以正确的是①，②，④，共3个 'DE=DA∴∠DAE=∠DEA. ,∠3+∠4=360°-（∠5+∠6） =(2mnk )?=4m'nk, ∴.∠DAE+∠DEA+∠ADE=18O0°， 故选B ∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180° .a2+6=mk+2m2n2+n2 ∠DAE=∠DEA=67.5, c2=[(m2+n2)]3=mk+2m2n2+nk 1181241320s144152g5 ∴∠1+∠2=360°-（∠5+∠6）， ∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5 ∠1+∠2=∠3+∠4 a2+2=c2. 16.3-,3[解析]如答困，在E上藏取BC,使BG=CF,连接 19.(1)证明：在矩形ABCD中 (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个 根据勾股定理的逆定理，得(m2-n2)k,2mk,(m2+n2)k能 AD∥BC,∠B=90,∴∠DAF=∠AEB. 内角的和 OG.在正方形ABCD中，AC⊥BD,∠ABC=∠BCD=90°，AC 够成为直角三角形的三边长，所以利用a=(m2-n2)k,6 又：DF⊥AE,∴.∠DFA=90,∠DFA=∠B. (3):∠B+∠C=240°， 2mnk,c=(m2+n2)k能够表示出表中所有勾股数组， =BD,B0=BD,C0=4C,BD,C分别平分∠ABC 在△ADF和△EAB中， .∠MDA+∠NMD=240° (3)根据题意，当最短边种21株花时，最短边的长为(21 LDAF=LAEB, ∠BCD,∴，B0=C0,∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45. :AE,DE分别是∠NAD,∠MDA的平分线. 1)÷1=20(m),由表格知可能的一种三边长为20,21,29， ∠DFA=∠B, ,CF⊥BE,,∠CFE=90°，∴.∠FEC+∠ECF=90 LAD EA. 六LDME=2∠NMD,LADE=2∠NMDA, 下面说明这是符合种最少要求的三角形三边长 '∠EBC+∠FEC=9O°，∴.∠EBC=∠ECF,.∠OBC- 设符合要求的三边长为20，P,9,则20≤p,且20写9，当P或g ∠EBC=LOCD-∠ECF,∠OBG=∠OCF.在△OBG和 △ADF≌△EAB(AAS),.DF=AB. ÷∠DE+∠ADE=(ZNMD+∠MDM)=120, =20时，不符合勾股数的要求 0B=0C. (2)解：：∠DFA=90°，∠FAD=30° AD =2DF. ∠E=I80°-（∠DAE+∠ADE)=60° ·P,9至少是21，不妨设p<q,则有■p2+20, △OCF中，{∠OBG=∠OCF,.△OBG≌△OCF(SAS), BG =CF, .DF AB4..AD8. 23.(I)证明：：EH⊥BH,FG⊥BH,EH∥FG 即g=√+20 20,(1)证明：：0，D分别是边AB,BC的中点 由题意知BF=2!cm,EH=1cm 由q的解析式可知P越大，？越大，反之则有P越小，g越小 ∴∠BOG=∠FOC,OG=0F,∠GOC+∠COF=∠G0C+ ∠BOG■90°.在R△BCE中，根据句殷定理，得BE= OD是△ABC的中位线.OD∥AC :在菱形ABCD中，∠ABC=60° 又：当p=21时，恰有g=29,∴20,21,29是符合种最少要 ,AE∥BC,四边形AEDC是平行四边形， 求的三角形三边长 √BC+CE=√(6)2+(2)2■22，BG=CF■ ∠CBD=30,FG=2BF=1cm, ∴AE=CD 此时一个三角形边上种20+21+29■70（株） BC,CE_6x巨=后在△FCE中，根据勾度定理，得 .EH=FG,四边形EFGH是平行四边形 BE 22 D是边BC的中点 故4个三角形最少需种4×70=280（株）. 又：∠FGH=90°，四边形EFCH是炬形 ∴，BD=CD,∴，AE=BD 25.解：(1)6 (2)解：△BFC与△DEC能全等 ,四边形AEBD是平行四边形. (2)经过6：或号，后，△BP0是直角三角形 :在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=23cm, BG-EF=2-5-=3,-6在R△FOG中，根据 (2)解：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形.证明如下 (3)如答图，过点Q作QD⊥AB于点D, :AB=AC,D是BC边上的中点， LCBF-LABC=30*,CD=BG=AB-2/5 cm. 定理，得0F=3, ∴，AD⊥BC,.∠ADB=90 AB∥CD, 由(1)可知，四边形AEBD是平行四边形. ∠DCH■∠ABC=60 ∴，平行四边形AEBD是矩形 DH⊥BH.,.∠CHD=90°，.∠CDH=90-60°=30° 21.(1)证明：：E为对角线AC上的中点，BE⊥AC. ,∠CDE=∠CBF BE垂直平分AC,∴AB=BC 在△cD明中，GH=cD=7×25=5(em. 25题答图 :四边形ABCD是平行四边形 ÷.∠QDB=90°，.∠DQB=30°， 16题答图 口ABCD是菱形. 由勾殷定理，得DH=√CD-CH=3cm 17.证明：如答图，连接CE,AF (2)解：：BE=EF,∴∠EBF=∠EFB BF =2t em,EH =t em,.'.DE =(3 -1)em 六DB=Q=x 四边形ABCD是平行四边形， CF=CE,∠CEF=∠CFE, ∴，当BF=DE时，△BFC≌△DEC, 在R△DBQ中，由勾股定理， ∴.FC∥AE,AB=CD ∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF ∴2t=3-t,∴1=1 20