专题04 圆中重要模型之托勒密定理（几何模型讲义）数学湘教版九年级下册

专题04 圆中重要模型之托勒密定理 托勒密定理是关于圆内接四边形的一条重要定理。定理指出，对于一个内接圆的四边形，四边形的对角线乘积等于两组对边乘积之和。 托勒密定理最早是由公元2世纪的古希腊天文学家、数学家喜帕恰斯提出的，托勒密从他的书中摘出，写入了其著作《天文学大成》中。托勒密通过这一定理成功地描述了圆内接四边形的几何性质，并为后来的天文学和几何学提供了坚实的基础。 托勒密定理描述了圆内接四边形的几何性质，在涉及几何的多个领域和实际应用场景中发挥着重要作用。无论是几何图形的度量，还是工程建设、计算机视觉研究、天文观测，托勒密定理都是解决实际问题的重要工具。 3 模型趣事 3 真题现模型 4 提炼模型 8 模型 托勒密定理 9 21 一、定理背后的 “天文大咖”：托勒密的意外收获​ 提到托勒密定理，就不得不提它的发现者 —— 古希腊天文学家、数学家克劳狄乌斯・托勒密。这位大佬一生都在和星空打交道，忙着构建 “地心说” 宇宙模型，计算行星轨道。可谁能想到，他研究天文时的一个 “副产品”，竟成了几何学中的经典模型！​ 相传托勒密在绘制星图时，需要计算不同天体在天球上的投影距离。当时他经常遇到圆内接四边形的边长与对角线关系问题，比如已知三颗恒星在天球大圆上的位置，如何求第四颗星的坐标？反复推演中，他意外发现：圆内接四边形的两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积（即对于圆内接四边形 ABCD，AB・CD + BC・DA = AC・BD）。这个看似简单的等式，不仅帮他精准完成了星图测算，更开创了圆内接四边形的核心模型 —— 托勒密定理模型。有趣的是，托勒密最初给这个定理起的名字是 “天球四边形法则”，直到后来数学家们发现它的几何普适性，才以他的名字正式命名。​ 二、古代的 “航海导航神器”：定理模型的实战趣事​ 在没有卫星导航的古代，托勒密定理模型曾是航海家的 “秘密武器”。15 世纪大航海时代，葡萄牙航海家达・伽马的船队在绕过好望角时，遇到了一个棘手问题：如何通过观测北极星和海岸线的夹角，确定船只与港口的距离？​ 当时的航海士利用了托勒密定理模型的变通应用：他们将海岸线、船只航线和两颗恒星的连线构成圆内接四边形，通过测量三个边长（比如海岸线两段距离、船只已航行距离），再借助定理快速算出对角线（即船只到目标港口的直线距离）。有记载称，达・伽马的船队曾凭借这个方法，在风暴中精准定位了莫桑比克海峡的补给点，避免了迷路危机。更有意思的是，当时的航海士还把定理口诀编成了歌谣：“圆内四边对边乘，相加等于对角线；海上测距不用愁，托勒密来帮你凑”，足见其受欢迎程度。​ 三、数学竞赛中的 “隐藏彩蛋”：定理模型的趣味应用​ 在现代数学竞赛中，托勒密定理模型常常扮演 “惊喜彩蛋” 的角色，不少看似复杂的几何题，用它就能轻松破解，还衍生出许多趣味变式。比如有一道经典竞赛题：“在正三角形 ABC 中，D 是外接圆上一点，求证 AD = BD + CD”。这道题看似无从下手，但如果构造圆内接四边形 ABDC，利用托勒密定理（AB・CD + AC・BD = AD・BC），再结合正三角形 AB=AC=BC 的性质，就能直接推出 AD = BD + CD，步骤简洁到让人惊叹。​ 更有趣的是，数学爱好者还发现了托勒密定理与 “黄金分割” 的奇妙关联：如果圆内接四边形是黄金矩形，那么它的对边乘积之比恰好等于黄金分割比（≈1.618）。这个发现让托勒密定理模型不仅实用，还多了几分 “美学韵味”，成为数学爱好者们津津乐道的话题。​ 四、跨学科的 “意外联动”：从几何到音乐的趣味延伸​ 谁能想到，托勒密定理模型还能和音乐产生关联？古希腊时期，托勒密在研究琴弦振动规律时发现，当琴弦的长度比例符合圆内接四边形的边长比例时，发出的声音会更加和谐。他据此制定了 “托勒密音阶”，将几何模型中的比例关系应用到音乐理论中，成为西方音乐律制的早期基础之一。​ 这个跨学科的联动让人不禁感叹：数学模型的魅力就在于此，它看似抽象，却能在不同领域绽放光彩。而托勒密定理模型之所以能流传千年，不仅因为它的实用性，更因为它背后那些充满智慧与趣味的故事，让冰冷的几何定理变得温暖而生动。 （2025·河南商丘·二模）综合与实践 在学习图形的旋转过程中，我们经常会发现对图形旋转变换放大或缩小后形成的图形和原图形可能会构成新的全等或相似图形．请运用该经验进行以下的研究． (1)操作判断 等边三角形绕点逆时针旋转度后各边缩小为原来的一半得到，如图，连接、，延长，交于点，则线段和之间的数量关系为_______，_______． (2)知识拓展 托勒密定理是几何知识中的重要定理．它指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，．在上取点，连接，使得．利用图中出现的相似三角形完成定理的证明． (3)定理应用 有一个形状尚不确定的四边形模具如图所示，现需要研究、两点之间的长度是否符合标准．已知四边形中，，请直接写出的最大值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明得，，在与中， 有，，再结合得，最后根据即可得解； （2）证明得，证明得，进而得到，，所以，化简即可得证； （3）由，得，所以、、、四点共圆，连接、，则为圆的直径，由勾股定理得，延长至，使，连接，证明得，，证明得，所以，由，得，所以当最大时，最大，最大为圆的直径，长为，所以，所以的最大值为，即可得解． 【详解】（1）解：由旋转可知，，， 为等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，， ， 、、、四点共圆， 连接、，则为圆的直径， ， ， 延长至，使，连接， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 是圆的一条弦， 最大为圆的直径， 最大为， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，等弧对等角，相似三角形的判定与性质，勾股定理，四点共圆，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 托勒密定理 (1) 定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和. 即在四边形ABCD中, 若A、B、C、D四点共圆,则AC·BD=AB·CD+AD·BC. 证明: 在线段BD上取点E, 使得∠BAE=∠CAD,∵∠ABE=∠ACD, ∴△AEB∽△ADC, ∴AB=EB,即AC·BE=AB·CD, 当∠BAE=∠CAD时, 可得: ∠BAC=∠EAD, ∵∠ACB=∠ADB, △ABC∽△AED, 即AC·DE=AD·BC, ∴AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC, ∴AC·BD=AB·CD+AD·BC. (2) 推广(托勒密不等式)：对于任意凸四边形ABCD，有AC·BD≤AB·CD+AD·BC 证明: 如图1, 在平面中取点 E 使得∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠ACD, ∴△ABE∽△ACD, 即AC·BE=AB·CD①, 连接DE, 如图2, 又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE, ∴△ABC∽△AED, 即AC·DE=AD·BC②, 将①+②得: AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC, ∴AC·BD≤AC·(BE+DE)=AB·CD+AD·BC 即AC·BD≤AB·CD+AD·BC, 当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号. 模型 托勒密定理 例1（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）【阅读材料】克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立，即：四边形中，有 ，当四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点，连接，使． ∵， ∴__________， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴△∽△， ∴， ∴___________②，①+②得，即__________． 【直接应用】 （2）如图2，为的直径，，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，在等腰三角形中，，点在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点落在点处，连接，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）2 【分析】（1）在上取点E，连接，使，证明和，利用相似三角形的性质列式计算即可证明结论成立； （2）连接和，由圆周角定理结合勾股定理求得，，利用（1）的结论求解即可； （3）先证明，求得，再证明，可求出、，再由（1）中结论即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：在上取点E，连接，使． ∵， ∴， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴②， 得， 即； （2）连接和， ∵为的直径， ∴， ∵，，， ∴，， ∵由（1）得， 即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴，， ∵，， ∴， ，即， ∴，， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查翻折变换、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要多次相似解决问题，题目比较难． 例2（24-25九年级下·湖南邵阳·期中） 数学课上，张老师出示了问题：如图1, AC、BD是四边形ABCD的对角线, 若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°, 则线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系? 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E, 使BE=CD, 连接AE, 证得△ABE≌△ADC, 从而容易证明△ACE 是等边三角形, 故 AC=CE, 所以AC=BC+CD.小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°, 使AB与AD 重合, 从而容易证明△ACF是等边三角形, 故AC=CF, 所以AC=BC+CD. 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1) 小颖提出：如图4，如果把 “∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为 “∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=90°”, 其它条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系? 针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明. (2) 小华提出：如图5，如果把 “∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”, 其它条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系? 针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明. 3.问题背景: 如图1,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究线段AC、BC、CD之间的数量关系. 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处, 点B、C分别落在点A、E处(如图2),易证点 C、A、E在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以 从而得出结论： 简单应用： (1)在图1中,若 则 CD= . (2)如图3,AB是圆O的直径,点 C、D在圆上, AD=BD,若AB=13, BC=12, 求CD的长. 拓展规律： (3)如图4, ∠ACB=∠ADB=90°, AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n), 求CD的长(用含m、n的代数式表示) (4)如图5, ∠ACB=90°, AC=BC, 点P为AB的中点, 若点E满足 CE=CA, 点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是 . 【详解】: (1) 由∠BAC=120°可得∠BDC=60°, 又AD 平分∠BAC,∴BD=CD,即△BCD是等边三角形.∴AD=AB+AC. (2) 过点B作BE⊥AD交AD于点E, 易证△BED∽△BAC,∴DE∠=BDE,即DE·BC=AC·BD, 易证△BEA∽△BDC,∴△E=△ABC,即AE·BC=AB·CD, ∴DE·BC+AE·BC=AC·BD+AB·CD, ∴AD·BC=AB·CD+AC·BD. 若∠BAC=90°, 则∠BDC=90°, 又BD=CD,∴△BCD 是等腰直角三角形, ∴BD:CD:BC=1:1: 即 (3)CD=BD=4,根据托勒密定理,可得5AD=4AB+4AC, 解析：(1) 结论: 证明:过点B作BE⊥AC交AC于点E,易证△BEC∽△BAD,△BEA∽△BCD. ∴ AB:AD:BD=1:1:2cosα, ∴2cosα·AC=BC+CD. 3.解析：(1)根据 代入数据可得：CD=3. (2)由(1)中结论可知 CD=AC+BC,∵AB=13,BC=12,∴连接AC, 可得AC=5, 代入可得: (3)根据∠ACB=∠ADB=90°,可得A、B、C、D四点共圆,∴AD·BC=AC·BD+CD·AB, 代入可得: 故 (4)情况一:如下左图,连接CP、CQ,则∠CQA=∠CPA=90°,∴A、C、P、Q四点共圆, ∴AP·CQ=PQ·AC+AQ·PC, 设CP=a, 则AP=a, 代入得： 解得： 又 情况二：如上右图，同理可求 综上，PQ 与 AC 的数量关系是 或 例3（22-23九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天文学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形    求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴   ∴， 又， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴                ∴    即 任务： (1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整； (2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ． (3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    【答案】(1) (2)勾股定理 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据矩形性质验证即可； （3）根据题中证明过程解答即可． 【详解】（1）解：   ； （2）解：当圆内接四边形是矩形时， ∴，， ∴， ∴托勒密定理就是我们非常熟知的勾股定理； （3）解： 证明：∵， ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ 由托勒密定理得： ∴ ∴； 【点睛】本题考查新定义下的证明，涉及到相似三角形的判定与性质，圆的性质，灵活运用所学知识是关键． 例4（2022·河南南阳·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______． 求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E， …… ∴∽， ∴， …… ∴∽， ∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 【答案】(1)已知：如图1，四边形ABCD内接于；求证：；证明见解析． (2) 【分析】（1）理解题意，再根据同弧所对的圆周角相等证明． （2）连接AD、AC，正五边形分割出的三个三角形全等，再由托勒密定理即可求出． 【详解】（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于， 求证：， 证明：如图2，作，交BD于点E， ∵ ∴， ∴ ∴． ∵ ∴． ∵ ∴ 即， ∴ ∴， ∴． （2）在图3中，连接AD、AC． ∵五边形ABCDE是正五边形 ∴ ∴设． 在圆内接四边形ABCD中， 由托勒密定理可得： 即， 解得，（舍去） ∴对角线BD的长为． 【点睛】本题考查了圆和四边形的性质，解题的关键在于理解题意，明确同弧所对的圆周角相等即可证明． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，角所对直角边是斜边的一半和托勒密定理，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，根据知识求出，，，再根据托勒密定理求解即可，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，    ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴， 由托勒密定理得：， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：． 2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 托勒密定理 希腊著名天文学家托勒密（Ptolemy）重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，书中提出了著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和（图1）， 即． 证明如下： 如图2，在上取一点，连接，使． 又（理由：___▲___）， ， ， ①．……，②． 由①②，得， 即． 启发：如图3，内接正五边形的边长为1，求对角线的长． 任务： (1)研究报告中，“▲”处空缺的内容：_____； (2)将“……”处的证明过程补充完整； (3)材料“启发”中，对角线的长为_____． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形性质和判定，圆内接正多边形性质，解题的关键在于正确理解托勒密定理． （1）根据圆周角定理分析，即可解题； （2）结合题干所给步骤同理得到，进而证明，结合相似三角形性质即可解题； （3）连接，，结合正五边形性质和圆周角定理，得到，，再结合托勒密定理建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意可知，研究报告中，“▲”处空缺的内容为同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对的圆周角相等． （2）解：证明如下： 如图2，在上取一点，连接，使． 又（理由：同弧所对的圆周角相等）， ， ， ①． （理由：同弧所对的圆周角相等）， 又 ， 即， ， ， ②． 由①②，得， 即． （3）解：连接，， 内接正五边形的边长为1， ，， ， 同理可得， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 故答案为：． 3．（2021九年级·全国·专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下： 圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形内接于，则有______． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______． （2）已知，如图2，四边形内接于，平分，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）由托勒密定理可直接求解； （2）连接AC，通过证明△ACD是等边三角形，可得AC=AD=CD，由AC•BD=AB•CD+BC•AD，可求解． 【详解】解：（1）由托勒密定理可得： 故答案为： （2）如图，连接 ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∵四边形是圆内接四边形 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的有关知识，阅读理解题意是本题的关键． 4．（2021九年级·全国·专题练习）如图，的直径AB的长为10，直线EF经过点B，且，连接AD． （1）求证：直线EF是的切线； （2）若点C是弧AB的中点，，求CD的长． 【详解】（1）∵AB是的直径， ∴即， ∵，， ∴，即， ∴∴EF是的切线； （2）法1：作，垂足是G， 由题，∴， ∵，∴， ∴，∴． 法2：由托勒密定理，，∴． 5. （24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P，Q，R，求证：． 【详解】连接PQ、PR、QR． 在圆内接四边形APRQ中，由托勒密定理得． 又∵，，∴，于是． 设上面的比值为k，并考虑到有，，， 于是可推得． 6.（24-25九年级下·湖南常德·期末）如图，圆G过坐标原点，交y轴于点A，交x轴于点B，点C为圆上一点，且OC平分交AB于点F．轴于E交AB于点H，连接EG． （1）求证：； （2）请探究OE、AE和EG这三条线段之间的数量关系，写出你的结论并证明． 【详解】（1）证明：∵OC平分， ∴，， ∴，∵（公共角）， ∴； （2）法1：连接CG，则，∴， ∴A、E、C、G四点共圆，由托勒密定理，又， ∴； 法2：在CE上截取，连接GC、GQ，EG． ∵，∴，∴， ∵轴，∴，∵，∴， ∴，∴，， ∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，又，， ∴；∴． 7.（24-25九年级下·湖南怀化·期末）.如图，A，P，B，C是上的四个点，，过点A作的切线交BP的延长线于点D． （1）求证：； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论． 【详解】（1）证明：作的直径AE，连接PE， ∵AE是的直径，AD是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）， 证明：在线段PC上截取，连接BF， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 8.（24-25九年级下·湖南邵阳·期末）点D为边BC延长线上一点，点E在边AC上，点M、N分别为线段AB、AE的中点，连接DE、DA，，． （1）若，如图3-1，求证：； （2）在（1）的条件下，连接BE并延长BE交线段AD于点F，连接FC，如图3-2，请你判断线段FE、FC与线段FD之间的数量关系． 图3-1 图3-2 【详解】（1）∵，，， ∴，， 在和中，， ∴，∴， ∵点M、N分别为线段AB、AE的中点，∴，∴； （2）∵，∴，∵， ∴，∴A、B、C、F共圆，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴， ∵，，∴， ∵在中，，∴，∴； 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆中重要模型之托勒密定理 托勒密定理是关于圆内接四边形的一条重要定理。定理指出，对于一个内接圆的四边形，四边形的对角线乘积等于两组对边乘积之和。 托勒密定理最早是由公元2世纪的古希腊天文学家、数学家喜帕恰斯提出的，托勒密从他的书中摘出，写入了其著作《天文学大成》中。托勒密通过这一定理成功地描述了圆内接四边形的几何性质，并为后来的天文学和几何学提供了坚实的基础。 托勒密定理描述了圆内接四边形的几何性质，在涉及几何的多个领域和实际应用场景中发挥着重要作用。无论是几何图形的度量，还是工程建设、计算机视觉研究、天文观测，托勒密定理都是解决实际问题的重要工具。 3 模型趣事 3 真题现模型 4 提炼模型 8 模型 托勒密定理 9 21 一、定理背后的 “天文大咖”：托勒密的意外收获​ 提到托勒密定理，就不得不提它的发现者 —— 古希腊天文学家、数学家克劳狄乌斯・托勒密。这位大佬一生都在和星空打交道，忙着构建 “地心说” 宇宙模型，计算行星轨道。可谁能想到，他研究天文时的一个 “副产品”，竟成了几何学中的经典模型！​ 相传托勒密在绘制星图时，需要计算不同天体在天球上的投影距离。当时他经常遇到圆内接四边形的边长与对角线关系问题，比如已知三颗恒星在天球大圆上的位置，如何求第四颗星的坐标？反复推演中，他意外发现：圆内接四边形的两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积（即对于圆内接四边形 ABCD，AB・CD + BC・DA = AC・BD）。这个看似简单的等式，不仅帮他精准完成了星图测算，更开创了圆内接四边形的核心模型 —— 托勒密定理模型。有趣的是，托勒密最初给这个定理起的名字是 “天球四边形法则”，直到后来数学家们发现它的几何普适性，才以他的名字正式命名。​ 二、古代的 “航海导航神器”：定理模型的实战趣事​ 在没有卫星导航的古代，托勒密定理模型曾是航海家的 “秘密武器”。15 世纪大航海时代，葡萄牙航海家达・伽马的船队在绕过好望角时，遇到了一个棘手问题：如何通过观测北极星和海岸线的夹角，确定船只与港口的距离？​ 当时的航海士利用了托勒密定理模型的变通应用：他们将海岸线、船只航线和两颗恒星的连线构成圆内接四边形，通过测量三个边长（比如海岸线两段距离、船只已航行距离），再借助定理快速算出对角线（即船只到目标港口的直线距离）。有记载称，达・伽马的船队曾凭借这个方法，在风暴中精准定位了莫桑比克海峡的补给点，避免了迷路危机。更有意思的是，当时的航海士还把定理口诀编成了歌谣：“圆内四边对边乘，相加等于对角线；海上测距不用愁，托勒密来帮你凑”，足见其受欢迎程度。​ 三、数学竞赛中的 “隐藏彩蛋”：定理模型的趣味应用​ 在现代数学竞赛中，托勒密定理模型常常扮演 “惊喜彩蛋” 的角色，不少看似复杂的几何题，用它就能轻松破解，还衍生出许多趣味变式。比如有一道经典竞赛题：“在正三角形 ABC 中，D 是外接圆上一点，求证 AD = BD + CD”。这道题看似无从下手，但如果构造圆内接四边形 ABDC，利用托勒密定理（AB・CD + AC・BD = AD・BC），再结合正三角形 AB=AC=BC 的性质，就能直接推出 AD = BD + CD，步骤简洁到让人惊叹。​ 更有趣的是，数学爱好者还发现了托勒密定理与 “黄金分割” 的奇妙关联：如果圆内接四边形是黄金矩形，那么它的对边乘积之比恰好等于黄金分割比（≈1.618）。这个发现让托勒密定理模型不仅实用，还多了几分 “美学韵味”，成为数学爱好者们津津乐道的话题。​ 四、跨学科的 “意外联动”：从几何到音乐的趣味延伸​ 谁能想到，托勒密定理模型还能和音乐产生关联？古希腊时期，托勒密在研究琴弦振动规律时发现，当琴弦的长度比例符合圆内接四边形的边长比例时，发出的声音会更加和谐。他据此制定了 “托勒密音阶”，将几何模型中的比例关系应用到音乐理论中，成为西方音乐律制的早期基础之一。​ 这个跨学科的联动让人不禁感叹：数学模型的魅力就在于此，它看似抽象，却能在不同领域绽放光彩。而托勒密定理模型之所以能流传千年，不仅因为它的实用性，更因为它背后那些充满智慧与趣味的故事，让冰冷的几何定理变得温暖而生动。 （2025·河南商丘·二模）综合与实践 在学习图形的旋转过程中，我们经常会发现对图形旋转变换放大或缩小后形成的图形和原图形可能会构成新的全等或相似图形．请运用该经验进行以下的研究． (1)操作判断 等边三角形绕点逆时针旋转度后各边缩小为原来的一半得到，如图，连接、，延长，交于点，则线段和之间的数量关系为_______，_______． (2)知识拓展 托勒密定理是几何知识中的重要定理．它指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，．在上取点，连接，使得．利用图中出现的相似三角形完成定理的证明． (3)定理应用 有一个形状尚不确定的四边形模具如图所示，现需要研究、两点之间的长度是否符合标准．已知四边形中，，请直接写出的最大值． 托勒密定理 (1) 定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和. 即在四边形ABCD中, 若A、B、C、D四点共圆,则AC·BD=AB·CD+AD·BC. 证明: 在线段BD上取点E, 使得∠BAE=∠CAD,∵∠ABE=∠ACD, ∴△AEB∽△ADC, ∴AB=EB,即AC·BE=AB·CD, 当∠BAE=∠CAD时, 可得: ∠BAC=∠EAD, ∵∠ACB=∠ADB, △ABC∽△AED, 即AC·DE=AD·BC, ∴AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC, ∴AC·BD=AB·CD+AD·BC. (2) 推广(托勒密不等式)：对于任意凸四边形ABCD，有AC·BD≤AB·CD+AD·BC 证明: 如图1, 在平面中取点 E 使得∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠ACD, ∴△ABE∽△ACD, 即AC·BE=AB·CD①, 连接DE, 如图2, 又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE, ∴△ABC∽△AED, 即AC·DE=AD·BC②, 将①+②得: AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC, ∴AC·BD≤AC·(BE+DE)=AB·CD+AD·BC 即AC·BD≤AB·CD+AD·BC, 当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号. 模型 托勒密定理 例1（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）【阅读材料】克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立，即：四边形中，有 ，当四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点，连接，使． ∵， ∴__________， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴△∽△， ∴， ∴___________②，①+②得，即__________． 【直接应用】 （2）如图2，为的直径，，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，在等腰三角形中，，点在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点落在点处，连接，求的长． 例2（24-25九年级下·湖南邵阳·期中） 数学课上，张老师出示了问题：如图1, AC、BD是四边形ABCD的对角线, 若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°, 则线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系? 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E, 使BE=CD, 连接AE, 证得△ABE≌△ADC, 从而容易证明△ACE 是等边三角形, 故 AC=CE, 所以AC=BC+CD.小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°, 使AB与AD 重合, 从而容易证明△ACF是等边三角形, 故AC=CF, 所以AC=BC+CD. 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1) 小颖提出：如图4，如果把 “∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为 “∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=90°”, 其它条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系? 针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明. (2) 小华提出：如图5，如果把 “∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”, 其它条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系? 针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明. 3.问题背景: 如图1,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究线段AC、BC、CD之间的数量关系. 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处, 点B、C分别落在点A、E处(如图2),易证点 C、A、E在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以 从而得出结论： 简单应用： (1)在图1中,若 则 CD= . (2)如图3,AB是圆O的直径,点 C、D在圆上, AD=BD,若AB=13, BC=12, 求CD的长. 拓展规律： (3)如图4, ∠ACB=∠ADB=90°, AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n), 求CD的长(用含m、n的代数式表示) (4)如图5, ∠ACB=90°, AC=BC, 点P为AB的中点, 若点E满足 CE=CA, 点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是 . 例3（22-23九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天文学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形    求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴   ∴， 又， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴                 ∴    即 任务： (1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整； (2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ． (3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    例4（2022·河南南阳·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______． 求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E， …… ∴∽， ∴， …… ∴∽， ∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 托勒密定理 希腊著名天文学家托勒密（Ptolemy）重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，书中提出了著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和（图1）， 即． 证明如下： 如图2，在上取一点，连接，使． 又（理由：___▲___）， ， ， ①．……，②． 由①②，得， 即． 启发：如图3，内接正五边形的边长为1，求对角线的长． 任务： (1)研究报告中，“▲”处空缺的内容：_____； (2)将“……”处的证明过程补充完整； (3)材料“启发”中，对角线的长为_____． 3．（2021九年级·全国·专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下： 圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形内接于，则有______． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______． （2）已知，如图2，四边形内接于，平分，，求证：． 4．（2021九年级·全国·专题练习）如图，的直径AB的长为10，直线EF经过点B，且，连接AD． （1）求证：直线EF是的切线； （2）若点C是弧AB的中点，，求CD的长． 5. （24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P，Q，R，求证：． 6.（24-25九年级下·湖南常德·期末）如图，圆G过坐标原点，交y轴于点A，交x轴于点B，点C为圆上一点，且OC平分交AB于点F．轴于E交AB于点H，连接EG． （1）求证：； （2）请探究OE、AE和EG这三条线段之间的数量关系，写出你的结论并证明． 7.（24-25九年级下·湖南怀化·期末）.如图，A，P，B，C是上的四个点，，过点A作的切线交BP的延长线于点D． （1）求证：； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论． 8.（24-25九年级下·湖南邵阳·期末）点D为边BC延长线上一点，点E在边AC上，点M、N分别为线段AB、AE的中点，连接DE、DA，，． （1）若，如图3-1，求证：； （2）在（1）的条件下，连接BE并延长BE交线段AD于点F，连接FC，如图3-2，请你判断线段FE、FC与线段FD之间的数量关系． 图3-1 图3-2 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $