1.1 多边形的内角和与外角和课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦多边形外角和定理，通过小明跑步情境导入，复习三角形外角及内角和知识，逐步探究三角形、四边形、五边形外角和，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解外角和与边数无关的核心结论。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过分步推导发展推理思维，结合例题练习强化应用意识。如用跑步问题引导观察现实角度关系，从三角形到n边形推导培养逻辑推理，正多边形外角计算例题提升应用能力。助力学生直观理解与逻辑构建，方便教师系统开展教学。

多边形的外角和 北师大版八年级下册数学 1.7.2013 大家好，欢迎来到今天的数学课堂。今天我们将一起探索一个非常有趣的几何概念——多边形的外角和。 ‹#› 目录 1 复习旧知 2 情境导入 3 探究新知 4 例题讲解 5 课堂练习 6 课堂总结 7 作业布置 1.7.2013 本节课我们将按照以下七个部分进行，从复习旧知识开始，逐步深入到今天的新知识。 ‹#› 复习旧知 三角形外角示意图 什么是三角形的外角？ 三角形的一边与另一边的延长线组成的角。 三角形的内角和是多少度？ 答案：180° 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下。大家还记得什么是三角形的外角吗？三角形的内角和又是多少度呢？ ‹#› 情境导入 问题：小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。他每跑完一圈，身体转过的角度总和是多少？ 1.7.2013 请看这个情境，小明沿着五边形广场跑步，当他跑完一圈回到起点时，他身体转过的角度总和是多少呢？这个问题的答案，就隐藏在我们今天要学习的知识里。 ‹#› 探究新知 多边形外角定义 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角。 想一想 请在下图中找出四边形和五边形的外角。 四边形外角 五边形外角 1.7.2013 类比三角形外角的定义，我们可以得到多边形外角的定义。大家看屏幕，谁能指出这个四边形和五边形的外角分别是哪个角？ ‹#› 探究新知 外角和定义 在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和。 思考与探索 五边形的外角和是多少？ 1.7.2013 了解了外角的定义，那什么是多边形的外角和呢？就是在每个顶点取一个外角，然后把它们加起来。大家猜一猜，这个五边形的外角和会是多少度？ ‹#› 探究三角形外角和 推导过程 ∠1 + ∠4 = 180° (平角定义) ∠2 + ∠5 = 180° (平角定义) ∠3 + ∠6 = 180° (平角定义) (∠1+∠2+∠3) + (∠4+∠5+∠6) = 540° 又∵ ∠4 + ∠5 + ∠6 = 180° (三角形内角和) 结论：三角形的外角和是 360° 1.7.2013 我们先来研究一下最简单的多边形——三角形。通过平角和内角和的关系，我们可以推导出三角形的外角和是360度。大家可以跟着我一起算一遍。 ‹#› 探究四边形外角和 推导过程 ∠1 + ∠5 = 180°, ∠2 + ∠6 = 180° ∠3 + ∠7 = 180°, ∠4 + ∠8 = 180° 四个内角和 + 四个外角和 = 4 × 180° = 720° 又∵ 四边形内角和 = (4-2) × 180° = 360° ∴ 四个外角和 = 720° - 360° = 360° 结论：四边形的外角和是360° 1.7.2013 那四边形呢？我们用同样的方法来推导一下。大家可以看到，四边形的外角和也是360度。这是一个巧合吗？ ‹#› 探究五边形外角和 提出问题 五边形的外角和是多少？ 动手探究 请大家分组讨论，用刚才的方法推导一下五边形的外角和。 结论：五边形的外角和是 360° 1.7.2013 现在，请大家分组讨论，用我们刚才学过的方法，自己动手推导一下五边形的外角和。看看你们能得出什么结论。 ‹#› 归纳总结 定理 n边形的外角和等于360°。 注意 多边形的外角和与边数无关。 1.7.2013 通过对三角形、四边形、五边形的探究，我们可以归纳出一个重要的定理：任意n边形的外角和都等于360度。这个定理非常神奇，它告诉我们，多边形的外角和与它的边数无关！ ‹#› 想一想 正n边形的每个外角是多少度？ 得出结论 正n边形的每个外角 = 1.7.2013 既然我们知道了多边形的外角和是360度，那对于一个正多边形来说，它的每个外角是多少度呢？大家可以思考一下。 ‹#› 例题讲解 例1：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形。 则它的内角和为 (n-2) × 180°，外角和为 360°。 根据题意，得 (n-2) × 180° = 3 × 360° 解得 n = 8 答：这个多边形是八边形。 1.7.2013 我们来看一个例题。一个多边形的内角和是它外角和的三倍，求这个多边形的边数。大家可以先尝试自己做一下，然后再看我的解答。 ‹#› 例题讲解 例2：一个正多边形的每个外角都等于36°，它是几边形？ 解：设这个正多边形是n边形。 则它的每个外角为 。 根据题意，得 = 36°，解得 n = 10。 答：这个正多边形是正十边形。 1.7.2013 再来看一个关于正多边形的例子。一个正多边形的每个外角是36度，求它的边数。这个问题就比较直接了，大家可以很快算出来。 ‹#› 课堂练习 1.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2.若一个多边形增加一条边，那么它的内角和（ ） A. 增加180° B. 增加360° C. 减少360° D. 不变 1.7.2013 理论学习结束了，我们来做几道练习题巩固一下。请看第一题和第二题，选择正确的答案。 ‹#› 课堂练习 3.正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4.已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ） A. 十边形 B. 十一边形 1.7.2013 继续看第三题和第四题，这两道题稍微复杂一些，需要大家仔细思考。 ‹#› 课堂练习 5. 如图，在正五边形ABCDE中，FB⊥AB于点B，则∠BFC等于（ ） A 36° B 54° C 60° D 72° 1.7.2013 第五题是一道几何计算题，结合了正多边形和直角三角形的知识。大家可以尝试在图上标出已知条件，然后进行计算。 ‹#› 课堂练习 第 6 题 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。 提示：尝试利用三角形外角和定理。 1.7.2013 最后一题，我们来求一个复杂图形的角度和。大家可以思考一下，如何利用我们今天学的外角和定理来解决这个问题。 ‹#› 拓展延伸 当你沿着多边形的边行走时，每经过一个顶点，你都需要转一个角度，这个角度就是该顶点的外角。当你走完一圈回到起点时，你一共转了360°。 行走视角，直观感受外角和 结论：无论多边形有多少条边，其外角和恒为360°。 1.7.2013 除了通过数学推导，我们还可以从另一个角度来理解多边形的外角和。大家可以想象一下自己沿着多边形的边行走，你身体转过的角度总和就是这个多边形的外角和，也就是360度。 ‹#› 课堂总结 1.多边形外角的定义 2.多边形外角和定理：n边形的外角和等于360° 3.正多边形每个外角的度数： 4.利用外角和定理解决实际问题 1.7.2013 好了，我们来总结一下今天学习的主要内容。我们学习了多边形外角的定义，掌握了外角和定理，并且学会了如何利用这个定理来解决一些实际问题。 ‹#› 作业布置 必做题 1. 一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 2. 一个十边形的每一个内角都相等，那么这个十边形的每一个外角等于（ ） A. 144° B. 72° C. 36° D. 18° 选做题 3. 一个多边形除了一个内角等于a，其余角的和等于2750°，求a的值及这个多边形的边数。 1.7.2013 今天的课就到这里。这是我们今天的作业，分为必做题和选做题。希望大家认真完成，巩固今天所学的知识。 ‹#› $