第20章 勾股定理综合测试-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（人教版·新教材）河南专版

参考答案及解析 第十九章综合测试 (2+5)(4+3m)=2, 17.解：，小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间 (2)设BN=x,则MN=AB-AM-BN=25-x 1.B2.C3.B4.C5.C6.A7.B8.D9.B 2 2(2-5) 相等， ①当MN为斜边时， 4+5m= 10D【解桥：>0…停ax经。-t 2452+2-4-25. ∴.BC=CA.没AC=xcm,则OC=(45-x)em 依题意，得MN2=An2+NB, -4 ,mm-2 由勾殷定理可知0B+0C2=BC, +(25-x)2=25+x2. 选D. 22.解：(1)x≤-1 .152+(45-x)2=x2,解得￥=25 米=12： 1.1(孩2)12513.-2a14.7 (2)由数轴，得4<b<0<e,.c-a>0,b-c<0. 答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机 ②当BN为斜边时 原式=lal-(c-a)+lb-cl=-a-e+a-6+e=-b. 器人行走的路程BC是25em 依题意，得BN=AM+MN, 15./15-3[解析]√18-65=/18-245= √15+3-2/15x3=(/15-3万=5-5. a赣，万 18.(1)证明：如答图，连接BD .x2=25+(25-)2. =7-6 :AB边上的垂直平分线为DE」 米=13. 16,解：(1)原式=55×5×2=10， 1 23+m32-m AD=BD. 综上所述，BN的长为12或13. CB =AD-CD 21.解：(1)，长方形ABCD中，AB=8,BC=10, (2)原式=(6厅-子万+4)+25=8万+25=号 +I+后a+I-公 (3) CB =BD CD. .∠B=∠BCD=90°，CD=AB=8,AD=BC=10. 17.解：原式=a+b)(a-b),2a--a ∠C=90° 由折叠知EF=DE,AF=AD=10. 第二十章综合测试 a 在Rt△MBF中，根据勾股定理，得BF■√/AFP-AB=6, -02-8 =a+b)(a-b】,a 1.A2.A3.C4.C5.D6.A7.C8.A9.A 2.CF BC-BF =4. 1O.D[解析]：△ACB与△ECD都是等接直角三角形，.∠ECD 设CE=x,则EF=DE=CD-CE=8-x 当a=1+2,b=1-2时， =∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC,AC=BC, 在Rt△ECF中，根据勾股定理，得CF+CE=EF】 原式=1+2+1-2 2 AC2+BC=ABE.2AC=AB,∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD 16+x■(8-x)2,x■3，CE=3. 1+2-(1-2) AC=BC, 18题客图 (2)如答图，延长EC至点E使CE=CE=3,连接AE交BC 18.解：6<19</25 ∴LACE=LBCD.在△AEC和△BDC中，LACE=LBCD (2)解：设CD=x,则AD=BD=4-x 于点P,连接PE.此时PA+PE的值最小，最小值为AE的长 4<19<5,2<19-2<3, EC=DC, 在Rt△BCD中，BD-CD3=BC2, ,CD=8..DE=CD+CE=8+3=11 ,a=2,b=√/19-4. △AEC≌△BDC(SAS),AE=BD,∠E=∠BDC,∠BD 六(4-P-3,解得子 在R△ADE中，根据勾骰定理，得AE=√AD+DE=√/22. 3 3 =45°，，∠BDC+∠ADC=90,即∠ADB=90°.AD+BD =AB,..AD +AE =2AC..AD 3AE,..10AE =2AC 六6GD的长为？ 19.解：，y都是实数 -0解得. 怨卓6 19.解：(1)由题意可知∠B=90°，4G=2,5m,BC=0.7m AB =AC BC =5.76, lx-1≥0， 11.1312.-513.514.136 AB =2.4 m. 21题客图 分原武片小 15.2[解析]设BD■x(0<x<5),则AD■5-名：CD⊥AB于 即这架梯子的顶端离地面有2.4m高 22.解：(1)24 点D,△ACD和△BCD都是直扇三角形，根据句股定理，得 (2)这时使用不安全，理由如下： (2)①根据表中数据(3,4,5)，(4,3,5)，(5,12,13)，(7,24， 20,解：1)把=80米代人公式A=7,得80=7×10㎡。 CD =AC AD,CD'BC BD...AC AD'BC 由题意，得AM'■0.4m 25),(8,15,17),(11,60.61),(12,35,37),(13.84,85), 解得t=4(负值舍去). BD2,即6-(5-x)2=43-x2,解得x=0.5.文CE为AB 在RL△A'BC中，A'B=AB-AA'=2.4-0.4=2(m),A'C= (15.112.113).(16.63.65),(17,144,145),(19,180,181) 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒 边的中线AE=E=子B=3×5=25,DE=BB-D 2.5m, (20,21,29)的规律能用含字母n,m(m>n,且n,m均为正整 200 BC'=1.5 m, 数)的代数式表示三角形的三边设为a=m2-m2,b=2mn,c (2)根据题意，得h=a5×10=0(米). =2.5-0.5=2 =m2+m3, 把=40米代入h=之，得40=子×10。 16.解：(1)如客图①，线段MN即为所求（画法不唯一）. ǒ贤品号<27， 证明：a2=(m2-n2)2=m-2m2n2+n (2)如答图②，正方形ABCD即为所求（画法不唯一）. ,这时使用不安全 6■(2mn)2▣4m2n2, 解得t=22(负值舍去)， 20.解：(1)点M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下： a2+62=m+2m2n2+n ∴.=28秒 AM+BW=2.52+62=42.25,MN=6.52=4225, e2=(m2+n2)2=m+2m2n3+n 客：该物品坠落到地面用了约2.8秒 .AM NB =MN, .a2+=e2 21.解：(1)22 :以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形 根据勾股定理的逆定理，得a■m2-n2.b■2mn,c■m2+ (2)2+5与4+，3m是关于2的共辄二次根式， 16题答图① “点M,N是线段AB的勾股分割点. 能够成为直角三角形的三边长： 19 ②根据表中数据可知(6,8,10)，(9,12,15)，(21,28,35)分 解得名1=10.，=2 (2)解：：四边形ABCD是正方形 ∴DF=5CF=45, 别是(3,4.5)的2倍，3倍，7倍：(10.24,26)，(14,48.50). 当x■10时，2x>12,故含去，∴x■2， ∠BAD=90°，∠ADB=45 (18,80.82),(22,120,122)分别是(5,12,13)，(7,24.25) 则经过2秒△BPQ的面积等于105cm DE=DA,∠DAE■∠DEA, △DCF的面积=2CF·DF=立×4×45=8,5 (9.40,41),(11,60,61)的2倍，经验算(9,40,41)满足 第二十一章综合测试 ·∠DAE+∠DEA+∠ADE=180 20.解：(1.∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角 m2-n2,2mn,m3+n2 1.B2.D3.A4.B5.A6.A7.D8.C9.A ,∠DAE=∠DEA=67.5°， .∠3+∠4+∠5+∠6=360°， 因此，表中数据能用含字母n,m,k(m>n,且n,m,k均为正 0.B[解析]四边形ABCD为正方形，AB=AD=DC,∠D ,∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°. ∠3+∠4=360°-（∠5+∠6） 整数)的代数式表示三角形的三边，设为a=(m2-n2)k,b= 17.(1)证明：在矩形ABCD中， ∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°， =∠BAD=90,CE=DF,∴DE=AF,∴△DEA≌△AFB 2mnk.c■(m2+n2)k AD∥BC,∠B=90°，.∠DAF=∠AEB. ∠1+∠2=360°-（∠5+∠6）. ∴，AE=BF.∠DEA=∠AFB.又：∠DEA+∠DAE=90 证明：a2=[(m2-m2)k]泸=mk2-2m2n2k+m2 :.∠1+∠2=∠3+∠4 六∠AFB+∠DAE■90°，，∠AOF■90°，即AE⊥BF.由 又：DF⊥AE,.∠DFA=90°，∴.∠DFA=∠B b=(2mnk)2=4m'n, △DEA≌△AFB得Sa0A=SA4n,.SAw4-Saw=S4m- 在△ADF和△EAB中， (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个 .a+=mk+2mnn Sr=Smr,所以正确的是①，②，④，共3个 ∠DAF=∠AEB, 内角的和。 e2=[(m2+n2)k]2=mk2+2m2n2+n'2 故选B. ∠DFA=∠B, (3):∠B+∠C=240°， a2+2=c2 11.812.413.205°14.4 LAD EA. .∠MDA+∠NAD=240 根据勾服定理的逆定理，得(m2-n2)k,2mmk,(m2+n2)k能 △ADF≌△EAB(AAS),DF=AB. ,AE,DE分别是∠NAD.∠MDA的平分线 够成为直角三角形的三边长，所以利用a=(m2-2)k,b= 15.3,3【解折)如答图，在E上藏取BG,使BG=CF,连接 (2)解：：∠DFA=90°，∠FAD=30 2mk,c■(m2+n2)k能够表示出表中所有勾股数组， 六∠DME=}∠NMD,LADE=子∠AMA, OG.在正方形ABCD中，AC⊥BD,∠ABC=∠BCD=90°，AC AD =2DF. (3)根据题意，当最短边种21株花时，最短边的长为(21 1)+1=20(m),由表格知可能的一种三边长为20,21.29， =BD,B0=BD,C0=号AC,BD,CA分别平分∠ABC, DF =AB=4...AD=8. ∠DAE+LADE=(LNMD+∠MDA)=120, 18.(1)证明：O,D分别是边AB,BC的中点， ∴.∠E=1800-(∠DAE+∠ADE)=60 下面说明这是符合种最少要求的三角形三边长 ∠BCD,,B0=C0,∠B0C=90.∠OBC=∠OCD=45° ∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC. 21,(1)证明：：EH⊥BH,FG⊥BH.EH∥FC 设符合要求的三边长为20，P,4,则20≤p,且20≤9，当p或g CF⊥BE,∴∠CFE=90°，∠FEC+∠ECF=90 :AE∥BC,四边形AEDC是平行四边形， 由题意知BF=2Icm,EH=1cm =20时，不符合勾股数的要求， ,∠EBC+∠FEC=90°，·∠EBC■∠ECF,∠OBC .AE =CD. :在菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴P,9至少是21，不妨设p<4,则有g=p2+20, ∠EBC=∠OCD-∠ECF,∠OBG=∠OCF.在△OBG和 D是边BC的中点 即g=√p+20. .OB=OC, BD =CD,..AE BD, LCBD=30FG=BF=tcm, 由g的解析式可知P越大，4越大，反之则有P越小，9越小 △OCF中，∠OBG=∠OCF,.△OBG≌△OCF(SAS), .四边形AEBD是平行四边形. ∴EH=FG四边形EFGH是平行四边形 又当P=21时，恰有9=29,20,21,29是符合种最少要 BG CF, (2)解：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形.证明如下： 又，∠FGCH=90°，四边形EFGH是矩形 求的三角形三边长 .∠B0G=∠F0C,OG=0F,∴.∠G0G+∠C0F=∠G0C+ AB=AC,D是BC边上的中点， (2)解：△BFC与△DEC能全等 此时一个三角形边上种20+21+29▣70（株）. ∠BOG=90,在Rt△BCE中，根携勾殷定理.得BE= AD⊥BC,∠ADB=90. :在菱形ABCD中，∠ABC■60°，AB=25cm, 故4个三角形最少需种4×70=280（株）。 BC+CE=√(6)2+(2)2■22，BG=CF■ 由(1)可知，四边形AEBD是平行四边形， 23.解：(1)6 (2)经过6：或号，后，△BP0是直角三角形 BC·CE_石x巨-5，在Rt△FCE中，根据勾股定理，得 二平行四边形AEBD是矩形. .LCBF-ARC=30.CD=RC=AB=2/5 cm. BE 22 19.(1)证明：：E为对角线AC上的中点，BE⊥AC, AB∥CD, ∴BE乘直平分AC,AB=BC ∴，∠DCH=∠ABC=60 (3)如答图，过点Q作QD⊥AB于点D. ?四边形ABCD是平行四边形， :DH⊥BH..∠CHD=90°，∴.∠CDH=90°-60°=30° BG-BF=2-5-_3，-6在m△F0G中，根据 二口ABCD是菱形 ∠CDE=∠CBF 22 2 (2)解：：BE=EF,.∠EBF=∠EFB. 服定理，得0F3- CF=CE,.LCEF=∠CFE, 在△cH中，CH=CD=7x25=5(em. 2 ∴∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF 由勾股定理，得DH=√CD-CF=3m LBEC=90°，.∠CBE=30°，∠BCA=60°， BF=2t cm,EH =tem,:.DE=(3 -t)cm, 23 ∠ACB=∠ACD=60°， 当BF=DE时，△BFC≌△DEC, .∠QDB=90°，.∠DQB=30° ∠DCF=180°-60-60°=60° .2=3-t,1=1 DB=780=* .∠BCE=∠DCF. 22.解：(1)3 在Rt△DBQ中，由勾股定理 15答图 BC=CD,CE=CF, (2)BE=FG 得DQ=3x, 6.(1)证明：，四边形ACD是正方形， ,△BCE≌△DCF, (3)成立.理由： (12-5.105. ∴.AB=CB,∠ABD=∠CBD ∴LDFC=∠BEC=90 设AD与BP的交点为N,过点D作DM⊥AE,交AE的延长 又：BE=BE,△ABE≌△CBE CF=CE=4, 线于点M,则四边形EMDG是矩形， 20N专版 八年级数学·下册 学卧 第二十章综合测试 满分：120分 n 题 号 三 总分 得 分 装 、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有 一个是正确的)》 1若3,4，a为勾股数，则a的相反数的值为 翼订 A.-5 B.5 C.-5或-7 D.5或7 2在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且a2-b2=c2,则下 列说法正确的是 A.∠A是直角 B.∠B是直角 线 C.∠C是直角 D.∠A是锐角 3中国象棋因趣味性强，深受大众喜爱，若如图所示的部分棋盘是由边 灯 长为1的小正方形组成的，则“车”“帅”两棋子间的距离为（) 救 内 A.1 B.3 C.25 D.√10 楚河 ④ 汉界 北 6 n “路” 不 炮 B 师 南 8 m 3题图 4题图 5题图 4如图，在水塔0的东北方向24m处有一抽水站A,在水塔的东南方向 18m处有一建筑工地B,在AB间建一条笔直的水管，则水管AB的长 要 为 A.40m B.45m C.30m D.35m 5如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”， 答 在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草. 他们少走的路长为 () A.2m B.3m C.3.5m D.4m 6(东营中考)如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与 题 地面垂直，摆绳长2m,向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m, 摆动水平距离BD为1.6m,然后向后摆到最高点C处.若前后摆动 过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面 的高度是 ( 0 D 6题图 A.0.9 cm B.1.3cm C.1.6 cm D.2cm 7如图，在用6个边长均为1的小正方形构成的网格图中，∠，∠B的 顶点均在格点上，则∠+∠B= A.75° B.60 C.45 D.30° M aB A B 7题图 8题图 8如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3,沿过点A的 直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C 与点D重合，若折痕与AC的交点为E,则AE的长是 () B c D. 5 9将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为 320cm,在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①.彩旗完全展平时的 尺寸（单位：cm)如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最 小高度h是 A.170 cm B.160 cm C.230 cm D.200 cm 120 9题图① 9题图② 10题图 10如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°， △ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.若AD=3ME,则的值为 A.0 2 B.√10 Q.5 D.5 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11直角三角形的斜边比一条直角边长8，另一条直角边的长为12，则该 直角三角形的斜边长为 12如图，在Rt△AOB中，∠BAO=90°，AB=1,点A恰好落在数轴上表示 -2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P,使 点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是 B(-3,3) A0,1) 12题图 13题图 13如图，一束光线从y轴一点A(0,1)出发，经过x轴上点C反射后经过 点B(-3,3),则光线从点A到点B经过的路线长是 3 14对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂 美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AB=6,CD=10,则 AD2+BC2= E DB 14题图 15题图 15如图，在△ABC中，CE是AB边的中线，CD⊥AB于点D,若AB=5,BC =4,AC=6,则DE的长是 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16(10分)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫 格点。 (1)在图①中，AB=√5，以格点为端点，画线段MN=√13； (2)在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD,使它的面积为10. -L -F- 16题图① 16题图② 17(9分)如图，∠A0B=90°，0A=45cm,0B=15cm,一机器人在点B 处看见一个小球从点A出发沿着A0方向匀速滚向点O,机器人立即 从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球. 如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的 路程BC是多少？ C 17题图 18(9分)如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB,AC分别 交于E,D两点，且CB2=AD2-CD2 (1)求证：∠C=90°； (2)若AC=4,BC=3,求CD的长 18题图 19(9分)如图，一架梯子AC的长为2.5m,斜靠在一面墙上，梯子底端 离墙0.7m. (1)这架梯子的顶端离地面有多少米？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为m,底端到垂直墙面的距离为n, =a,根据经验可知：当2.7<a<5.6时，梯子最稳定，使用时最 n 安全.若梯子的顶端下滑了0.4m,请问这时使用是否安全，并说 明理由、 C C 19题图 20(9分)定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM, MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的 勾股分割点. (1)若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,则点M,N是线段AB的勾股分割 点吗？请说明理由； (2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB= 30,AM=5,求BN的长， B 20题图 21(9分)如图，长方形ABCD中，AB=8,BC=10,在边CD上取一点E, 使得将△ADE沿AE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处. (1)求CE的长； (2)在(1)的条件下，BC边上是否存在一点P,使得PA+PE的值最 小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。 21题图 22(10分)（广东中考）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著 作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直 角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b,c为一组“勾股数”.如 表中的每一组数都是勾股数 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10,,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122 (1)请补全上表中的勾股数； (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表 示α，b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明； (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案 是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种 花，每个三角形顶，点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距 离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地 最少需要种植多少株花？ 22题图 23(10分)如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开 始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边BC 向点C以每秒2cm的速度移动.若P,Q两点分别从点A,B同时出 发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动 (1)经过6s后，BP= cm; (2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ (3)经过几秒△BPQ的面积等于10，√3cm? Q P 23题图