第2章 圆（复习课件）数学湘教版九年级下册

单元复习课件 第2章 圆 湘教版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 4.垂径定理、圆周角定理的逻辑推理和综合运用；解决与弧长、切线相关的复杂几何问题。 1．理解圆、弧、弦、等圆、等弧等概念，掌握点与圆位置关系判定方法。 2．掌握圆的性质、垂径定理、圆心角和圆周角定理；理解直线与圆的位置关系。 3.概念、性质的理解与掌握；定理、扇形面积公式的灵活运用。 单元学习目标 单元知识图谱 A B 考点一、与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.记作。其中，点叫圆心。 O 2.弦:连结圆上任意两点的线段.即线段 C D 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.即线段。其中，线段或叫半径。 4.圆弧：圆上任意两点间的部分，简称弧。其中，小于半圆周的圆弧叫劣弧，记作；大于半圆周的圆弧叫优弧，记作. M 5.等圆和等弧：能够重合的两个圆叫作等圆；能够互相重合的弧叫等弧。 注意：直径是最长的弦，但弦不一定是直径。 考点串讲 2．圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 考点二、圆的对称性 1．圆的旋转任意性：圆绕着其圆心旋转任意角度都与原来图形重合。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 考点串讲 考点三、圆心角、圆周角 2．圆周角定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫圆周角，即。叫作圆周角所对的弧。 1．圆心角定义：顶点在圆心，角两边都与圆相交的角叫圆心角，即。叫作圆心角所对的弧。 3．圆心角性质：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 ①要注意前提条件：在同圆和等圆中 ②要灵活转化. 考点串讲 考点三、圆心角、圆周角 5．圆周角定理推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等 。如图。 4．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.即 [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”． 考点串讲 考点三、圆心角、圆周角 6．圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。如图 8．圆周角定理推论3：圆的内接四边形的对角互补。如图 7．圆内接四边形：圆上四点A、B、C、D顺次连接得到的四边形，叫作圆内接四边形，如图；这个圆叫作这个四边形的外接圆。 考点串讲 考点四 、垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的　 　. 2．垂径定理推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 两条弧 3．垂径定理推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。 · O A B D C P ①过圆心（直径） ②垂直于弦 ③平分弦(弦不是直径） “知二推二”） ④平分弦所对的弧(优弧、劣弧） 考点串讲 考点五 、圆与三角形 1．过不在同一直线上的三点，可以作一个圆且只可以作一个圆。 2．外接圆：经过一个三角形各个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆。这个三角形叫做圆的内接三角形。 O 3．外心：外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。外心是三条边的垂直平分线的交点；外心到三角形的三个顶点的距离相等.即。 考点串讲 考点五 、圆与三角形 4．内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外接三角形。 5．内心：三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。内心就是三角形三条角平分线的交点；内心到三角形的三边的距离相等.即。 A B C F E D O 考点串讲 考点六 、与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 ①点在圆内； ②点在圆上； ③点在圆外。 d为点到圆心的距离 r d P o 考点串讲 考点六 、与圆有关的位置关系 2．直线与圆的位置关系： 设为圆的半径，为圆心到直线的距离 直线与圆的位置关系 图形 d与r的关系 公共点个数 公共点名称 直线名称 2个 交点 割线 1个 切点 切线 0个 相离 相切 相交 d＞r d=r d＜r d d d 考点串讲 考点六 、切线长定理 1．切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线，叫作圆的切线。 2．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。 3．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 P A B O 数学表达：已知与圆相切。 则 考点串讲 考点七 、与圆有关的计算 1．弧长计算公式：半径为的圆中，的圆心角所对的弧长 2．扇形面积计算公式：半径为的圆中，的扇形面积， 或. O 考点串讲 考点八 、正多边形与圆 1．正多边形：把各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形。 2．内接正多边形：将一个圆等分，依次连接各等分点所得的多边形叫做这个圆的内接多边形。这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心。 3．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 4．正多边形的有关计算：转化为直角三角形有关计算。 考点串讲 题型一、点与圆的位置关系 例1 的圆心在坐标原点，半径为5，点的坐标为，则点与的位置关系是（ ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．点在轴上 解：∵圆心O在坐标原点，点A的坐标为， ∴， ∵的半径为5，∴半径， ∴点A在上．故选：A． 解析：考查了点与圆的位置关系，通过计算点A到圆心O的距离，与圆的半径比较，判断点A在圆上. A 题型剖析 题型一、点与圆的位置关系 方法总结： 先利用已知条件，运用勾股定理、线段长度等，求出所有相关点到圆心的距离。 熟记点与圆的位置关系：点在圆内（）；点在圆上（）；点在圆外（）。 遇到直角三角形，优先用勾股定理。 题型剖析 题型一、点与圆的位置关系 练一练 （25-26九年级上·上海静安·月考）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为 ． 解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13，且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内，须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 解析：考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内． 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定半径r的取值范围． 题型剖析 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 例2 如图，是的直径，．若，则的度数为（    ） A．140° B．70° C．65° D．55° 解：是的直径，， ， ， 故选：B． B 解析：考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等的性质是解答本题的关键．由在同圆中等弧所对的圆心角相等得从而求得答案． 题型剖析 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 方法总结： 第一步：识别直径、弧相等、圆心角等已知条件。 第二步：利用平角或周角性质，求出相关的圆心角。 第三步：根据 “等弧对等圆心角” 或 “等圆心角对等弧”，完成角度的转化与计算。 题型剖析 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 练一练 （2025·广西南宁·一模）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 解析：本题考查圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质；首先根据对称与等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得半径的长，进而得到，解题即可． 题型剖析 题型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 练一练 （2025·广西南宁·一模）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 解：与关于直线对称， ，且， 与的半径相等， 设半径为， ， 由勾股定理可知，即，解得， ， ，故答案为：． 题型剖析 题型三、垂径定理 例3 （25-26九年级上·辽宁大连·期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点E，寸，寸，则半径的长度是（   ） A．13寸 B．26寸 C．12寸 D．24寸 A 解析：考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，由得到点E为的中点，设圆O的半径的长为，在中，根据勾股定理求出的值，即为圆的半径． 题型剖析 题型三、垂径定理 例3（25-26九年级上·辽宁大连·期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点E，寸，寸，则半径的长度是（   ） A．13寸 B．26寸 C．12寸 D．24寸 A 解：如图，连接 ， 寸， 寸， 设圆O的半径的长为，则， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 解得， 半径的长度是13寸，故选：A． 题型剖析 题型三、垂径定理 方法总结： 第一步：连接圆心与弦的一个端点（如），构造直角三角形。 第二步：根据垂径定理，求出半弦长。 第三步：设半径为，用表示弦心距（，依位置而定）。 第四步：在直角三角形中应用勾股定理，建立方程求解。 题型剖析 题型三、垂径定理 练一练 （25-26九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． （1）证明：为的直径，是弦，且， ， ； 解析：重点考查垂径定理及推论，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 题型剖析 题型三、垂径定理 练一练 （25-26九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． （2）解：为的直径，是弦，且于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 弦的长为． 题型剖析 题型四、圆周角定理 例4 （25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的外接圆，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解：∵，∴优弧的度数为， ∴劣弧的度数为，即， ∵，∴； 故选：A． A 解析：考查圆周角定理及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角的定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 题型剖析 题型四、圆周角定理 方法总结： 第一步：观察图形，识别圆内接四边形或弧所对的圆周角、圆心角。 第二步：用圆内接四边形性质或圆周角定理，求出关键的圆心角或圆周角。 第三步：结合等腰三角形（半径相等）或直角三角形的性质，计算目标角度。 题型剖析 题型四、圆周角定理 练一练 （25-26九年级上·浙江金华·期中），是的两条弦，且，于点，连接．若的半径为，则弦的长为 ． 解析：考查了圆周角定理、等弦对等弧的性质以及勾股定理，熟练掌握圆周角与圆心角的数量关系是解题的关键． 题型剖析 题型四、圆周角定理 练一练 （25-26九年级上·浙江金华·期中），是的两条弦，且，于点，连接．若的半径为，则弦的长为 ． 解：连接、、． ∵，∴，即， ∴，故， ∵，∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴在中，，故答案为：． 题型剖析 题型五、直径所对的圆周角是直角 例5 （25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是的内接锐角三角形，是的直径．若，和，则和满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 解题思路：考查了圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到，进而可得． 解：如图，连接， ∵，∴， ∵是的直径， ∴． 故选：C． 题型剖析 题型五、直径所对的圆周角是直角 方法总结： 第一步：观察图形，寻找直径，连接辅助线构造直角三角形 第二步：利用 “同弧所对的圆周角相等”，将已知角转化为直角三角形中的角。 第三步：结合直角三角形两锐角互余的性质，建立角度之间的关系式。 题型剖析 解：∵是的直径，∴， ∵与对应同一段弧，∴， ∴，∴，∴， ∴．故答案为：． 题型五、直径所对的圆周角是直角 练一练 （25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的直径，是的弦．若，则 ． 解题思路：主要考查了直径所对的圆周角为、勾股定理、同弧所对的圆周角相等、等角对等边等性质等知识点，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 题型剖析 题型六、圆内接四边形 例6 （25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 解：在中，， ， ． 故选：D． D 解题思路：考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质，先求出，再求． 题型剖析 题型六、圆内接四边形 方法总结： 第一步：观察图形，寻找直径，连接辅助线构造直角三角形 第二步：利用 “同弧所对的圆周角相等”，将已知角转化为直角三角形中的角。 第三步：结合直角三角形两锐角互余的性质，建立角度之间的关系式。 题型剖析 练一练 （25-26九年级上·陕西商洛·月考）如图，四边形内接于是的直径，，求的度数． 题型六、圆内接四边形 解：∵四边形内接于，∴， ∵，∴， ∵是的直径，∴， ∴． 解题思路：考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 题型剖析 题型七、圆的作图 例7 （25-26九年级上·江西新余·月考）如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 解：如图，直线是的垂直平分线，以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心．所以经过点，以的长为半径能画出2个圆， 故选：B． 解题思路：考查了圆的作图，熟练掌握确定圆的条件是解题关键．先画出的垂直平分线为直线，再以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心，据此解答即可得． 题型剖析 题型七、圆的作图 方法总结： 第一步：分析题目中圆需要经过的点，确定圆心的轨迹（如两点的垂直平分线）。 第二步：根据题目给定的半径条件，确定圆心的具体位置（如以某点为圆心、定长为半径画弧，与轨迹的交点）。 第三步：数出交点的个数，即为可画出的圆的个数。 题型剖析 练一练 （25-26九年级上·江苏徐州·月考）已知，，用圆规和直尺作出它的外接圆O． 题型七、圆的作图 解：如图，即为所求； ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴是的外接圆． 题型剖析 题型八、直线和圆的位置关系 例8 （25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，若的半径为6，圆心到一条直线的距离为4，则这条直线可能是（   ） A．l1 B． C． D．都不是 解：∵的半径为6，圆心O到一条直线的距离为4， ∴与该直线相交，∴这条直线可能是， 故答案为：A． 解题思路：考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 题型剖析 题型八、直线和圆的位置关系 方法总结： 第一步：明确题目给出的圆的半径和圆心到直线的距离。 第二步：比较与的大小，确定直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）。 第三步：结合图形或选项，选出符合位置关系的直线。 题型剖析 练一练 （25-26九年级上·北京·期中）在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是 ． 题型八、直线和圆的位置关系 解：∵，∴， 故点A到直线的距离等于， 由的半径为3，且， ∴边所在直线与相离。 故答案为：相离． 题型剖析 题型九、切线的性质及判定 例9 （2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，是的切线，切点为B，连接与交于点C，点D为上一点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 解：连接， ∵是的切线，∴，∴， ∵，∴， ∴，故选：C． 解题思路：考查了切线的性质，圆周角定理．连接，由切线的性质得出，由圆周角定理可得出答案． 题型剖析 题型九、切线的性质及判定 方法总结： 第一步：连接圆心与切点（如OB），构造直角三角形。 第二步：在直角三角形中，利用已知角求出圆心角。 第三步：根据圆周角定理，将圆心角转化为目标圆周角。 题型剖析 练一练 （25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接．若 ，则的度数为 ． 题型九、切线的性质及判定 解：连接 是的切线，切点为，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 题型剖析 题型九、切线的性质及判定 有关切线作辅助线的解题总结 1.有交点，连半径，证垂直； 2.无交点，作垂直，证半径； 3.见切点，连半径，得垂直 题型剖析 题型十、正多边形与圆 例10 （25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：∵正五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸， ∴∠𝐸𝐴𝐵=((5−2)×180°)/5=(3×180°)/5=108°， 连接𝐶𝐸， 则∠𝐸𝐶𝐵=180°−∠𝐸𝐴𝐵=72°， ∴∠𝐵𝑂𝐸=2∠𝐸𝐶𝐵=144°． 故选：A． 解题思路：考查了正多边形内角问题，圆内接正多边形，圆周角定理．根据正多边形内角公式求出，连接，则，根据圆周角定理计算即可． 题型剖析 题型十、正多边形与圆 方法总结： 第一步：确定正多边形的边数。 第二步：计算单个中心角​。 第三步：看目标圆心角包含几条边，用单个中心角乘以边数即可。 题型剖析 练一练 （25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，正六边形内接于，点P是弧上任意一点，连接，，则的度数为 ． 题型十、正多边形与圆 解：连接，， ∵正六边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 题型剖析 题型十一、求弧长 例11 （2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A．2π/3 B．π C．3π/2 D．2π 解：含有角的三角尺的顶点B为圆心， ，， ，， 长为半径画，交边于点D， ， 解题思路：考查含有角的直角三角形的性质、弧长计算．明确圆心角和半径是解题的关键．由含有角的三角形可先求出半径，再由弧长公式得出劣弧的长． ， ， 劣弧的长为：． 故答案为：B． 题型剖析 题型十一、求弧长 方法总结： 第一步：根据直角三角形性质或题目条件，求出弧所对的圆心角n。 第二步：确定圆的半径（通常是题目中给出的线段长度，或通过几何关系求出）。 第三步：代入弧长公式计算弧长。 题型剖析 练一练 （25-26九年级上·江苏无锡·月考）“太湖之星”摩天轮是世界第二大水上摩天轮，其示意图如图所示，该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮迅速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，则此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（ ） A． B． C． D． 题型十一、求弧长 解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为：．故选：C． 题型剖析 题型十二、求扇形的面积 例12 （25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，扇形的半径是1，以为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 解：根据题意可知：，， ， 阴影部分的面积 ， 故选：． 解题思路：考查了扇形的面积和三角形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据阴影部分的面积的面积半圆的面积扇形的面积计算即可． 题型剖析 题型十二、求扇形的面积 方法总结： 第一步：观察阴影部分的构成，将其分解为几个规则图形（扇形、三角形、圆、半圆等）的面积和或差。 第二步：根据已知条件，分别计算这些规则图形的面积。 第三步：代入面积的和差表达式，化简计算出阴影面积。 题型剖析 练一练 （25-26九年级上·河南周口·月考）如图，四边形是长方形，以为直径的半圆与边只有一个交点，且，则阴影部分的面积为 ． 题型十二、求扇形的面积 解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴四边形、都是长方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴．故答案为 题型剖析 1. （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（   ） A． B．3 C．4 D． 解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的半径是4， 故选：C． 考查圆周角定理 针对训练 2. （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 解：连接，故， ∵O关于的对称点为D， ∴，， ∴为等边三角形，∴， ∴，， 在直角中，，， ∴，， ∴， ∴的长为：， 故选：C 考查弧长计算 针对训练 3. （25-26九年级上·重庆永川·期中）如图，的半径垂直弦于点C，交于点D，连接．如果，，那么的半径为 ． 考查垂径定理 解：， ， 设的半径为，则， ， 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 针对训练 4. （25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图， P为外一点， 、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为 ． 考查切线长定理 解：∵、分别切于点A、B，， ∴， ∵切于点E，分别交、于点C、D， ∴，， ∴三角形的周长 ， 故答案为：8． 针对训练 5. （25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（点E 不与点A，B 重合），交于点 F．以点O为圆心，长为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为 ． 考查扇形面积公式 解：∵四边形是正方形，∴， ， ∴，∴， ∵，∴，  ∴， ∴．故答案为：． 针对训练 6. （24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的 周长． 考查多边形与圆 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． （1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 针对训练 7. （25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标 ； (2)的半径为 ； (3)中弧的长度为 ；（结果保留π） (4)点到上最近的点的距离为 ． 考查外接圆与外心 （1）解：如图，点M为所作；点M的坐标为； 故答案为：； 针对训练 7. （25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标 ； (2)的半径为 ； (3)中弧的长度为 ；（结果保留π） (4)点到上最近的点的距离为 ． 考查外接圆与外心 （2）解：的半径为：， 故答案为：； 针对训练 7. （25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，、、． (3)中弧的长度为 ；（结果保留π） (4)点到上最近的点的距离为 ． 考查外接圆与外心 （3）解：如图，连接、、， 由勾股定理得：， 则， ， 弧的长为：， 故答案为：； （4）解：的半径为，， 点到上最近的点的距离为：， 故答案为：. 针对训练 圆 圆的定义及其相关概念 圆的有关性质 圆的对称性 轴对称性 垂径定理 中心对称性 弧、弦、圆心角的关系定理 圆 周 角 圆周角定理及其推论 与圆有关的位置关系 点和圆的位置关系 点在圆外：d>r点在圆上：d=r 点在圆内：d<r 三角形的内接圆 直径和圆的位置关系 相离：d>r 相切：d=r 相交：d<r 切线的性质与判定 切线长定理 三角形的内切圆 与圆有关的计算 正多边形的有关计算 弧长和扇形的面积 含中心角的等腰三角形和含中心角一半的直角三角形 弧长公式 扇形面积公式 阴影面积计算 课堂总结 感谢聆听! $