第17讲 直角三角形与锐角三角形（复习讲义，5考点12题型3重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“直角三角形与锐角三角形”专题，覆盖勾股定理及逆定理、直角三角形性质与判定、全等综合等中考核心考点，通过“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测-分层练习”系统架构，结合易错点提示和真题变式训练，帮助学生突破难点，构建完整知识体系。 亮点在于融合数学思维与模型意识，如通过“赵爽弦图”探究勾股定理应用，结合折叠模型培养推理能力，设“基础-提升-新趋势”三级练习。教师可利用考情数据把握命题方向，学生通过典例变式训练提升解题效率，实现精准复习。

第四章 三角形 第17讲 直角三角形与锐角三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 23 命题点一 勾股定理及其逆定理 题型01勾股定理 题型02勾股定理的应用 题型03 勾股定理逆定理 命题点二 直角三角形核心性质 题型01直角三角形的两个锐角互余 题型02判断三边能否构成直角三角形 题型03含30度角的直角三角形 命题点三 直角三角形的判定方法 题型01锐角互余的三角形是直角三角形 题型02在网格中判断直角三角形 题型03 中线判定 命题点四 直角三角形的全等判定与综合 题型01全等的性质和HL综合 题型02折叠与直角三角形 命题点五 锐角三角形的性质 题型01 锐角三角形 05·重难突破·思维进阶难 68 突破一 勾股定理与逆定理 突破二 三角形中位线和含30°角的直角三角形 突破三 斜边中线等于斜边一半与旋转 06·优题精选·练能提分 90 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线） 北京卷T15（含30度角的直角三角形） 北京卷T27（斜边的中线等于斜边的一半） 北京卷T24（含30度角的直角三角形） 1. 掌握直角三角形两锐角互余的性质；2. 理解并应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 能结合等腰三角形性质解决直角三角形相关问题。 勾股定理及逆定理 北京卷T15（勾股定理解三角形） / 北京卷T8，T15（勾股定理） 1. 掌握勾股定理，能利用勾股定理进行直角三角形的边长计算；2. 掌握勾股定理的逆定理，能判定一个三角形是否为直角三角形；3. 能运用勾股定理解决实际问题（如测量、航海）。 锐角三角函数的定义与计算 北京卷T20（求直角三角形中锐角的正弦、余弦值） 北京卷T15,T20（解直角三角形的相关计算） 北京卷T20（解直角三角形的相关计算） 1. 理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；2. 能根据直角三角形的边长求锐角的三角函数值；3. 能根据锐角的三角函数值求直角三角形的边长。 直角三角形的实际应用（解直角三角形） / / / 1. 理解坡度、坡角、方位角等概念；2. 能运用解直角三角形的知识解决实际测量问题；3. 体会数学与生活的联系，提升数学建模能力。 命题预测 1. 直角三角形斜边中线性质的灵活应用，常与等腰三角形、垂直平分线结合考查； 2. 勾股定理的逆定理判定直角三角形，可能结合网格背景或坐标系； 3. 锐角三角函数的定义及特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值计算，需注意单位换算（如坡度与坡角的关系）； 4. 解直角三角形的实际应用，高频情境为测量高度、航海距离、斜坡坡度，需结合方位角、仰角俯角等概念。 考点一 勾股定理及其逆定理 勾股定理是直角三角形边长计算的核心依据，逆定理是判定直角三角形的关键方法，二者需配套掌握。 勾股定理内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 若 中，，直角边为 ，斜边为 ，则 。 适用条件 仅限直角三角形，且计算时需明确直角边和斜边的对应关系。 常见应用场景 已知直角三角形两边，求第三边； 证明线段的平方关系（如几何综合题中线段相等、垂直的推导）； 结合折叠、平移、旋转模型，计算线段长度。 勾股定理的逆定理 若三角形三边长 （ 为最长边）满足 ，则这个三角形是直角三角形，且最长边 所对的角为直角。 易错点提示 混淆直角边和斜边，将斜边当作直角边代入公式计算； 应用逆定理时，未先确认 是三角形的最长边，直接判定直角三角形。 1．（2025·北京·模拟预测）如图，数轴上点表示的实数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的正半轴上．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案． 【详解】解：如图， 由题意，得， ∵以点为圆心，半径为的弧过点A， ∴点A表示的数为， 故选：B． 2．（2025·北京大兴·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了复杂作图：作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，由题意可得点是中点，求得即可解答，熟知是的垂直平分线是解题的关键． 【详解】解：由题意可得是的垂直平分线， 点是中点， 根据勾股定理可得， ， 故选：B． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交于点M，若，给出下面四个结论：①M是的中点；②平分；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由全等三角形的性质可得，则 ，由结合外角的性质可得，，再通过导角证明，推出，即可证明，可判断① 正确；由可得，推出，可判断② 正确；根据结论① ，利用勾股定理，可判断③正确． 【详解】解：正方形是由四个全等的直角三角形拼成的， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， M是的中点；故① 正确； ， ， ， ， 平分；故②正确； 设，则， 在中，， ，故③正确； 综上可知，正确的有① ② ③， 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质等，能够综合应用上述知识是解题的关键． 考点二 直角三角形核心性质 除勾股定理外，直角三角形的角、中线、特殊角性质也是中考高频考点： 角的性质 直角三角形两锐角互余，即 （角度计算的隐含条件）。 斜边中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。若 为 斜边 的中点，则 。 特殊直角三角形的边长性质 含 角的直角三角形： 角所对的直角边等于斜边的一半； 含 角的等腰直角三角形：两直角边相等，斜边 （ 为直角边）。 易错点提示 斜边中线定理的应用忽略“斜边”前提，误用于直角边上的中线； 颠倒 角所对直角边与斜边的数量关系。 1．（2025·北京丰台）如图，在中，，，是的中点，点、分别在边、上运动（点不与点、重合），且，连接、、．有下列结论： ①且； ②； ③四边形的面积大于面积的一半． 其中正确的是 （填写序号）．    【答案】①② 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的斜边中线，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，证明是解题的关键． 连接，结合等腰直角三角形的性质证明，可证得①；利用全等三角形面积相等可判断③；根据三角形的三边关系可证明②． 【详解】解：连接，   ∵，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴且，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积的面积面积的一半．，故③错误； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； 故答案为：①②． 2．（2025·北京通州）如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题：    （1） °； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 90 ②④/④② 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后根据三角形三边关系及作差法可进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为90； （2）由题意得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴由三角形三边关系可得：，故②正确； ∵， ∴， ， ，故④正确； ∴，即，故①错误； 当时，则；当时，则；故③错误； 综上所述，正确的结论有②④； 故答案为②④． 3．（2025·北京顺义）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， 故选：C． 考点三 直角三角形的判定方法 除勾股定理逆定理外，还有3种直接判定直角三角形的方法： 定义判定：有一个角为 的三角形是直角三角形； 角的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形； 中线判定：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形是直角三角形（斜边中线定理的逆用）。 易错点提示 中线判定时，混淆“中线等于边的一半”的对应关系，误判非斜边的中线情况。 1．如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2）证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 2．已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可． 【详解】解；①，， ， ， 是直角三角形； ②，， ， 是直角三角形； ③，， ， 不是直角三角形； ④，， ， ， 不是直角三角； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形； 综上所述，不能判断是直角三角形的有3个， 故选：． 3．如图，在四边形中，，作，使得点E和点A在直线异侧，连接，过A作交射线于点F． (1)依题意，补全图形； (2)证明：； (3)连接，若G为线段的中点，连接，过A作于M，判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，合理作出辅助线得到三角形的全等是关键． （1）根据题意作图即可； （2）如图所示，过点作延长线于点，交于点，可证，即可求解； （3）如图所示，延长到点，使得，连接，证明，得到，，再证明，，，结合题意得到是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下， （2）解：如图所示，过点作延长线于点，交于点， ∵， ∴， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴，且， ∴， ∴； （3）解：，理由如下， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∵点是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，结合（2）中，得到， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴． 考点四 直角三角形的全等判定与综合 直角三角形的全等及模型是中档题核心，重点掌握2类内容： 专属全等判定——HL定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形，区别于SSS、SAS等一般判定方法）。 中考常见模型 折叠模型：直角三角形沿某直线折叠，利用折叠前后边、角相等，结合勾股定理列方程求边长； 1．（2024·北京西城）如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且． (1) 求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）作于点P，于点Q，证明，得到，设交于点I，则，即可得证； （2）线段和线段的延长线上分别取点F、点G，连接、，使，证明，推出，得到，则，从而即可得证． 【详解】（1）证明：作于点P，于点Q，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设交于点I，则， ∴． （2）解：补全图片如图所示， ，理由为： 在上取一点R，使， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，已知在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是等腰三角形时，的长是 ． 【答案】或1或 【分析】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．分三种情况考虑，①当时，连接，则易得三点共线，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；②当时，则得四边形是正方形，即可求解；③当时，连接，则可得三点共线，再证明，则可得点F是的中点，从而求解；最后综合上述三种情况即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，； ∵点是的中点， ∴； 由折叠性质知：，，； ①当时，则； 连接，则由勾股定理得：； ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， 中，， 由勾股定理得：， 解得：； ②当时，如图， 则点在线段的垂直平分线上， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵E是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴； ③当时，连接，如图； 则； ∵， ∴； ∵， ∴三点共线， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，的长为或1或． 故答案为：或1或． 3．（2025·北京西城）如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，取的中点，连接，可得，进而利用正方形的性质证明，得到，即得，得到，即可得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：如图，取的中点，连接，则，． ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴四边形四平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 考点五 锐角三角形的性质 锐角三角形多作为综合题的基础条件，核心掌握“性质+判定”2类内容： 核心性质 角的性质：三个内角均为锐角，且最大角小于 ； 高的性质：三条高均在三角形内部，垂心（三条高的交点）也在内部； 边的性质：最长边 满足 （区别于直角三角形的 、钝角三角形的 ）。 判定方法 定义判定：三个角都小于 ； 最大角判定：最大角小于 ； 边的判定：最长边 满足 。 易错点提示 仅通过单个锐角判定锐角三角形； 混淆锐角、直角、钝角三角形的垂心位置。 1．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是______三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，，且这个三角形是直角三角形，求的值． 【答案】（1）锐角；（2）的值为13或． 【分析】（1）判断最大数的平方与两个较小数平方和的大小即可； （2）分当最长边为时和当最长边为12时两种情况求解即可． 【详解】（1）92=81，72+82=113， ∵81<113， ∴该三角形是锐角三角形． 故答案为：锐角； （2）当最长边为时， ； 当最长边为12时， ， ∴的值为13或． 【点睛】本题考查了利用，，三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状，熟练掌握钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的判断方法是解答本题的关键． 2．在数学学习中，观察实验猜想证明是研究几何图形性质的一般思路．某班同学运用这个思路对三角形三边平方的关系展开了研究： 【观察】在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（设直角边长分别为，斜边为，那么．对于一般的三角形，三边长分别为，且，其边长的平方是否也存在某种关系． 【实验操作】小组成员通过测量不同类型三角形（锐角三角形，钝角三角形）三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想三边平方之间的关系： 当是锐角三角形时，三边之间的关系是：； 当是钝角三角形时，三边之间的关系是： ① ． 【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，过点作，垂足为．这样就把锐角分成了两个直角三角形和，从而可以运用勾股定理进行边的关系推导． 以下是小组成员的证明过程： 如图①，过点作，垂足为．设． 在中，， 在中， ② ， ② ． 化简得，． ． ． ． （1）其中，①是_______；②是_______． 【知识迁移】（2）如图②，当是钝角三角形时，请证明与之间的关系． 【答案】（1）①是；②是；（2）证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据猜想即可得①的答案；过点作，垂足为．设，在中，利用勾股定理可得，在中，利用勾股定理可得，从而可得，根据即可得； （2）过点作，交延长线于点．设，则，在中，利用勾股定理可得，在中，利用勾股定理可得，从而可得，然后根据即可得． 【详解】解：（1）∵当是直角三角形时，三边之间的关系是：， 当是锐角三角形时，三边之间的关系是：， 则猜想当是钝角三角形时，三边之间的关系是：． 如图①，过点作，垂足为．设． 在中，， 在中，，． 化简得，． ． ∴． ． 所以①是；②是． （2）如图，过点作，交延长线于点． 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案． 【详解】解：A、当，，时，满足，但不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； B、，，，，则为直角三角形，故原说法错误，不符合题意； C、若，则为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意； D、若，，满足且，则，故不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 命题点一 勾股定理及其逆定理 ►题型01 勾股定理 1.适用范围误用：将勾股定理套用在非直角三角形上，忽略定理仅适用于直角三角形的核心前提。 2.边角对应错位：混淆直角边与斜边，未明确a2+b2=c2中c是斜边直角所对的边），误将直角边代入c的位置计算。 3.逆定理应用疏漏：用勾股定理逆定理判定直角三角形时，未验证最长边的平方是否等于另外两边平方和，直接判定直角。 【典例】（2025·北京朝阳）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，．连接，点恰好落在线段上． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查图形旋转的性质： （1）旋转所得到的图形与旋转前的图形全等，结合多边形内角和，即可求得答案； （2）在中，利用勾股定理，即可求得答案． 【详解】（1）根据旋转的性质可知 ，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）根据旋转的性质可知 ． 在中，根据勾股定理，得 ． 【变式1】（2025·北京西城）如图，在锐角中，，，线段绕点顺时针旋转，得到线段，将射线绕点逆时针旋转，分别交，的平分线于点，点． (1)依题意补全图形，并直接写出（用表示）； (2)连接，分别交，于，，判断与的数量关系并证明； (3)直接写出，和的数量关系． 【答案】(1)图见解析， (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）先根据题意补全图形，再根据等腰三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）过点作于点，先根据等腰三角形的判定可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得； （3）过点作于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：由题意，补全图形如下： ∵在锐角中，，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 由题意，连接，分别交，于，， 如图，过点作于点， 由上可得：， ， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，是的平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴． （3）解：如图，过点作于点，连接， 由（2）已得：，，， ∴（等腰三角形的三线合一），， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴， 由（2）已得：， ∴， 由（2）已得：，即， 在中，，即， ∴． 【变式2】（2025·北京西城）如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．若，则在点从运动到的过程中，最短时， ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，最短路径问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，构造对称点是解题的关键. 作点Q关于的对称点，连接，则交于点N，证明是等边三角形，当重合时，最小，此时在中求得最小. 【详解】解：作点Q关于的对称点，连接，则交于点N， 在等边中，， ， ， ，， 由轴对称的性质，得，， ， ， ， ， ，即， ， 是等边三角形， ， ， 当，即P，Q两点重合时，取得最小值， 此时，， 在中，， 当时，最小， ， ， 在中，， . 故答案为：. 题型02 勾股定理的应用 1.斜边直角边混淆：计算时误将直角边当作斜边代入公式，或求斜边时未进行开方运算。 2.实际场景构形失误：在折叠、航海等实际问题中，未正确构造直角三角形模型，强行套用勾股定理。 3.分类讨论遗漏：直角三角形中已知两边求第三边时，忽略第三边可能是直角边或斜边的情况，导致漏解。 【典例】（2025·北京）如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度，分别求出，和的长度，根据，可得，求出的长度，即可确定的最小值． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度， 由题意得：点E坐标为， ∵直线与两坐标轴分别交于B，C两点， 令，则， ∴点C坐标为， 令，则， ∴点B坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式1】（2025·北京）步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 【答案】130 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形， ∵台阶阶梯每一层高，宽，长， ∴，， ∴在中，． 故答案为：130． 【变式2】（2025·北京）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． ►题型03 勾股定理逆定理 1.忽略最长边验证：判定时未先确定最长边，直接套用三边平方关系，导致非最长边的平方和等于第三边平方时误判直角。 2.定理用途混淆：将逆定理（由边判直角）与勾股定理（由直角求边）因果倒置，用直角三角形性质反推三边关系。 3.计算化简失误：三边含根式、代数式时，平方运算或求和化简出错，导致三边平方关系验证错误，判定结果偏差。 【典例】第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 【答案】(1)与的位置关系为，理由见解析； (2)线段的长度为． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得与的位置关系； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． 【详解】（1）解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为．   【变式1】（2025·北京大兴）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：若点不在线段上，且满足，则称点为线段的等距点．若点为线段的等距点，且时，称点为线段的远等距点；若点为线段的等距点，且时，称点为线段的近等距点． 已知点的坐标为． (1)如图1，若点的坐标为，则在点，，中，是线段的近等距点的是________； (2)如图2，若点在轴正半轴上，且． ①若点为线段的远等距点，则点的横坐标的取值范围是________； ②若点为线段的等距点，点的坐标为，则的最小值为________（用含的代数式表示）； (3)若点在轴上，当（点与点不重合）时，为线段的等距点，且，则点的纵坐标的取值范围是________． 【答案】(1)和 (2)①或；② (3)且 【分析】（1）先画出所需的三角形，再运用勾股定理的逆定理求出为等腰直角三角形，再根据“近等距点”的定义即可得答案； （2）①以为斜边作等腰直角三角形和，根据“远等距点”的定义即可得到答案；②点D在线段的垂直平分线上，连接，作点A关于线段的垂直平分线的对称点为，根据对称的性质可得当点D为原点时取最小值，进行求解即可； （3）先求出点的纵坐标最大值和最小值的情况，再讨论点与点不重合的情况即可求解． 【详解】（1）解：如图，作， 由图可知，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵根据题意“时，称点为线段的近等距点”， ∴由图可得，点和是线段的近等距点， 故答案为：和； （2）解：①以为斜边作等腰直角三角形和，如下图： ∵“时，称点为线段的远等距点”， 又∵点为线段的远等距点， ∴点的横坐标的取值范围是或， 故答案为：或； ②如图，点D在线段的垂直平分线上，连接， 作点A关于线段的垂直平分线的对称点为， ∴， ∴当点D为原点时取最小值，且点D为等距点， ∴点和点距离为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：当点B为时，作，如下图， 此时点的纵坐标可取得最大值， 由图可得，， ∴， 同理可得，当点B为时，点的纵坐标可取得最小值，， 假设当点B为时，如下图， ∵，且， ∴， ∵点与点不重合， ∴， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 【变式2】（2025·北京专题）在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（ ） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据三角形的三边关系判定三角形的形状是解题的关键．将给定等式化简得到，即，根据勾股定理的逆定理，可判断为直角． 【详解】， ， ， 是直角三角形，且a为斜边，为直角． 故选：A． 命题点二 直角三角形核心性质 ►题型01 直角三角形的两个锐角互余 1.适用范围越界：在非直角三角形中套用该性质，忽略“三角形有一个直角”的核心前提。 2.角度对应混淆：多直角三角形嵌套时，错把甲三角形的锐角与乙三角形的锐角配对互余，张冠李戴。 3.逻辑推导倒置：由两锐角互余直接判定三角形为直角三角形时，未排除“两锐角和为90°但存在钝角”的矛盾情形，论证不严谨。 【典例】（2023·北京东城·二模）如图，在中，于点，于点和交于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故A、B正确； 由三角形外角的性质可知，故D正确； 题干中并未给出，所以无法得出；故C错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质，熟练掌握垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质是解题的关键． 【变式1】（2023·北京平谷·二模）在中，，点为边上一点，为延长线上的一点，，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点，．    (1)找出图中和相等的一个角，并证明； (2)判断、、的数量关系，并证明． 【答案】(1)（答案不唯一），证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由垂直定义，则，同理，又，即可得出结论． （2）连结，先证明，得，再证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：（答案不唯一） 证明：如图，   ， ， ， ， ， ， ． （2）解： 证明：连结，   ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，余角的性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质证明书角或线段相等是解题的关键． 【变式2】（2024·北京顺义·二模）如图，在中，是边上一动点（不与B，C重合），于点E．设给出下面三个结论： ①  ② ③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．② D．①②③ 【答案】B 【分析】连接，当平分，即时，即证明，可得出，当不平分，若时，，若时，，可判定①错误；根据，又由，可得，可判定②正确；证明，得出，又根据，则可得出，可判定③正确． 【详解】解：连接， 当平分，即时， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴即； 若时，，即， 若时，，即， 故①错误； ∵，， ∴，即， ∵， ∴， 故正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查等腰直三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 题型02 判断三边能否构成直角三角形 1.未锁定最长边验证：直接套用三边平方关系，未先确定最长边，误将非最长边的平方和等于第三边平方当作直角三角形判定依据。 2.忽略三边关系前提：只验证勾股逆定理的平方关系，未检验三边是否满足“任意两边之和大于第三边”，出现无法构成三角形却判定为直角三角形的错误。 3.平方运算化简失误：三边含分数、根式或代数式时，平方计算、合并化简出错，导致三边平方关系验证偏差，误判直角三角形。 【典例】（2024·北京通州）如图所示，在正方形网格中，点A，B，C，D为网格线的交点，线段与交于点O．则的面积与面积的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】= 【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD与△ABC为直角三角形，则推出AD∥BC，从而利用平行线间的距离处处相等得到，从而推出结论即可． 【详解】由题意，，，， ∵， ∴△ABD为直角三角形，∠BAD=90°， 同理，对于△ABC，也满足， ∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∴AD∥BC， ∵平行线间的距离处处相等， ∴， ∴， 即：， 故答案为：=． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，以及平行线的判断与性质，熟练运用勾股定理的逆定理推出平行线是解题关键． 【变式1】（2025·北京朝阳）如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【分析】利用勾股定理求解可得线段的长度，根据勾股定理的逆定理可以判断以这三条线段为边能否组成一个直角三角形． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴以这三条线段为边的三角形是直角三角形， 故答案为：直角 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【变式2】（2024·山东济南）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M和N，分别以M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，以同样的方式作射线BF，AE和BF交于点O，则∠AOB的度数是（   ） A．100° B．135° C．145° D．125° 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，在根据角平分线的性质及三角形内角和即可求得答案． 【详解】解：，，， ， 为直角三角形，， ， 由题意得， 射线AE和射线BF分别为和的角平分线， ，， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的作法、三角形内角和及利用勾股定理的逆定理，解题关键熟练掌握勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形及角平分线的性质． 题型03 含30度角的直角三角形 1.边角对应错位：混淆30°角的对边与邻边，误将邻边（长直角边）当作斜边的一半，违背“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的核心性质。 2.适用范围越界：将该性质套用在无30°角的直角三角形或非直角三角形中，忽略“直角三角形+30°锐角”的双重前提。 3.逆用条件疏漏：逆用性质时，未确认“三角形是直角三角形”的前提，仅由“一条直角边是斜边的一半”就直接判定该边对的角为30°。 【典例】如图，等边的边长为6，的角平分线交于点D，过点D作，交于点E、F，则的长度为 ． 【答案】4 【分析】根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，．然后即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，和分别平分和， ，， ， ，， ，， 和分别平分和， 平分， ， 又， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（2024·北京海淀）已知，，点A在边上，点P是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接，再以线段为边作等边（点C、P在的同侧），作于点H．    (1)如图1，．①依题意补全图形；②求的度数； (2)如图2，当点P在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②90度 (2)，见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键． （1）①根据题意，即可画出图形；②根据，可得答案； （2）连接，利用可证明，得，再得出，从而解决问题． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求；    ②∵是等边三角形， （2），证明如下： 如图，连接，    由②可知，是等边三角形， ∵是等边三角形， 在中，， 【变式2】（2025·北京怀柔）等腰中，，垂足为点，且，则等腰底角的度数为 ． 【答案】或或 【分析】分点是顶角顶点、点是底角顶点、在外部和在内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算． 【详解】解：①如图1，当点是顶角顶点时，   ，， ， ， ， 在中，； ②如图2，当点是底角顶点，且在外部时，     ，， ， ， ； ③如图3，当点是底角顶点，且在内部时，   ，， ， ， ； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 命题点三 直角三角形的判定方法 题型01 锐角互余的三角形是直角三角形 1.跨三角形套用判定：误将两个不同三角形的锐角当作同一三角形的内角，仅凭两角互余就判定直角三角形，忽略判定的核心前提。 2.逻辑推导不严谨：未结合三角形内角和180°推导，直接由两角互余得出第三个角为90°；或与“直角三角形两锐角互余”的性质因果倒置。 3.角的归属混淆：复杂嵌套图形中，错把非目标三角形的互余锐角，套用到目标三角形上判定直角，张冠李戴导致结论错误。 【典例】如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质 根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得； 由和可以得到，于是可求得，即可求得答案. 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ． ． 又是的中点， ． ． ． （2）解：，见答图，    ． ， ． ，， ． ． 在中，是的中点， ． 【变式1】根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， 设，，，即， 解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形，故本选项不符合题意； D、， 设，，， ∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的定义和勾股定理的逆定理． 【变式2】已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角的作图，涉及了直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键． 根据直角三角形的性质与判定推出，作图即可． 【详解】解：∵， ∴（直角三角形的两个锐角互余）， 若， ∴（等量代换）， ∴，（两个锐角互余的三角形是直角三角形）， ∴， 故选：D． 题型02 在网格中判断直角三角形 1.边长计算失误：将网格中斜向线段的格数直接当作边长，忽略需用勾股定理（横向、纵向格数的平方和开方）计算实际长度。 2.逆定理应用疏漏：未先确定三边中的最长边，直接验证三边平方关系，导致非最长边的平方和等于第三边平方时误判直角。 3.忽略三点共线情形：未检验网格中三点是否共线，直接计算边长套用定理，将共线的三点误判为能构成直角三角形的顶点。 【典例】（2023·北京石景山·一模）如图，点、、都在正方形网格的格点上，将绕点顺时针旋转后得到，点、的对应点、也在格点上，则旋转角（）的度数为 ． 【答案】90 【分析】连，通过计算三边、、长度，得到三边满足勾股定理，得到即为旋转角． 【详解】连接， ，， 中 为直角三角形，为旋转角， 故答案为． 【点睛】本题考查通过勾股逆定理求目标角度，找准旋转角，找到疑似直角三角形进行边长关系的计算是解题的关键． 【变式1】（2024·北京丰台·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格， °．（点A，B，C，D，P是网格线交点）    【答案】45 【分析】连接，，由图可知，，则，然后根据勾股定理可以求得、、的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以得到的度数，然后即可得到的度数． 【详解】解：连接，，    则， 故， 设正方形网格的边长为，则，，， ， 是直角三角形，， 又， ， ， 故答案为：45． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式2】（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的网格问题、勾股定理逆定理等知识点，应用勾股定理逆定理得到是直角三角形成为解题的关键． 先应用勾股定理逆定理得到是直角三角形，然后分别求得、，最后比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 题型03 中线判定 1.中点验证缺失：未确认线段是否平分对边，仅凭“连接顶点与对边的线段”就判定为中线，忽略“对边中点”的核心条件。 2.线段概念混淆：在等腰三角形中，误将角平分线、高直接等同于中线，忽略三线合一的前提限制，未单独验证平分对边的属性。 3.三角形归属错位：复杂嵌套图形中，错把其他三角形的边当作目标三角形的对边，连接顶点与非对应对边的点，判定出错误中线。 【典例】如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题关键是作辅助线．连接根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：连接，由题意可得， ，点是的中点， ，即， 点是的中点，， ， 故答案为：． 【变式1】如图，在四边形中，．分别是对角线的中点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．连接、，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接、， 在中，是的中点， 则， 同理可得：， ， 是的中点， ，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【变式2】如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据菱形的性质求得是解题的关键．由菱形面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 命题点四 直角三角形的全等判定与综合 题型01 全等的性质和HL综合 1.忽略HL前提限制：在非直角三角形中直接套用HL判定全等，违背HL仅适用于直角三角形的核心条件，后续全等性质的应用也随之错误。 2.对应关系混淆：HL判定全等后，应用性质时错配直角边、斜边的对应关系，把非对应边/角当作相等关系推导，导致边长或角度计算偏差。 3.性质判定倒置：用全等三角形对应边/角相等的性质，反向推导满足HL的条件，逻辑上因果倒置，推导过程不成立。 【典例】（2023·北京房山·一模）下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）． 方法一： 已知：如图，中，，平分． 求证：，． 方法二： 已知：如图，中，，点为中点． 求证：，． 方法三： 已知：如图，中，，． 求证：， 【答案】证明见解析 【分析】三种方法证明，利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，； 方法二：∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，； 方法三：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理的证明，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【变式1】（2024·北京海淀·模拟预测）如图，在中，，，点D在线段上，连接，于点E，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，连接． (1)依题意补全图形： ①设，则的度数为________________；（用含的式子表示） ②求证：； (2)探究、、之间的数量关系并证明． 【答案】(1)①画图见解析，；②见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）①根据题意画出图形，连接并延长交于点G，首先根据题意证明出是等腰直角三角形，然后证明出，进而得到是等腰直角三角形，然后证明出，得到，，然后利用求解即可； ②由①得到，，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可； （2）根据勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，，然后利用勾股定理得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接并延长交于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； ②由①可得， ∵ ∴ ∴； （2）∵是等腰直角三角形 ∴， ∴， ∴整理得， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴同理可得， ∵ ∴ ∴ ∴整理得，． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式2】如图，在正方形中，E是的中点，将沿对折至，延长交于点G，连结． (1)求证：． (2)求的大小． (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是关键； （1）由折叠的性质易证，从而得； （2）由折叠得，再结合即可求解； （3）由（1）知，由折叠知，在中由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∵沿对折至， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵沿对折至， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵E是的中点，正方形的边长为6， ∴， 由折叠知， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故． 题型02 折叠与直角三角形 1.对应边角混淆：折叠后未准确锁定全等的对应边、对应角，错把非对应线段或角度等同，导致直角三角形的边长、角度关系推导错误。 2.隐藏直角漏判：忽略折叠产生的新直角或互补角关系，未结合折叠前后的角度变化构造直角三角形，无法正确套用勾股定理计算。 3.线段关系疏漏：设未知数表示折叠后线段时，未理清线段间的和差等量关系，列勾股定理方程时出现线段长度代换错误。 【典例】在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（    ） A．小睿折出的是中的平分线 B．小志折出的是边上的中线 C．小芳折出的是中边上的高 D．上述说法都错误 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、中线、高以及角平分线，可根据折叠的性质：折叠前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等，进行作答． 【详解】A、根据折叠后对应角相等可知：，是的平分线，选项说法正确，符合题意； B、根据折叠后对应边相等可知：且，并非边中线，选项说法错误，不符合题意； C、根据折叠后对应角相等可知：且，，，但并不是的高，因此选项说法错误，不符合题意； D、由于选项A说法正确，因此该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 【变式1】（1）操作发现： 如图①，在中，，点D是BC上一点，沿AD折叠，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系________________________________； （2）问题解决： 如图②，若（1）中；，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形ABCD中，，，，，连接AC、点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若，求DE的长． 【答案】（1）；（2），证明详见解析；（3）． 【分析】（1）由翻折的性质得到AE=AC，DE=DC，然后证明△BED为等腰直角三角形，从而得到BE=ED ，故可证明得AB=AC+CD； （2）由翻折的性质得到AE=AC，DE=DC，∠C=∠AED，由三角形外角的性质可证明∠B=∠AED由三角形外角的性质可证明，从而得到BE=ED于是可证明AB=AC+CD； （3）过点B作BH⊥AC，垂足为H，由特殊锐角三角函数值可知CH的长，然后求得AD的长，最后根据AC=AD+DE求解即可． 【详解】解：（1）90° ∴45° 由翻折的性质得到AE=AC，DE=DC， 90° ∴=45° ∴BE=ED ∴BE=DC ∴； （2）连接DE，由题意可知： ∵， ∴ ∵ ∴= ∴ ∴ ∴． （3）作BH⊥AC于点H，根据∠B=120°， AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA=30° 在Rt△BHC中，CH=BC×= ∵AH=CH， ∴AC=2CH=2() ∵AD=DC， ∠D=90° ∴∠ACD=45°， 在Rt△ACD中，根据勾股定理有 ∴AD2=2()2 ∴AD= 又由(1)，(2)可知，AD+ED=AC ∴DE=AC-AD=2+2-（2+6）= 【点睛】本题考查了图形折叠的性质，也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形． 【变式2】数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在中，，，，点D是边上一动点，于点 (1)【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______； (2)【问题解决】在（1）的条件下，求的长； (3)【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上的点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由折叠的性质可得； （2）由勾股定理可求BD的长； （3）由直角三角形的性质可求，可得，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：∵将沿直线折叠， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵，， ， ； （3）解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 的面积 命题点五 锐角三角形的性质 题型01 锐角三角形 1.判定条件疏漏：仅根据三角形**两个内角为锐角**就判定为锐角三角形，忽略“三个内角都小于90°”的核心条件（钝角三角形也存在两个锐角）。 2.边角关系误判：验证时未锁定最长边，直接用任意两边平方和大于第三边判定锐角，忽略“最长边的平方小于另外两边平方和”的判定准则。 3.高线位置混淆：误将锐角三角形的高画在三角形外部，混淆其与直角、钝角三角形高线位置的区别，导致面积计算或线段推导错误。 【典例】在一个三角形中，它的最小内角是50度，那么这个三角形按角分是（      ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理．设中，三个内角分别为，，，其中为最大，为最小，依题意得，，进而得，然后根据得，由此可得该三角形的形状． 【详解】解：设中，三个内角分别为，，， 其中为最大，为最小， ，则，均大于， 即， ， ， ， ， 为锐角三角形． 故选：A． 【变式1】我们知道：“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”．但是，小亮发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等，除小亮的发现之外，当这两个三角形都是 时，它们也会全等；当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形，另一个是 时，它们一定不全等． 【答案】 钝角三角形或直角三角形， 钝角三角形． 【详解】试题分析：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1． 求证：△ABC≌△A1B1C1． 证明：过B作BD⊥AC于D，过B1作B1D1⊥B1C1于D1，则∠BDA=∠B1D1A1=∠BDC=∠B1D1C1=90°，在△BDC和△B1D1C1中，∵∠C=∠C1，∠BDC=∠B1D1C1，BC=B1C1，∴△BDC≌△B1D1C1，∴BD=B1D1，在Rt△BDA和Rt△B1D1A1中，∵AB=A1B1，BD=B1D1，∴Rt△BDA≌Rt△B1D1A1（HL），∴∠A=∠A1，在△ABC和△A1B1C1中，∵∠C=∠C1，∠A=∠A1，AB=A1B1，∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）． 同理可得：当这两个三角形都是钝角三角形或直角三角形时，它们也会全等，如图：△ACD与△ACB中，CD=CB，AC=AC，∠A=∠A，但：△ACD与△ACB不全等． ，故当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形，另一个是钝角三角形时，它们一定不全等． 故答案为钝角三角形或直角三角形，钝角三角形． 考点：全等三角形的判定． 【变式2】小慧在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（    ）    A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【分析】此题考查截一个几何体，勾股定理的应用；说明是锐角，可能是锐角可能是直角也可能是钝角，可得结论． 【详解】解：设 在中，， 在中，， 在中，， ， 为锐角 同理，和都为锐角． 为锐角三角形， 根据前面的性质可得， ， ， ， ， ， ， 是锐角， 是钝角， 当点接近时，可能是钝角，可能是直角， 可能是锐角三角形可能是直角三角形也可能是钝角三角形， 故选：D． 突破一 勾股定理与逆定理 【典例】（2025·北京海淀）已知，点为射线上的定点，点为射线上的动点（不与A，O重合），作线段的垂直平分线，分别交，于C，D，连接，过点作的垂线，垂足为E，交直线于点． (1)如图1，当点在的延长线上时，依题意补全图形，并证明：； (2)当点在的延长线上时，用等式表示线段和的数量关系，并证明； (3)若，记的中点为，连接，当点在射线上运动时，直接写出线段长的取值范围． 【答案】(1)补全图见解析；证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）补全图形后，得，，再由对顶角性质、互余关系及等腰三角形的性质得，由等腰三角形的判定即可证明； （2）过点F作，交直线于点G，则；证明，得，由，，即可得线段和的数量关系； （3）取的中点H，连接，取的中点Q，连接，易得，则，由勾股定理求出即可求得的最小值，当点B运动到无穷远时，点G无限接近点A，则，综合起来即可得的范围． 【详解】（1）解：补全图形如图所示， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：； 证明如下： 如图，过点F作，交直线于点G， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：； 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 即， ∴线段和的数量关系为； （3）解：如图，取的中点H，连接，取的中点Q，连接， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∵点G是的中点，点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点Q为的中点， ∴， ∵， ∴当点G在线段上时，的值最小， ∵，， ∴， ∴的最小值为； 当点B运动到无穷远时，点G无限接近点A，则， 综上，的范围为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，三角形三边关系等知识，有一定难度． 【变式1】阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【分析】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 【变式2】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】(1)①是；②或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． （1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：分点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是2的“等垂点”， 故答案为：是． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． （2）解：设 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即或， ∵点在上， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图，过作轴于点， 同理可得或， ∵点在上， ∴或， 解得(舍)或， ∴． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 突破二 三角形中位线和含30°角的直角三角形 【典例】（2024·北京海淀·一模）在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF． (1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系； (2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析 【分析】（1）由题意知三点重合，则，，含30°的直角三角形中，由，可知，是的中位线，有，，，然后求出比值即可； （2）如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，，则，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，求出可得的值，进而可得的值，根据与的数量关系判断与的位置关系即可． 【详解】（1）解：，． 理由如下：由题意知三点重合 ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴为线段的中点 ∵是中点 ∴是的中位线 ∴， ∴ ∴． （2）解：，的关系仍成立． 证明：如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于， 由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设， ∴，，，，，，，，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了含30°的直角三角形，中位线，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形、矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于表示出与的长度． 【变式1】数学综合与实践课上，同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图，小东同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线，相交于点，边与相交于点． (1)如图①，当时，线段与的数量关系是______； (2)将图①中的旋转到如图②所示的位置，请判断线段与的数量关系是否发生变化，并说明理由． (3)在（2）的情况下，若绕点旋转时，边与的交点始终在线段上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)不变，见解析 (3) 【分析】（1）由题意可知CG和CH为中位线，即得出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得出； （2）分别取，的中点，，连接，．由作图结合中位线性质可知，，即可得出，从而可得，即可证明，得出．由（1）知，即得出； （3）由（2）中结论知，结合三角形面积公式，即可求出．由中位线性质可得，再由勾股定理可求出，最后由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，最后分类讨论当点在点左下侧时，和当点在点右上侧时，． 【详解】（1）∵， ∴． ∵点C为EF中点， ∴CG为中位线， ∴． ∵， ∴． ∵点C为EF中点， ∴CH为中位线， ∴点H为DE中点， ∴ ∴． ∵， ∴，即； （2） 理由：如图，分别取，的中点，，连接，． ∵，，分别为，，的中点， ∴，，，． 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴ ∴． 由（1）可知， ∴； （3）由（2）中结论知 ∴， ∴． ∵， ∴． 又易知， 如（2）图，当点在点左下侧时，， 如图，当点在点右上侧时， 综上可知线段的长度为． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定和性质，平行线的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理和三角形相似的判定和性质．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 【变式2】（2024·北京石景山·一模）如图，在等边中，D为边AC的延长线上一点（），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）线段AH与CG的数量关系：．证明见解析. 【分析】（1）补全的图形如图1所示； （2）根据直角三角形含角的性质得：，得，即可证出； （3）作辅助线，证明四边形是平行四边形和，即可证出． 【详解】(1)补全的图形如图1所示, (2)证明：∵是等边三角形， ∴． ． 由平移可知 ，． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． (3)线段AH与CG的数量关系： ． 证明：如图2，连接BE，EF． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∵垂直平分， ∴ ． ∴． ∵， ∴ ，． ∴ ． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查平移变换、等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 突破三 斜边中线等于斜边一半与旋转 【典例】（2025·北京石景山·一模）如图，在中，，，D是的中点，E是线段上的动点（不与点B，D重合），连接．F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段，连接． (1)求的大小； (2)连接，判断与的位置关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的定义即可解答； （2）连接，连接，可得点在以点为圆心，以为半径的圆上，再连接并延长交于点，证明即可解答． 【详解】（1）解：F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段， ，， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，连接，连接， ，D是的中点， ， F是的中点， ， 点在以点为圆心，以为半径的圆上，如图，连接并延长交于点， ， ∵， ， ， ，，D是的中点， ， ， ， ，即． 【变式1】（2025·北京海淀）如图，在中，，，P为线段上的动点（不与点C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当P是中点时，连接，求证：； (2)如图2，过点Q作直线，交直线于点M，作交射线于点N，请补全图2，探究线段和线段的等量关系并证明； (3)如图3，若，，O为的中点，M为线段上的动点，N为线段上的动点，，D为线段的中点，求线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)最小值为 【分析】（1）由题意易得，然后根据可证，然后问题可求证； （2）按题意画出图形，连接，作，交于点D，证明得，，证明得，从而，再证明，进而可求出； （3）连接，先求出，，．确定点D在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动，由可知最短时，线段值的最小．证明得，从而可知点Q在与成角的射线上运动，当时，的值最小，即线段取得的最小值，求出，即可求出线段的最小值． 【详解】（1）证明：由旋转可知：， ∵，点P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意可得如图： 连接，作，交于点D， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，， O为的中点， ∴，， ∴． ∵，D为线段的中点， ∴， ∴点D在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动． ∵， ∴最短时，线段值的最小． 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在与成角的射线上运动， ∴当时，的值最小，即线段取得的最小值． ∵， ∴线段取得的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，圆的性质，垂线段最短，确定点Q的轨迹是解（3）的关键． 【变式2】（2023·北京东城·模拟预测）如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． (1)连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； (2)如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①补全图形见详解，②度数不变，为 【分析】（1）∵，，点P为中点，则故，而，代入即可求解； （2）①依据题意画出图形即可；②取中点为，连接，利用三角形的中位线定理和直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求证． 【详解】（1）解：如图： ∵，，点P为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①补全图形如图： ②取中点为，连接， ∵， ∴， 由旋转得，，， ∴， 同上可得，， ∴是等边三角形， ∴， 同理是等边三角形， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 同理可得：为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可得，， ∴， 同上可得，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 1．（2024·北京东城·二模）如图，在中，于点，点是的中点．设，，，，，，且，有以下三个结论： ①； ②点，，在以点为圆心，为半径的圆上； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，完全平方公式的应用，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理可判断①结论；利用线段中点以及直角三角形斜边中线等于斜边一半可判断②结论；利用勾股定理以及完全平方公式可判断③结论． 【详解】解：， ， ， ，，，且， ，①结论正确； ，，， 即， ， ， ， ， ， 点是的中点， ，则， 此时点，，在以点为圆心，为半径的圆上，②结论正确； 在中，，即， ， ， ， ，即，③结论正确， 故选：D． 2．如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，如图，作利用平行线的性质可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（   ） A．为等腰直角三角形 B．点坐标为 C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为1 【答案】A 【分析】由题意，根据一次函数图象与坐标轴交点的求法得到、，确定、B错误；再通过数形结合，由等腰直角三角形的判定即可确定A正确；由一次函数图象过象限即可判定C错误；再由等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识即可判定D错误． 【详解】解：在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点， 当时，，则；当时，，则； A、、， ，且，则为等腰直角三角形， 故该选项正确，符合题意； B、， 点坐标为错误，不符合题意； C、在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点， ，且、，则图象经过第一、二、四象限， 故该选项错误，不符合题意； D、过点作于点，如图所示： 是等腰直角三角形，， 由勾股定理可得， ， 由等腰三角形三线合一性质可知，是斜边上的中线， ，即点到的图象距离为， 故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数图象与坐标轴交点的求法、一次函数图象过象限、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 4．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 5．（2025·北京平谷·一模）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①先证明，进而可依据“ASA”判定和全等，则，再根据可得出，由此可对结论①进行判断；②设与相交于点T，根据，得是等腰直角三角形，则，再根据，利用三角形内角和定理得，由此可对结论②进行判断；③根据和全等得进而得，由此可对结论③进行判断；④过点O作于点H，由勾股定理得，依题意得，则，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理得则由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故结论①正确； ②设与相交于点T，如图1所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故结论③正确； ④过点O作于点H，如图2所示： ∵是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得： ∵，，， ∴， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ 即， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 6．（2025·北京）如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 【答案】D 【分析】先求出，再根据旋转和全等的性质得到，即可判断①；，，即可判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到，，再根据三角形三边关系即可判断③；证明，在中，利用勾股定理和等量代换即可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故②正确； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故结论③错误； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 故结论④正确， 综上可知，正确的是①②④， 故选：D． 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 7．（2025·北京·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，连接．给出下面四个结论： ；②；③； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由即可判断②；然后证明，根据对应角相等以及等腰直角三角形锐角为即可证明③；对等腰直角运用勾股定理即可判断①；对运用勾股定理判断④． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即：，故②正确； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确， ∵在等腰直角中，，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∴正确结论的序号①②③④， 故选：A． 8．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图：分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；作直线交于点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，熟练掌握根据尺规作图痕迹判断，以及勾股定理解直角三角形．连接，利用基本作图得到垂直平分，则，设，则， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由作法得垂直平分，则， 点是的中点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得 ， 即． 故选：C． 9．（2023·北京石景山·一模）在中，，，点D为射线上一点，过点D作且（点E在点D的右侧），射线交射线于点F，点H是的中点，连接，． (1)如图1，当点D在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系； (2)当点D在线段的延长线上时，依题意补全图2．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)数量关系，位置关系，理由见解析 (2)，作图及证明见解析 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，连接，证明，即可得出结论； （2）连接，，证明，推出，在中，由勾股定理，得到，进行线段的转化，即可得出结论． 【详解】（1）解：数量关系，位置关系，理由如下： ∵，， ∴， ∵且， ∴，， ∴， 连接， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即：； （2）依题意补全图形，如图． 数量关系：． 证明：连接，，如图． ∵中，，， ∴． ∵， ∴，． 又∵ ∴． ∵点是的中点， ∴，，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 10．如图，中，，点，分别是，的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，熟练堂握相关的定理与性质即可解题，难度中等． （1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：，得证； （2）由三角形中位线定理和勾股定理求得边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在中，，点是的中点， ∴． ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线． ∵，， ∴，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． 11．（2024·北京·二模）在中，，，M为的中点，D为线段上的动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，点D在线段上，求证：； (2)如图2，点D在线段上，连接，取的中点F，连接并延长交的延长线于点G，若，用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由旋转性质和斜边的中线等于斜边的一半可证为等边三角形，进而可证，即可证明结论； （2）在上截取，连接，利用证明，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可证由平行线的性质可证进而可证明结论； 【详解】（1）证明：∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段， ， ， ， ∵M为的中点， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ； （2），                      证明：如图，在上截取，连接， ∵F是的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线； 12．（2024·北京东城·二模）如图，在四边形中，点在上，，，于点，于点，．      (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明是等腰直角三角形，然后证明由含的直角三角形的性质得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（2023·北京海淀·二模）如图，在中，，，D是的中点，E是的中点，连接．若射线与的夹角为，过点作交射线于点F． (1)①依题意补全图形；②求证：； (2)连接，，判断线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2)，证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质； （1）①根据题意补全图，即可求解；②连接，由等腰三角形的性质得，结合直角三角形的特征，即可得证； （2）延长至，使得，连接、，由线段垂直平分线的性质得 ，由可判定，由全等三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证； 掌握等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图， ②连接， ，，D是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：； 证明：延长至，使得，连接、， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 是的中点， ， 在和中， ， （）， ， ． 14．（2025·北京东城·一模）如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键， （1）根据题意补全图形即可； （2）证明即可得到结论； （3）延长到点G，使，连接．证明．得到．证明．得到，根据直角三角形的性质即可得到结论， 【详解】（1）解：补全图形如图． （2）证明：在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）．证明如下： 如图，延长到点G，使，连接． ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴ 在中，，F为的中点， ∴． ∴． 1．（2025·北京海淀）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点B作，D为垂足，根据直角三角形的性质求出的长，当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，当、E 、B三点共线，且P运动到点D，点P的对应点在线段上时，最小；当、E 、B三点共线，点P运动到点C，点P的对应点在线段的延长线上时，最大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：过点B作，D为垂足，连接，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，，   ∴， 设，则 ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 由旋转的性质可知， ∵， ∴， ∴当、E 、B三点共线，且P运动到点D，点P的对应点在线段的延长线上时，最小， 则最小值为； ∵， ∴， ∵当、E 、B三点共线，点P运动到点C，时，最大， 最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形三边关系的应用等等，熟知相关知识是解题的关键． 2．如图，两个全等的含的三角板和三角板，如图所示放置，、、三点在一条直线上，，连接，取的中点，连接、．下列结论：①；②；③；④；其中正确的 ． 【答案】①③④ 【分析】利用全等三角形的性质得到：，， ，得到①的结论正确；利用梯形的判定与性质判断②不正确；连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到③的正确；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质得到④的正确． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴①的结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∵， ∴， ∴②的结论不正确； 连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵的中点为M， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∴③的结论正确； ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴④的结论正确． 综上，正确的结论有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质，梯形的性质，条件适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2025·北京海淀）如图，是等边三角形，为边的中点，则 度；当cm，为中线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】①解：如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ， 故答案为：； ②， ， ，， 根据面积可得， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 4．（2025·北京西城）如图，已知与中，，，，为中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系，连接，由直角三角形的性质得到，，证明，进而证明，即可解答． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵为中点， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵，与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定平行，故④错误； 综上，正确的结论有①③． 故答案为：①③． 5．（2025·北京专题）在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段与角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． 【活动初探】（1）如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F，请直接写出与的数量关系：______． 【变式再探】（2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为中点． 【类比深探】（3）如图3，在中，，点D为中点，，点F为直线上一动点，点E为延长线上一动点，且满足，连接．补全图形，猜想并证明、、的数量关系． 【答案】 （1）（2）见详解；（3），证明见详解 【分析】本题考查轴对称图形，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半，掌握并熟练应用等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半等知识是解题的关键． （1）根据 “三线合一”，得平分，再根据角平分线的性质可得； （2）根据和等边三角形可得和，根据角之间的关系得到，进而得到，根据垂直平分线的判定可证垂直平分，则可证点D为中点； （3）过点F作交于点P，连接，根据等腰三角形和垂直平分线的性质，易证，则点P为中点，进而得到，再根据“直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半”，可得，，最后利用线段之间的和差关系和等量代换，可得． 【详解】（1）解：在中，，点D为中点， 平分， ，， ； 故答案为：； （2）证明：， ， 和分别为等边三角形， ， ， ， ， 点G在的垂直平分线上， 又 点A在的垂直平分线上， 垂直平分， 点D为中点； （3）猜想：，理由如下： 如图3，过点F作交于点P，连接， 在中，，点D为中点， ，，即垂直平分， ， ， ， 又， 点P为中点，即， 在中，， ， 又，，， 在中，， ， 则， ， ， ， ． 6．（2025·北京·模拟预测）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． (1)如图1，当点在射线上时，点恰好是的中点，请写出与之间的关系，并证明； (2)如图2，若与之间的关系如（1）所求，当点在外部时，作，交射线于点； ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，直线三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质是关键． （1）连接，点是的中点，，则，所以，由旋转得到，由三角形的内角和定理得到，由此即可求解； （2）①根据题意作图即可；②在射线上取点，使得，取的中点，连接，可证，则，，，根据是的中点，则，，，，，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：点是的中点，， ， ， ， ， ， ； （2）解：①依题意补全图形； ②， 证明：在射线上取点，使得，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 2．（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． (2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答． （2）先根据勾股定理算出，设，，结合勾股定理整理得，代入数值得，再证明是的中位线，则，分别算出和，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形， 图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：③； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等内接四边形， ∴四点共圆，且为直径， 把的中点记为点，即四点在上， 连接，，相交于点， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 则在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴ 则 即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 则． ， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)四边形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知，， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 4．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 5．（2025·广东·中考真题）如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题： 命题1：若连接交于点，则． 命题2：若连接，则． 命题3：若连接，则． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】命题1是真命题，证明见解析；命题2是真命题，证明见解析；命题3是真命题，证明见解析 【分析】命题1：连接，交于，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到，判定四边形是平行四边形，进而得到四边形是菱形，再由中位线的判定与性质得到，最后利用三角形面积公式求解即可得证； 命题2：连接，交于，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到，判定四边形是平行四边形，进而得到四边形是菱形即可得证； 命题3：连接，交于，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到，判定四边形是平行四边形，再由平行四边形的判定与性质得到四边形是平行四边形即可得证． 【详解】解：命题1：若连接交于点，则． 命题1是真命题，证明如下： 连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，且，， 为的中点， 是的中位线，则， ，则； 命题2：若连接，则． 命题2是真命题，证明如下： 连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ； 命题3：若连接，则． 命题3是真命题，证明如下： 连接，交于，如图所示： 是斜边上的中线， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 6．（2014·江苏南京·中考真题）【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF． （1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF． （2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF． 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． （3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF． 【答案】（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A． 【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“”证明； （2）过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，根据等角的补角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等； （3）以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等； （4）根据三种情况结论，不小于即可． 【详解】解：（1）在和，，，，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道， 故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL． （2）如图， 过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ，且、都是钝角， ， 即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ； （3）如图，和不全等； 以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等． （4）若，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第17讲 直角三角形与锐角三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 勾股定理及其逆定理 题型01勾股定理 题型02勾股定理的应用 题型03 勾股定理逆定理 命题点二 直角三角形核心性质 题型01直角三角形的两个锐角互余 题型02判断三边能否构成直角三角形 题型03含30度角的直角三角形 命题点三 直角三角形的判定方法 题型01锐角互余的三角形是直角三角形 题型02在网格中判断直角三角形 题型03 中线判定 命题点四 直角三角形的全等判定与综合 题型01全等的性质和HL综合 题型02折叠与直角三角形 命题点五 锐角三角形的性质 题型01 锐角三角形 05·重难突破·思维进阶难 29 突破一 勾股定理与逆定理 突破二 三角形中位线和含30°角的直角三角形 突破三 斜边中线等于斜边一半与旋转 06·优题精选·练能提分 33 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线） 北京卷T15（含30度角的直角三角形） 北京卷T27（斜边的中线等于斜边的一半） 北京卷T24（含30度角的直角三角形） 1. 掌握直角三角形两锐角互余的性质；2. 理解并应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 能结合等腰三角形性质解决直角三角形相关问题。 勾股定理及逆定理 北京卷T15（勾股定理解三角形） / 北京卷T8，T15（勾股定理） 1. 掌握勾股定理，能利用勾股定理进行直角三角形的边长计算；2. 掌握勾股定理的逆定理，能判定一个三角形是否为直角三角形；3. 能运用勾股定理解决实际问题（如测量、航海）。 锐角三角函数的定义与计算 北京卷T20（求直角三角形中锐角的正弦、余弦值） 北京卷T15,T20（解直角三角形的相关计算） 北京卷T20（解直角三角形的相关计算） 1. 理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；2. 能根据直角三角形的边长求锐角的三角函数值；3. 能根据锐角的三角函数值求直角三角形的边长。 直角三角形的实际应用（解直角三角形） / / / 1. 理解坡度、坡角、方位角等概念；2. 能运用解直角三角形的知识解决实际测量问题；3. 体会数学与生活的联系，提升数学建模能力。 命题预测 1. 直角三角形斜边中线性质的灵活应用，常与等腰三角形、垂直平分线结合考查； 2. 勾股定理的逆定理判定直角三角形，可能结合网格背景或坐标系； 3. 锐角三角函数的定义及特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值计算，需注意单位换算（如坡度与坡角的关系）； 4. 解直角三角形的实际应用，高频情境为测量高度、航海距离、斜坡坡度，需结合方位角、仰角俯角等概念。 考点一 勾股定理及其逆定理 勾股定理是直角三角形边长计算的核心依据，逆定理是判定直角三角形的关键方法，二者需配套掌握。 勾股定理内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 若 中，，直角边为 ，斜边为 ，则 。 适用条件 仅限直角三角形，且计算时需明确直角边和斜边的对应关系。 常见应用场景 已知直角三角形两边，求第三边； 证明线段的平方关系（如几何综合题中线段相等、垂直的推导）； 结合折叠、平移、旋转模型，计算线段长度。 勾股定理的逆定理 若三角形三边长 （ 为最长边）满足 ，则这个三角形是直角三角形，且最长边 所对的角为直角。 易错点提示 混淆直角边和斜边，将斜边当作直角边代入公式计算； 应用逆定理时，未先确认 是三角形的最长边，直接判定直角三角形。 1．（2025·北京·模拟预测）如图，数轴上点表示的实数是（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·北京大兴·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．2.5 D．3 3．（2025·北京·模拟预测）如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交于点M，若，给出下面四个结论：①M是的中点；②平分；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 考点二 直角三角形核心性质 除勾股定理外，直角三角形的角、中线、特殊角性质也是中考高频考点： 角的性质 直角三角形两锐角互余，即 （角度计算的隐含条件）。 斜边中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。若 为 斜边 的中点，则 。 特殊直角三角形的边长性质 含 角的直角三角形： 角所对的直角边等于斜边的一半； 含 角的等腰直角三角形：两直角边相等，斜边 （ 为直角边）。 易错点提示 斜边中线定理的应用忽略“斜边”前提，误用于直角边上的中线； 颠倒 角所对直角边与斜边的数量关系。 1．（2025·北京丰台）如图，在中，，，是的中点，点、分别在边、上运动（点不与点、重合），且，连接、、．有下列结论： ①且； ②； ③四边形的面积大于面积的一半． 其中正确的是 （填写序号）．      ∵，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴且，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积的面积面积的一半．，故③错误； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； 故答案为：①②． 2．（2025·北京通州）如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题：    （1） °； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 3．（2025·北京顺义）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 考点三 直角三角形的判定方法 除勾股定理逆定理外，还有3种直接判定直角三角形的方法： 定义判定：有一个角为 的三角形是直角三角形； 角的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形； 中线判定：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形是直角三角形（斜边中线定理的逆用）。 易错点提示 中线判定时，混淆“中线等于边的一半”的对应关系，误判非斜边的中线情况。 1．如图，已知，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 2．已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在四边形中，，作，使得点E和点A在直线异侧，连接，过A作交射线于点F． (1)依题意，补全图形； (2)证明：； (3)连接，若G为线段的中点，连接，过A作于M，判断与的数量关系并证明． 考点四 直角三角形的全等判定与综合 直角三角形的全等及模型是中档题核心，重点掌握2类内容： 专属全等判定——HL定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形，区别于SSS、SAS等一般判定方法）。 中考常见模型 折叠模型：直角三角形沿某直线折叠，利用折叠前后边、角相等，结合勾股定理列方程求边长； 1．（2024·北京西城）如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且． (1) 求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 2．如图，已知在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是等腰三角形时，的长是 ． 3．（2025·北京西城）如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为 （用含的式子表示）． 考点五 锐角三角形的性质 锐角三角形多作为综合题的基础条件，核心掌握“性质+判定”2类内容： 核心性质 角的性质：三个内角均为锐角，且最大角小于 ； 高的性质：三条高均在三角形内部，垂心（三条高的交点）也在内部； 边的性质：最长边 满足 （区别于直角三角形的 、钝角三角形的 ）。 判定方法 定义判定：三个角都小于 ； 最大角判定：最大角小于 ； 边的判定：最长边 满足 。 易错点提示 仅通过单个锐角判定锐角三角形； 混淆锐角、直角、钝角三角形的垂心位置。 1．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是______三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，，且这个三角形是直角三角形，求的值． 2．在数学学习中，观察实验猜想证明是研究几何图形性质的一般思路．某班同学运用这个思路对三角形三边平方的关系展开了研究： 【观察】在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（设直角边长分别为，斜边为，那么．对于一般的三角形，三边长分别为，且，其边长的平方是否也存在某种关系． 【实验操作】小组成员通过测量不同类型三角形（锐角三角形，钝角三角形）三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想三边平方之间的关系： 当是锐角三角形时，三边之间的关系是：； 当是钝角三角形时，三边之间的关系是： ① ． 【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，过点作，垂足为．这样就把锐角分成了两个直角三角形和，从而可以运用勾股定理进行边的关系推导． 以下是小组成员的证明过程： 如图①，过点作，垂足为．设． 在中，， 在中， ② ， ② ． 化简得，． ． ． ． （1）其中，①是_______；②是_______． 【知识迁移】（2）如图②，当是钝角三角形时，请证明与之间的关系． 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 命题点一 勾股定理及其逆定理 ►题型01 勾股定理 1.适用范围误用：将勾股定理套用在非直角三角形上，忽略定理仅适用于直角三角形的核心前提。 2.边角对应错位：混淆直角边与斜边，未明确a2+b2=c2中c是斜边直角所对的边），误将直角边代入c的位置计算。 3.逆定理应用疏漏：用勾股定理逆定理判定直角三角形时，未验证最长边的平方是否等于另外两边平方和，直接判定直角。 【典例】（2025·北京朝阳）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，．连接，点恰好落在线段上． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【变式1】（2025·北京西城）如图，在锐角中，，，线段绕点顺时针旋转，得到线段，将射线绕点逆时针旋转，分别交，的平分线于点，点． (1)依题意补全图形，并直接写出（用表示）； (2)连接，分别交，于，，判断与的数量关系并证明； (3)直接写出，和的数量关系． 【变式2】（2025·北京西城）如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．若，则在点从运动到的过程中，最短时， ． 题型02 勾股定理的应用 1.斜边直角边混淆：计算时误将直角边当作斜边代入公式，或求斜边时未进行开方运算。 2.实际场景构形失误：在折叠、航海等实际问题中，未正确构造直角三角形模型，强行套用勾股定理。 3.分类讨论遗漏：直角三角形中已知两边求第三边时，忽略第三边可能是直角边或斜边的情况，导致漏解。 【典例】（2025·北京）如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【变式1】（2025·北京）步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 【变式2】（2025·北京）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） ►题型03 勾股定理逆定理 1.忽略最长边验证：判定时未先确定最长边，直接套用三边平方关系，导致非最长边的平方和等于第三边平方时误判直角。 2.定理用途混淆：将逆定理（由边判直角）与勾股定理（由直角求边）因果倒置，用直角三角形性质反推三边关系。 3.计算化简失误：三边含根式、代数式时，平方运算或求和化简出错，导致三边平方关系验证错误，判定结果偏差。 【典例】第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度．   【变式1】（2025·北京大兴）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：若点不在线段上，且满足，则称点为线段的等距点．若点为线段的等距点，且时，称点为线段的远等距点；若点为线段的等距点，且时，称点为线段的近等距点． 已知点的坐标为． (1)如图1，若点的坐标为，则在点，，中，是线段的近等距点的是________； (2)如图2，若点在轴正半轴上，且． ①若点为线段的远等距点，则点的横坐标的取值范围是________； ②若点为线段的等距点，点的坐标为，则的最小值为________（用含的代数式表示）； (3)若点在轴上，当（点与点不重合）时，为线段的等距点，且，则点的纵坐标的取值范围是________． 【变式2】（2025·北京专题）在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（ ） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．不是直角三角形 命题点二 直角三角形核心性质 ►题型01 直角三角形的两个锐角互余 1.适用范围越界：在非直角三角形中套用该性质，忽略“三角形有一个直角”的核心前提。 2.角度对应混淆：多直角三角形嵌套时，错把甲三角形的锐角与乙三角形的锐角配对互余，张冠李戴。 3.逻辑推导倒置：由两锐角互余直接判定三角形为直角三角形时，未排除“两锐角和为90°但存在钝角”的矛盾情形，论证不严谨。 【典例】（2023·北京东城·二模）如图，在中，于点，于点和交于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2023·北京平谷·二模）在中，，点为边上一点，为延长线上的一点，，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点，．    (1)找出图中和相等的一个角，并证明； (2)判断、、的数量关系，并证明． 【变式2】（2024·北京顺义·二模）如图，在中，是边上一动点（不与B，C重合），于点E．设给出下面三个结论： ①  ② ③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．② D．①②③ 题型02 判断三边能否构成直角三角形 1.未锁定最长边验证：直接套用三边平方关系，未先确定最长边，误将非最长边的平方和等于第三边平方当作直角三角形判定依据。 2.忽略三边关系前提：只验证勾股逆定理的平方关系，未检验三边是否满足“任意两边之和大于第三边”，出现无法构成三角形却判定为直角三角形的错误。 3.平方运算化简失误：三边含分数、根式或代数式时，平方计算、合并化简出错，导致三边平方关系验证偏差，误判直角三角形。 【典例】（2024·北京通州）如图所示，在正方形网格中，点A，B，C，D为网格线的交点，线段与交于点O．则的面积与面积的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【变式1】（2025·北京朝阳）如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【变式2】（2024·山东济南）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M和N，分别以M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，以同样的方式作射线BF，AE和BF交于点O，则∠AOB的度数是（   ） A．100° B．135° C．145° D．125° 题型03 含30度角的直角三角形 1.边角对应错位：混淆30°角的对边与邻边，误将邻边（长直角边）当作斜边的一半，违背“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的核心性质。 2.适用范围越界：将该性质套用在无30°角的直角三角形或非直角三角形中，忽略“直角三角形+30°锐角”的双重前提。 3.逆用条件疏漏：逆用性质时，未确认“三角形是直角三角形”的前提，仅由“一条直角边是斜边的一半”就直接判定该边对的角为30°。 【典例】如图，等边的边长为6，的角平分线交于点D，过点D作，交于点E、F，则的长度为 ． 【变式1】（2024·北京海淀）已知，，点A在边上，点P是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接，再以线段为边作等边（点C、P在的同侧），作于点H．    (1)如图1，．①依题意补全图形；②求的度数； (2)如图2，当点P在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【变式2】（2025·北京怀柔）等腰中，，垂足为点，且，则等腰底角的度数为 ． 命题点三 直角三角形的判定方法 题型01 锐角互余的三角形是直角三角形 1.跨三角形套用判定：误将两个不同三角形的锐角当作同一三角形的内角，仅凭两角互余就判定直角三角形，忽略判定的核心前提。 2.逻辑推导不严谨：未结合三角形内角和180°推导，直接由两角互余得出第三个角为90°；或与“直角三角形两锐角互余”的性质因果倒置。 3.角的归属混淆：复杂嵌套图形中，错把非目标三角形的互余锐角，套用到目标三角形上判定直角，张冠李戴导致结论错误。 【典例】如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 【变式1】根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 题型02 在网格中判断直角三角形 1.边长计算失误：将网格中斜向线段的格数直接当作边长，忽略需用勾股定理（横向、纵向格数的平方和开方）计算实际长度。 2.逆定理应用疏漏：未先确定三边中的最长边，直接验证三边平方关系，导致非最长边的平方和等于第三边平方时误判直角。 3.忽略三点共线情形：未检验网格中三点是否共线，直接计算边长套用定理，将共线的三点误判为能构成直角三角形的顶点。 【典例】（2023·北京石景山·一模）如图，点、、都在正方形网格的格点上，将绕点顺时针旋转后得到，点、的对应点、也在格点上，则旋转角（）的度数为 ． 【变式1】（2024·北京丰台·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格， °．（点A，B，C，D，P是网格线交点）    【变式2】（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 题型03 中线判定 1.中点验证缺失：未确认线段是否平分对边，仅凭“连接顶点与对边的线段”就判定为中线，忽略“对边中点”的核心条件。 2.线段概念混淆：在等腰三角形中，误将角平分线、高直接等同于中线，忽略三线合一的前提限制，未单独验证平分对边的属性。 3.三角形归属错位：复杂嵌套图形中，错把其他三角形的边当作目标三角形的对边，连接顶点与非对应对边的点，判定出错误中线。 【典例】如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为 ． 【变式1】如图，在四边形中，．分别是对角线的中点．若，，则的长为 ． 【变式2】如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 命题点四 直角三角形的全等判定与综合 题型01 全等的性质和HL综合 1.忽略HL前提限制：在非直角三角形中直接套用HL判定全等，违背HL仅适用于直角三角形的核心条件，后续全等性质的应用也随之错误。 2.对应关系混淆：HL判定全等后，应用性质时错配直角边、斜边的对应关系，把非对应边/角当作相等关系推导，导致边长或角度计算偏差。 3.性质判定倒置：用全等三角形对应边/角相等的性质，反向推导满足HL的条件，逻辑上因果倒置，推导过程不成立。 【典例】（2023·北京房山·一模）下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）． 方法一： 已知：如图，中，，平分． 求证：，． 方法二： 已知：如图，中，，点为中点． 求证：，． 方法三： 已知：如图，中，，． 求证：， 【变式1】（2024·北京海淀·模拟预测）如图，在中，，，点D在线段上，连接，于点E，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，连接． (1)依题意补全图形： ①设，则的度数为________________；（用含的式子表示） ②求证：； (2)探究、、之间的数量关系并证明． 【变式2】如图，在正方形中，E是的中点，将沿对折至，延长交于点G，连结． (1)求证：． (2)求的大小． (3)若，求的长． 题型02 折叠与直角三角形 1.对应边角混淆：折叠后未准确锁定全等的对应边、对应角，错把非对应线段或角度等同，导致直角三角形的边长、角度关系推导错误。 2.隐藏直角漏判：忽略折叠产生的新直角或互补角关系，未结合折叠前后的角度变化构造直角三角形，无法正确套用勾股定理计算。 3.线段关系疏漏：设未知数表示折叠后线段时，未理清线段间的和差等量关系，列勾股定理方程时出现线段长度代换错误。 【典例】在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（    ） A．小睿折出的是中的平分线 B．小志折出的是边上的中线 C．小芳折出的是中边上的高 D．上述说法都错误 【变式1】（1）操作发现： 如图①，在中，，点D是BC上一点，沿AD折叠，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系________________________________； （2）问题解决： 如图②，若（1）中；，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形ABCD中，，，，，连接AC、点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若，求DE的长． 【变式2】数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在中，，，，点D是边上一动点，于点 (1)【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______； (2)【问题解决】在（1）的条件下，求的长； (3)【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上的点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积． 命题点五 锐角三角形的性质 题型01 锐角三角形 1.判定条件疏漏：仅根据三角形**两个内角为锐角**就判定为锐角三角形，忽略“三个内角都小于90°”的核心条件（钝角三角形也存在两个锐角）。 2.边角关系误判：验证时未锁定最长边，直接用任意两边平方和大于第三边判定锐角，忽略“最长边的平方小于另外两边平方和”的判定准则。 3.高线位置混淆：误将锐角三角形的高画在三角形外部，混淆其与直角、钝角三角形高线位置的区别，导致面积计算或线段推导错误。 【典例】在一个三角形中，它的最小内角是50度，那么这个三角形按角分是（      ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【变式1】我们知道：“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”．但是，小亮发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等，除小亮的发现之外，当这两个三角形都是 时，它们也会全等；当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形，另一个是 时，它们一定不全等． 【变式2】小慧在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（    ）    A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形 突破一 勾股定理与逆定理 【典例】（2025·北京海淀）已知，点为射线上的定点，点为射线上的动点（不与A，O重合），作线段的垂直平分线，分别交，于C，D，连接，过点作的垂线，垂足为E，交直线于点． (1)如图1，当点在的延长线上时，依题意补全图形，并证明：； (2)当点在的延长线上时，用等式表示线段和的数量关系，并证明； (3)若，记的中点为，连接，当点在射线上运动时，直接写出线段长的取值范围． 【变式1】阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【变式2】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 突破二 三角形中位线和含30°角的直角三角形 【典例】（2024·北京海淀·一模）在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF． (1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系； (2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例． 【变式1】数学综合与实践课上，同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图，小东同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线，相交于点，边与相交于点． (1)如图①，当时，线段与的数量关系是______； (2)将图①中的旋转到如图②所示的位置，请判断线段与的数量关系是否发生变化，并说明理由． (3)在（2）的情况下，若绕点旋转时，边与的交点始终在线段上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 【变式2】（2024·北京石景山·一模）如图，在等边中，D为边AC的延长线上一点（），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明． 【点睛】本题考查平移变换、等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 突破三 斜边中线等于斜边一半与旋转 【典例】（2025·北京石景山·一模）如图，在中，，，D是的中点，E是线段上的动点（不与点B，D重合），连接．F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段，连接． (1)求的大小； (2)连接，判断与的位置关系，并证明． 【变式1】（2025·北京海淀）如图，在中，，，P为线段上的动点（不与点C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当P是中点时，连接，求证：； (2)如图2，过点Q作直线，交直线于点M，作交射线于点N，请补全图2，探究线段和线段的等量关系并证明； (3)如图3，若，，O为的中点，M为线段上的动点，N为线段上的动点，，D为线段的中点，求线段的最小值． 【变式2】（2023·北京东城·模拟预测）如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． (1)连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； (2)如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 1．（2024·北京东城·二模）如图，在中，于点，点是的中点．设，，，，，，且，有以下三个结论： ①； ②点，，在以点为圆心，为半径的圆上； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（   ） A．为等腰直角三角形 B．点坐标为 C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为1 4．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 5．（2025·北京平谷·一模）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 6．（2025·北京）如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 7．（2025·北京·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，连接．给出下面四个结论： ；②；③； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 8．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图：分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；作直线交于点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 9．（2023·北京石景山·一模）在中，，，点D为射线上一点，过点D作且（点E在点D的右侧），射线交射线于点F，点H是的中点，连接，． (1)如图1，当点D在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系； (2)当点D在线段的延长线上时，依题意补全图2．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 10．如图，中，，点，分别是，的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 11．（2024·北京·二模）在中，，，M为的中点，D为线段上的动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，点D在线段上，求证：； (2)如图2，点D在线段上，连接，取的中点F，连接并延长交的延长线于点G，若，用等式表示线段的数量关系，并证明． 12．（2024·北京东城·二模）如图，在四边形中，点在上，，，于点，于点，．      (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 13．（2023·北京海淀·二模）如图，在中，，，D是的中点，E是的中点，连接．若射线与的夹角为，过点作交射线于点F． (1)①依题意补全图形；②求证：； (2)连接，，判断线段，之间的数量关系，并证明． 14．（2025·北京东城·一模）如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与的数量关系，并证明， 1．（2025·北京海淀）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的取值范围是 ． 2．如图，两个全等的含的三角板和三角板，如图所示放置，、、三点在一条直线上，，连接，取的中点，连接、．下列结论：①；②；③；④；其中正确的 ． ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 3．（2025·北京海淀）如图，是等边三角形，为边的中点，则 度；当cm，为中线上的动点，则的最小值是 ． 4．（2025·北京西城）如图，已知与中，，，，为中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写序号）． 5．（2025·北京专题）在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段与角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． 【活动初探】（1）如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F，请直接写出与的数量关系：______． 【变式再探】（2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为中点． 【类比深探】（3）如图3，在中，，点D为中点，，点F为直线上一动点，点E为延长线上一动点，且满足，连接．补全图形，猜想并证明、、的数量关系． 6．（2025·北京·模拟预测）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． (1)如图1，当点在射线上时，点恰好是的中点，请写出与之间的关系，并证明； (2)如图2，若与之间的关系如（1）所求，当点在外部时，作，交射线于点； ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 2．（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． (2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 3．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 4．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 5．（2025·广东·中考真题）如图，是斜边上的中线，过点，分别作，，与相交于点．现有以下命题： 命题1：若连接交于点，则． 命题2：若连接，则． 命题3：若连接，则． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 6．（2014·江苏南京·中考真题）【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF． （1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF． （2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF． 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． （3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $