精品解析：山西省长治市武乡县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025~2026学年第一学期八年级期末学情诊断卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是有限小数，不是无理数，故该选项不符合题意； B、是整数，不是无理数，故该选项不符合题意； C、是分数，不是无理数，故该选项不符合题意； D、是无理数，故该选项符合题意； 故选：D 2. 下列运算结果正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、单项式乘法及幂的乘方． 根据完全平方公式、同底数幂的乘法、单项式乘法及幂的乘方逐一计算后判断即可． 【详解】解：选项A：，故原运算结果错误，不符合题意； 选项B：，故原运算结果错误，不符合题意； 选项C：，故原运算结果正确，符合题意； 选项D：，故原运算结果错误，不符合题意； 故选：C． 3. 下列调查最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查2025年“九三阅兵”活动对全国青少年爱国主义教育的效果 B. 调查某一批草莓的甜度情况 C. 调查一批电池的使用寿命 D. 调查全班同学眼睛近视情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断全面调查与抽样调查．全面调查适用于范围小、个体数量少、非破坏性且需精确数据的情形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、全国青少年群体庞大，全面调查成本过高，故该选项不符合题意； B、草莓甜度检测为破坏性实验，全面调查会导致所有草莓损毁，故该选项不符合题意； C、电池使用寿命测试为破坏性实验，无法全部检测，故该选项不符合题意； D：全班同学人数较少，逐个调查可行，且需确保数据准确，适合全面调查，故该选项符合题意； 故选：D 4. 用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积和以及整体的面积是正确解答的前提． 用代数式表示整体长方形的面积，再用代数式表示4个组成部分的面积和即可． 【详解】解：整体是长为，宽为的长方形，因此面积为， 这个长方形是由个部分组成的，这个部分的面积和为， 所以有． 故选：B． 5. 用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反证法，理解反证法的解题方法是解题的关键．反证法证明命题时，首先提出与命题的结论相反的假设． 【详解】解：∵ 原命题结论为， ∴ 其相反的假设为， 首先应假设， 故选：B． 6. 在早期航海中，海员通常使用一种简易的“角度平分仪”来确定方向．如图，仪器由四根硬木条组成，其中，各结点可自由转动．测量时，将点A放在罗盘中心与顶点R重合，调整点B，D，使其分别对准两个目标方向，过点A，C画一条射线，则就是的平分线．此“角度平分仪”运用的数学原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，利用可证明，则可得到，即就是的平分线，据此可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线， 故选：A． 7. 如图，在中，，是边上的中线，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形中线、等边对等角、三角形的内角和定理，熟练使用等边对等角是解题的关键． 首先根据，得到的度数，再根据，得到的度数，最后结合等腰三角形的中线垂直求解的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 下列命题的逆命题是真命题的为（ ） A. 对顶角相等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D. 全等三角形的对应边相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查逆命题的真假判断，需写出每个选项的逆命题，并基于初中数学知识判断其真假即可． 【详解】解：A: 逆命题为“相等的角是对顶角”，∵ 相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴ 是假命题，不符合题意； B: 逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，∵ 锐角三角形不一定等边（如三边不等），∴ 是假命题，不符合题意； C: 逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等”，∵ 绝对值相等的实数可能互为相反数（如5和），∴ 是假命题，不符合题意； D: 逆命题为“对应边相等的三角形是全等三角形”，∵ 根据全等三角形的判定定理，对应边相等则三角形全等，∴ 是真命题，符合题意． 故选：D． 9. 如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1．手指沿折线顺序解锁，则按此手势解锁一次手指滑过的路径长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 连接，由题意可得：，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，如图， 由题意得，， ∴在中， ， ∴按此手势解锁一次手指滑过的路径长为 ， 故选C． 10. 活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据得到，证明，得到，，即，证明，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 16算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 如图，长方形的边长为3，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出半径的长，再由点A对应的数是0，即可得出点E对应的数． 此题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练用勾股定理求半径是关键． 【详解】解：在长方形中，， 在中，据勾股定理得： 以点A为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴的正半轴相交， 点E表示的实数为． 故答案为：． 13. 某学校组织学科素养能力竞赛，从参与竞赛的全体同学中随机抽取50名同学的成绩（得分为整数，竞赛成绩为百分制），整理并制成如图所示的频数分布直方图，若规定80分以上为优秀，则优秀学生人数占总人数的百分比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图和求两项之和所占总体百分比，理解题意是解决本题的关键． 根据直方图可得，优秀学生人数为30人，进而即可求解． 【详解】解：由直方图可得，优秀学生人数为（人）， ∴优秀学生人数占总人数的百分比为， 故答案为：． 14. 如图，将一根长为30 cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升8 cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为________cm． 【答案】34 【解析】 【分析】根据勾股定理可求出，的长，则的长即为拉伸后橡皮筋的长． 【详解】解：由题意，得，C为的中点，，， 则，． 又∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得 ， ∴． ∴， 即拉伸后橡皮筋的长为34 cm． 故答案为：34． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，将实际问题转化成数学问题． 15. 如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，过点D作于点F，利用勾股定理求出的长，可证明，得到，则由三线合一定理得到的长，利用勾股定理可求出的长，设，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点F， ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与因式分解 （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、因式分解，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先算术平方根和立方根运算，再加减运算即可求解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 下面是小明同学进行整式计算的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 计算： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为_______，第二步用到的乘法公式用字母表示为_______； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． 任务二：该整式计算的正确结果为_______． 【答案】任务一：①，，②三；括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握是解题的关键． 任务一：①第一步用的是平方差公式，第二步用的是完全平方公式； ②第三步去括号时出现错误； 任务二：正确去括号，合并同类项即可得出答案． 【详解】解：任务一：①第一步用到的乘法公式用字母表示为， 第二步用到的乘法公式用字母表示为， 故答案为：； ②第三步开始出现错误，出现错误的原因括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号， 故答案为：三，括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； 任务二： 解：原式 ， 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，且，然后利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ，则． ， ． 为直角三角形，且． ． 19. 如图，在中，． （1）利用尺规在边上求作点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点． （1）作线段的垂直平分线，与的交点即为所求，根据垂直平分线的性质可得； （2）先由直角三角形得到，再由等腰三角形的性质得到，则，故，则，即可求证． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求． 【小问2详解】 解：是等边三角形． 理由如下： 在中，， . ， ． ． ． ． 为等边三角形． 20. 2025年12月16日，“晋享山河冬趣山西”2025山西冬季旅游主题季活动在晋城启动．活动重磅推介了山西独特的冬季旅游资源，发布了5条“冬游山西”旅游线路，展示了山西冬季旅游的独特魅力．为了向同学们宣传山西冬季旅游资源，某学校筹备了“共赏冬季家乡美”主题宣讲活动． 【收集数据】为了解同学们感兴趣的线路，向随机抽取的部分学生下发调查问卷． “共赏冬季家乡美”山西旅游线路游览喜好调查问卷 请选择你感兴趣的游览线路，并在其后“☐”内打“√” （每名同学必选且只能选择其中一项） A．北国风光·冰雪奇缘之旅☐ B．晋商遗风·烟火暖冬之旅☐ C．山水秘境·温泉康养之旅☐ D．古建密码·土木华章之旅☐ E．非遗年俗·黄河风情之旅☐ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成下列两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题： “共赏冬季家乡美”主题宣讲活动日程表 地点（座位数） 时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8:00-9:30 E 10:00-11:30 C 14:30-16:00 设备检修暂停使用 （1）本次调查所抽取的学生人数为_______，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中，线路“E”对应扇形圆心角的度数为_______． 【做出决策】请合理安排宣讲活动，补全活动日程表： （3）若该校有600名学生参加本次活动，则选择聆听线路“B”“D”宣讲的学生各有多少人？ （4）在（3）的条件下，为确保听取宣讲的每名学生都有座位，请你合理安排线路“A”“B”“D”三场宣讲，补全此次活动日程表． 【答案】（1）40，图见解析；（2）72；（3）选择聆听线路“B”的学生为人，选择聆听线路“D”的学生为人；（4）见解析 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用线路A的人数除以其所占百分比可求得抽查总人数，进而求得线路D人数即可补全统计图； （2）用乘以线路E所占百分比即可求解； （3）先求得线路B、D在样本中所占比例，再乘以总人数即可求解； （4）根据1号和2号汇报厅的座位数，结合A、B、D的人数选择． 【详解】解：（1）由题意，本次调查总人数为（人），线路D的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）线路“E”对应扇形圆心角的度数为 故答案为：72； （3）选择聆听线路“B”的学生：（人）， 选择聆听线路“D”的学生：（人）． （4）选择聆听线路“A”的学生：（人）． ∴线路“D”的宣讲安排在1号汇报厅，线路“A”“B”的宣讲安排在2号多功能厅， 补全日程表如下： “共赏冬季家乡美”主题宣讲活动日程表 地点（座位数） 时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8:00-9:30 E B（或A） 10:00-11:30 C A（或B） 14:30-16:00 D 设备检修暂停使用 21. 阅读与思考 在完成数学作业时，小明遇到这样一道题： 当时，求代数式的值小明是这样做的： 先将代数式因式分解： ① ． 当时，，所以这个代数式的值为0． 善于思考的小明想到，是否可以反过来利用这个想法，将整式进行因式分解呢？ 于是，他继续进行了以下尝试： 因式分解：． 当时，，说明经过因式分解后，应该有一个因式是．如果能够在将多项式变形的过程中分解出，就可以把作为公因式提取出来，从而因式分解．于是他将进行了如下解答： ． 从而完成了因式分解． 阅读以上材料，解答下列问题： （1）在上面解答过程中，①中用到的因式分解的方法是______________． （2）因式分解：． ①当_______（填一个数即可）时，； ②借助小明的思路，完成因式分解． 【答案】（1）提公因式法 （2）①2（或7，任写一个均可）；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）①中提取公因式，即用到的因式分解的方法是提公因式法； （2）①通过试值法求出使多项式为0的值即可； ②仿照小明的思路因式分解即可． 小问1详解】 解：①中提取公因式，即用到的因式分解的方法是提公因式法； 故答案为：提公因式法； 【小问2详解】 解：①当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，； 故答案为：2； ② ． 22. 实践与探究 活动课上，老师和同学们一起以“网格中的全等三角形”为主题展开探究．他们在网格中构造出顶点均在格点（网格中小正方形的顶点）上的全等三角形，使其满足一定的条件． （1）勤学小组在图1的网格中构造出，使，且直线是线段的垂直平分线．请画出符合条件的． （2）善思小组在图2的网格中构造出，使，且线段的中点与线段的中点重合．请画出符合条件的． （3）笃行小组在图3的网格中构造出，使，与相交于点O，且平分．请画出符合条件的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、垂直平分线的性质、平行四边形的性质，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到点的位置，进而画出； （2）根据平行四边形的对角线互相平分，画出； （3）根据等腰三角形的性质，画出． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：即为所求． 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，同学们以等腰三角形为背景探究图形的有关性质．已知在中，．将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E．与相交于点F，与相交于点G． 特例分析： （1）如图1，当旋转至时，的度数为_______． 深入理解： （2）如图2，在旋转过程中，直线，相交于点H．请判断线段和的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）在图2的基础上，若，如图3，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）45；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，进而即可求出的度数； （2）由旋转和等腰三角形的性质可得，进而利用证明，进而即可得到解答； （3）连接，过点H作于点I，证明是等腰直角三角形和是等边三角形，即可求出四边形的面积． 【详解】解：（1）在等腰三角形中，，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得到，点B对应点D， ∴． ∵当旋转至时，在中，， ∴， ∴， 故答案为：45； （2），理由如下： 绕点旋转得到，点，的对应点分别为点，， ，，． 又， ． ． ， ． 绕点旋转得到，点，的对应点分别为点，， ，，． ． ． 又， ． ； （3）连接，过点H作于点I，如图， ∵，且， ∴． ∵， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， 由（2）得，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了等腰三角形和等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质和旋转的性质，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期八年级期末学情诊断卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查2025年“九三阅兵”活动对全国青少年爱国主义教育的效果 B. 调查某一批草莓的甜度情况 C. 调查一批电池的使用寿命 D. 调查全班同学眼睛近视情况 4. 用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（ ） A. B. C D. 5. 用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 在早期航海中，海员通常使用一种简易的“角度平分仪”来确定方向．如图，仪器由四根硬木条组成，其中，各结点可自由转动．测量时，将点A放在罗盘中心与顶点R重合，调整点B，D，使其分别对准两个目标方向，过点A，C画一条射线，则就是的平分线．此“角度平分仪”运用的数学原理是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是边上的中线，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题的逆命题是真命题的为（ ） A. 对顶角相等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D. 全等三角形的对应边相等 9. 如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1．手指沿折线顺序解锁，则按此手势解锁一次手指滑过的路径长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 10. 活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 16的算术平方根是___________． 12. 如图，长方形的边长为3，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是______． 13. 某学校组织学科素养能力竞赛，从参与竞赛全体同学中随机抽取50名同学的成绩（得分为整数，竞赛成绩为百分制），整理并制成如图所示的频数分布直方图，若规定80分以上为优秀，则优秀学生人数占总人数的百分比为_______． 14. 如图，将一根长为30 cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升8 cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为________cm． 15. 如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与因式分解 （1）计算：； （2）因式分解：． 17. 下面是小明同学进行整式计算过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 计算： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步用到的乘法公式用字母表示为_______，第二步用到的乘法公式用字母表示为_______； ②第_______步开始出现错误，这一步错误原因是______________． 任务二：该整式计算的正确结果为_______． 18. 如图，在四边形中，，求四边形的面积． 19. 如图，在中，． （1）利用尺规在边上求作点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，判断的形状，并说明理由． 20. 2025年12月16日，“晋享山河冬趣山西”2025山西冬季旅游主题季活动在晋城启动．活动重磅推介了山西独特的冬季旅游资源，发布了5条“冬游山西”旅游线路，展示了山西冬季旅游的独特魅力．为了向同学们宣传山西冬季旅游资源，某学校筹备了“共赏冬季家乡美”主题宣讲活动． 【收集数据】为了解同学们感兴趣的线路，向随机抽取的部分学生下发调查问卷． “共赏冬季家乡美”山西旅游线路游览喜好调查问卷 请选择你感兴趣的游览线路，并在其后“☐”内打“√” （每名同学必选且只能选择其中一项） A．北国风光·冰雪奇缘之旅☐ B．晋商遗风·烟火暖冬之旅☐ C．山水秘境·温泉康养之旅☐ D．古建密码·土木华章之旅☐ E．非遗年俗·黄河风情之旅☐ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成下列两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题： “共赏冬季家乡美”主题宣讲活动日程表 地点（座位数） 时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8:00-9:30 E 10:00-11:30 C 14:30-16:00 设备检修暂停使用 （1）本次调查所抽取的学生人数为_______，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中，线路“E”对应扇形圆心角的度数为_______． 【做出决策】请合理安排宣讲活动，补全活动日程表： （3）若该校有600名学生参加本次活动，则选择聆听线路“B”“D”宣讲的学生各有多少人？ （4）在（3）的条件下，为确保听取宣讲的每名学生都有座位，请你合理安排线路“A”“B”“D”三场宣讲，补全此次活动日程表． 21. 阅读与思考 在完成数学作业时，小明遇到这样一道题： 当时，求代数式的值小明是这样做的： 先将代数式因式分解： ① ． 当时，，所以这个代数式的值为0． 善于思考的小明想到，是否可以反过来利用这个想法，将整式进行因式分解呢？ 于是，他继续进行了以下尝试： 因式分解：． 当时，，说明经过因式分解后，应该有一个因式是．如果能够在将多项式变形的过程中分解出，就可以把作为公因式提取出来，从而因式分解．于是他将进行了如下解答： ． 从而完成了因式分解． 阅读以上材料，解答下列问题： （1）在上面的解答过程中，①中用到的因式分解的方法是______________． （2）因式分解：． ①当_______（填一个数即可）时，； ②借助小明思路，完成因式分解． 22. 实践与探究 活动课上，老师和同学们一起以“网格中的全等三角形”为主题展开探究．他们在网格中构造出顶点均在格点（网格中小正方形的顶点）上的全等三角形，使其满足一定的条件． （1）勤学小组在图1的网格中构造出，使，且直线是线段的垂直平分线．请画出符合条件的． （2）善思小组在图2的网格中构造出，使，且线段的中点与线段的中点重合．请画出符合条件的． （3）笃行小组在图3的网格中构造出，使，与相交于点O，且平分．请画出符合条件的． 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，同学们以等腰三角形为背景探究图形的有关性质．已知在中，．将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E．与相交于点F，与相交于点G． 特例分析： （1）如图1，当旋转至时，的度数为_______． 深入理解： （2）如图2，在旋转过程中，直线，相交于点H．请判断线段和的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）在图2的基础上，若，如图3，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $