重庆市永川中学校2025-2026学年九年级上学期数学第四次月考 试卷

永川中学初中部（教共体）2025年秋期第四学月质量监测 初2023级数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（） A. B. C. D. 6. 如图，中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于（ ）． A. 115° B. 75° C. 40° D. 35° 8. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知正方形的边长为4，G是边中点，F在边上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法： ①若，则； ②若的值与的取值无关，则； ③当时，若，则或； ④当时，有最小值为7，则． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______ 12. 关于的一元二次方程有一个根是，则的值是___________． 13. 已知点，，都在函数的图像上，请将，，按从大到小的顺序排列___________． 14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 15. 如图，的半径是，是直径，点是延长线上一点，且， 切于点，交于点，连接交于点，则_________，的面积是_________． 16. 如果一个四位数能被两个两位数与表示为，其中数与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称四位数为“成功数”，并把数被数与表示为的过程，称为“成功分解”，例如：，35与33的十位数字相同，个位数字之和等于8， ∴1258是“成功数”．按照这个规定，则2344____________“成功数”（填“是”或“不是”）；若把一个四位“成功数”进行“成功分解”，即表示为，并将放在的左边组成一个新的四位数，若能被13整除，且的各个数位数字之和能被4整除，则满足条件的数最小值是____________． 三、解答题：（17，18各8分，其余各题各10分，共86分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程 （1）; （2）. 18. 在学习了直线与圆的位置关系相关知识后，创新小分队结合直角三角形进行深入探究发现：在直角三角形中，圆心在角所对直角边上且与这个直角三角形另两边都相切的圆，圆心分这条边所得两条线段的比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比．可利用证明三角形全等、证明切线和计算面积得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，，用无刻度直尺和圆规作的平分线，交于点O，以点O为圆心、为半径作圆（不写作法，保留作图痕迹）；） （2）在（1）的条件下，过点O作于点F．证明：与相切；． 证明：过点O作于点F， ， 平分， ① ， 在与中， ， ③ ， 与相切于点F； ， ， ． 进一步思考，从作图过程可以发现：一个角的平分线与对边相交的交点为圆心，交点到这个角两边距离为半径的圆与这个角的两边相切，圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于④ ． 19. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 20. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 21. 在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交于点E，F． （1）求证：与相切于点D； （2）若，求的半径． 22. 2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元／件） 30 25 销售价（元／件） 45 37 （1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？ （2）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 23. 如图①，在中，，D为BC延长线上一点，，动点M，N同时从点A出发，点M以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线方向运动，当点N到达点D时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，点M，N间的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）如图②，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）当时，请直接写出y的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值； （3）抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由． 25. 已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图1：连，求证：； （2）若将绕点O顺时针旋转， ①如图2，当点N恰好在边上时，求证：； ②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 永川中学初中部（教共体）2025年秋期第四学月质量监测 初2023级数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】2024 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 【16题答案】 【答案】 ①. 是 ②. 1728 三、解答题：（17，18各8分，其余各题各10分，共86分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）解：如图，射线、即为所求． （2）①；②；③；④与这两条线段相邻的三角形的边之比 【19题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【20题答案】 【答案】（1）1，2； （2）°； （3）补全统计图如图所示． （4） 【21题答案】 【答案】（1）见详解 （2）2 【22题答案】 【答案】（1）购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣件 （2）30元或34元 【23题答案】 【答案】（1）关于的函数表达式为 （2）图见解析；当时，随的增大而增大 （3）当时， 的取值范围为 【24题答案】 【答案】（1） （2），最大值是8 （3）或 【25题答案】 【答案】 （1）证明：， ， 即， 和是等腰直角三角形， ，， 在和中， ； （2）①如下图，连接， ， ， 即， 和是等腰直角三角形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ②或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $