专题02 含参方程与不等式综合-2026年山东省初升高自主招生考试专项复习

专题02 含参方程与不等式综合 知识导航 高频易错 易错类型 具体表现 错误原因 规避策略 忽略一元二次方程二次项系数限制 直接对 用判别式求参数范围，未考虑 思维定式，默认方程为一元二次方程，忽视参数取值对方程类型的影响 第一步先判断方程类型：讨论 （一元一次）和 （一元二次）两种情况 含参不等式分类讨论不完整 解 时，只讨论 和 ，遗漏 的情况 对参数的取值范围考虑片面，忽略系数为0的特殊情形 按“系数>0、系数<0、系数=0”三步分类，逐一验证解集 韦达定理应用未验证判别式 已知方程 两根互为倒数，直接用 得 ，未验证 混淆“韦达定理成立的前提是方程有实根”，忽略判别式的约束作用 用韦达定理求参数后，必须代入判别式验证，舍去使 的参数值 根的分布问题漏条件 求方程 两根都大于1的参数范围，只列 ，未用 和对称轴 对根的分布的等价条件理解不全面，仅关注函数值符号，忽略判别式和对称轴的限制 根的分布问题需同时满足3个条件：、对称轴位置、区间端点函数值符号 混淆“恒成立”与“有解”条件 认为 恒成立与有解的条件相同，均用 且 对两类问题的本质逻辑理解错误：恒成立是“全体x满足”，有解是“存在x满足” 1. 二次不等式恒成立：开口方向+判别式2. 二次不等式有解：分开口方向讨论，或转化为函数最值问题 题型精讲 知识点一、含参一元一次方程 方法 适用题型 关键技巧 分类讨论法 型方程 1. 时，解为 2. 时，方程有无数解 3. 时，方程无解 参数定位法 解的范围反求参数 先解出方程的解（用参数表示），再根据解的条件列不等式求解 题型精讲 1．若关于x的方程的解是负整数，则满足条件的整数k的值有 个． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据方程的解是负整数得到的值为，，，求出k值解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解是负整数， ∴的值为，，， 解得的值为，，，共个， 故答案为：． 2．若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将代入原方程，解之可得出，将方程转化为，再将代入求解即可得到x的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 3．两盒糖果共176块，从第二个盒子中取出16块放入第一个盒子中，这时第一个盒子中糖果的块数比第二个盒子中糖果的块数的倍（为大于1的整数）多31块，那么第一个盒子中原来至少有糖果 块． 【答案】131 【分析】本题考查含参数的一元一次方程，通过题意设第二个盒子有个糖果，则第一个盒子里面有个糖果，列出方程，解得：，能乘除，可得或或 ，即可求值. 【详解】解：设第二个盒子有个糖果，则第一个盒子里面有个糖果， 则： ∴ ∵ ∴ ∵能整除 ∴或或 ∴或或 ∴ ∴第一个盒子中原来至少有131块糖果． 故答案为：131. 知识点二、含参一元二次方程 1. 根的判别式（）的应用 ：方程有两个不相等的实数根 ：方程有两个相等的实数根 ：方程无实数根 关键：结合参数讨论的符号，注意二次项系数的前提 题型精讲 4．若、为整数，方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，得到，根据、为整数，得到，求出即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵方程有一个根为， ∴， ∴， ∴， ∵、为整数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 6．已知，，，是非零实数，和是方程的解，和是方程的解，则的值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，因为c和d是方程的解，a和b是方程的解，根据方程的解和根与系数的关系，确定字母系数a，b，c，d之间的关系，然后求出的值即可． 【详解】∵c是方程的解， ∴① ∵a是方程的解， ∴② 得：③， 由根与系数的关系有：④，⑤， 得：⑥ ， ∴或， 当时，则：， 由⑤可知，则， ∵是非零实数， ∴ ∴，代入⑥得， ∴； 故选：D． 2. 韦达定理的参数求解 根与系数关系：， 常见考法：已知根的性质（如两根同号、异号、互为相反数）求参数范围 题型精讲 7．已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了含参数的一元一次方程和一元二次方程的整数根问题，解题的关键是分二次项系数为0和不为0两种情况讨论，对于二次方程通过因式分解转化为整数解的条件求解． 分（一元一次方程）和（一元二次方程）两种情况；当时，直接求解并判断根是否为整数；当时，因式分解方程，利用根为整数的条件确定的可能取值，进而求出整数，统计符合条件的的个数． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，是整数，故符合条件； 当时，方程为一元二次方程，因式分解得，根为和； ∵根都是整数， ∴为整数，即为整数； ∴为2的约数：； 当时，；当时，；当时，；当时，；均为整数，符合条件； 综上，满足条件的整数为，共5个． 故选：D． 8．若关于的一元四次方程有实数根，则满足条件的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整体思想和一元二次方程根的情况，解决此题的关键是合理的运用换元思想；先把当做整体换成，再根据一元二次方程根的判别式即可解决问题； 【详解】解：∵关于的方程为一元四次方程， ∴最高项次数， 令， ∴原方程可转化成， ∵要想使原方程有解， ∴方程必有解且， ∴， 解得：， ∴由根与系数关系的可得： ∴， 综上可知：， 故答案为：． 9．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了根的判别式，以及根与系数的关系．将原方程变形为，求出方程的，分为两种情况，，代入后求出a的范围即可． 【详解】解：原方程可化为，这是一个关于的一元二次方程， ∵原方程有两个不相等的实根， ∴只有一个大于0的实数根， ， 当时，有唯一解； 时，； 此时原方程为，即， 解得：； 的一个根大于0，另一个根小于0， ②，，， 根据根与系数的关系得：， 即， 综上所述，a的取值范围是或， 故答案为：或． 10．若，且，，则化简 ． 【答案】3 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，且，，得到是一元二次方程的两个根，，根据根与系数的关系，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴原式； 故答案为：3． 11．已知为有理数，若关于的一元二次方程有一个实根为，则该方程的另一个实根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合计算，由根与系数的关系可得，，由a，b，c是有理数，，得到和都是有理数，，则可设（n为有理数），求出，根据是有理数，且n是有理数，得到，即，据此可得答案． 【详解】解；设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∵a，b，c是有理数，， ∴和都是有理数， ∴和都是有理数， ∴可设（n为有理数）， ∴ ， ∵是有理数，且n是有理数， ∴， ∴， ∴， ∴原方程的另一个根为， 故答案为：． 12．求关于的方程的所有实数根的和． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，一元二次方程根与系数的关系；令：，，，进而可得，结合已知可得，转化为或，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解： 令：，， 原方程化为 ． ∵ ∴ 即 因此，原方程等价于 或 ，即： 或 ，乘以 3 消分母： 判别式：（因为 ，所以恒有两实根）． 根的和（由二次方程根与系数关系）：． ，乘以： 判别式：（恒有两实根）． 根的和：． 所有根的和为 ． 3. 根的分布问题 常见类型：两根都大于、两根都小于、一根大于一根小于 解题技巧：结合判别式、韦达定理、函数图像（数形结合） 题型精讲 13．已知m，n为整数，n为整数，且满足，求m，n的值． 【答案】或 【详解】以m为主元，得关于m的一元二次方程． 因为m有整数解，所以， 解得． 又n为整数，所以． 又方程有整数解，则必为完全平方数，从而． 当或时，代入原方程均有， 解得（舍去）． 故或． 14．若，且方程的两根均为奇数，则此方程的根为 ． 【答案】 【详解】填．理由：设是方程的两个根，则 ． 因为均为奇数，故为偶数，为奇数． 又， 则． 故． 由，解得． 从而，． 所以，或4，即或． 当时，，符合题意； 当时，与均为无理数，不合题意，舍去． 故原方程的根为． 15．若两个不同的自然数a，b组成的数对满足它们的算术平均数和几何平均数均为两位数，且A和G中的一个可由另一个交换个位和十位数字得到，则称这样的自然数对为“好数对”．那么，满足条件的好数对有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解  选A．理由：由题意得 则a，b是关于x的一元二次方程的两根． 解得． 从而，是自然数． 设，则． ． 要使为完全平方数，必须或． 但，故． 所以，． 又，故． 这就要求是完全平方数，而，则可能有或． 当时，p，q均不为整数，故． 当时，得，此时，A，G分别为65和56． 进而求得为． 故满足条件的好数对只有1对． 知识点三、含参不等式（组） 1. 含参一元一次不等式（） 的符号 解集情况 注意事项 不等号方向不变 不等号方向改变 时，解集为全体实数；时，无解 易遗漏此分类 题型精讲 16．已知：是不等式的最小整数解，请用配方法解关于的方程． 【答案】， 【分析】先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可 【详解】解：∵； ∴； ∴； ∴； ∵是不等式的最小整数解， ∴； ∴关于的方程； ∴； ∴； ∴； ∴，． 【点睛】本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键． 17．不等式3x﹣3m≤﹣2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是 ． 【答案】12≤m＜15 【详解】分析：先求出不等式的解集，然后根据其正整数解求出m的取值范围． 详解：不等式3x﹣3m≤﹣2m的解集为x≤m， ∵正整数解为1，2，3，4， ∴m的取值范围是4≤m＜5，即12≤m＜15． 故答案为12≤m＜15． 点睛：本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 18．新定义：对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，试解决下列问题： (1)填空： ①________为圆周率）， ②如果，则实数的取值范围________； (2)若点位于第一象限，其中，是方程组的解，求的取值范围： (3)若是正整数），例：（3）．下列结论： ①（1）；    ②；    ③；    ④或1． 正确的有________（填序号）． 【答案】(1)①3；②5≤x<6 (2) (3)①②④ 【分析】（1）①根据规定[x]表示不大于x的最大整数，可得答案；②根据规定可得3≤x-2＜4，解不等式组即可求解； （2）解方程组得，由点P位于第一象限知得，进一步求解即可； （3）根据新定义进行计算进而判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】（1）（1）①根据题意知； ②， ， 解得， 故答案为：①3；②． （2）解关于，是方程组得， 点位于第一象限， ，解得，则， ； （3）（1），故①正确； ，故②正确； 当时，，而（3），故③错误； 当为自然数）时，，当为其它的正整数时，，所以④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、解二元一次方程组，第一象限的点的符号问题，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立． 19．若不等式有解，则实数最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】分类讨论：当x<1或1≤x≤3或x>3，分别去绝对值，解关于x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值． 【详解】当x<1，原不等式变为：2−2x+9−3x≤a，解得：x≥， ∴<1，解得：a>6； 当1≤x≤3，原不等式变为：2x−2+9−3x≤a，解得：x≥7−a， ∴1≤7−a≤3，解得：4≤a≤6； 当x>3，原不等式变为：2x−2+3x−9≤a，解得：x≤， ∴>3，解得：a>4； 综上所述，实数a最小值是4． 故选C． 【点睛】本题主要考查含参数的绝对值不等式，掌握求绝对值法则，解一元一次不等式的步骤以及不等式解的意义，是解题的关键．特别注意分类讨论思想． 20．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】8 【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：x≥6， 解不等式②得：x＞， ∵不等式组的解集为x≥6， ∴， ∴a＜7； 分式方程两边都乘（y-1）得：y+2a-3y+8=2（y-1）， 解得：y=， ∵方程的解是正整数， ∴＞0， ∴a＞-5； ∵y-1≠0， ∴≠1， ∴a≠-3， ∴-5＜a＜7，且a≠-3， ∴能使是正整数的a是：-1，1，3，5， ∴和为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组与解分式方程，掌握一元一次不等式组与分式方程的解法是解题的关键． 21．若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解；且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】20 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴的解集为， ∵不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得； ∵， 去分母得：， 整理，得， 故， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴或或或且 ∴符合题意的整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 2. 含参一元二次不等式 解题步骤：先判断二次项系数符号→求对应方程的根→结合二次函数图像确定解集 特殊考法：不等式恒成立问题（如 对全体实数成立） 且（二次函数开口向上，与轴无交点） 时，需转化为一元一次不等式恒成立讨论 题型精讲 22．不等式的解是 ． 【答案】（当时）；（当时）；无解（当时）． 【详解】解  原不等式化为，方程的两根为和． 若，则不等式的解为； 若，则不等式的解为； 若，则，不等式无解． 故应填： （当时）; （当时）;无解（当时）． 23．已知，对于满足条件的一切实数，不等式（1）恒成立，当乘积取最小值时，求，的值． 【答案】，和， 【分析】本题考查二次不等式以及二次函数的性质，先求出，再联立方程组，进而即可得到答案 【详解】解：整理不等式（1）并将代入，得 （2）， 在（2）中，令，得；令，得．易知，， 故二次函数的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式（2）对于满足条件的一切实数恒成立，所以它的判别式，即． 由方程组（3） 消去，得，所以或．又因为， 所以或，于是或．所以的最小值为， 此时的值分别为，和，． 24．已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（     ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由点，在函数，为常数）的图象上，从而，，进而根据和分别进行分析即可得解． 【详解】解：由题意，点，在函数，为常数）的图象上， ，． 当时， A、若， ． ． ． ． ，故A错误，故本选项不符合题意； B、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故B错误，故本选项不符合题意； 当时， C、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故C错误，故本选项不符合题意； D、若， ． ． ． ． ，故D正确，故本选项符合题意． 故选：D． 强化训练 1．若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组求参数，根据已知条件推断出与k的关系是解题关键． 两式相减得到与k的关系，再根据k的取值范围求的取值范围即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， ． 故选：A． 2．要使分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【详解】依题意得，且．故选C． 3．已知有理数满足，若的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解方法以及求绝对值的法则，解不等式要依据不等式的基本性质，通过分类讨论求绝对值是解题的关键． 首先解不等式，求得x的范围，即可根据x的范围去掉中的绝对值符号，即可确定最大与最小值，从而求得． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 把系数化为1得：， 当时，， ， ∴， 当时， ， ， ∴的最小值为，最大值为， ∴， ∴． 故选：B． 4．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图甲所示，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）。将三种颜色的图形进行重组，得到如图乙所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论．如图丙所示，设为斜边的中点，作的内接正方形的对角线，过点作于点，则下列推理不正确的是（    ）． A．由图甲和图乙面积相等，可得 B．由，可得 C．由，可得 D．由，可得 【答案】A 【分析】分析图形，利用等面积法，以及直角三角形的性质，可得，，，结合不等式的性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：由图甲和图乙面积相等，可得， ∴， ∴选项A推理不正确，符合题意， 根据题意可得：，， ∵于点， ∴， ∴， 由，可得， ∴， ∴， ∴选项B推理正确，不符合题意， ∵在中，为斜边的中点， ∴， 由，可得， ∴， ∴， ∴选项C推理正确，不符合题意， 由，可得， ∴， ∴选项D推理正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查等面积转换，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，不等式的基本性质． 5．5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形．根据已知得出，推出，求出，两边都除以2即可得出答案． 【详解】解：∵设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：B． 6．若，则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，利用求差法与配方法比较代数式的大小． 设，则，将x，y用含t的式子表示，再通过计算，利用配方法将其化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小，即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∴， ∴，即． 故选B． 7．若关于x的方程有三个解，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了含有绝对值的一次方程解法，熟练掌握绝对值代数意义是关键． 根据绝对值的代数意义进行分析判断即可． 【详解】解；∵， 或， 则或， ∵关于的方程有三个解， ∴或，即， ∵， ∴， ∴． 此时或，即或或， ∴或或符合题意， ∴． 故选：D． 8．如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，易求a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：将，代入原方程并化简得， ∵当a，b为定值时，对任意的k成立， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 9．已知a、b实数且满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】考查了换元法解一元二次方程，设，由原方程得到求得t的值即可． 【详解】解：设，由原方程得到， 整理，得， 所以或（舍去）， 即的值为3． 故答案为：3． 10．阅读：因为，所以，这说明多项式有一个因式为，也说明当时，多项式的值为0．解答问题：方程的解是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键， 先因式分解，，再求方程的解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 方程的解为：或或． 故答案为：或或． 11．若正整数，，满足，，则称 为“好数组”，好数组共有 个． 【答案】3 【分析】此题考查了不等式的性质和解一元一次方程． 求出或2，分两种情况：①当时，或2或3或4或5或6，②当时，或3，分别进行解答即可． 【详解】解：，， ， ，，为正整数， ， 又， 或2 ①当时，或2或3或4或5或6， 当，时，，解得：，不合题意，舍去； 当，时，，整理得：，故不存在； 当，时，，解得：， 故得“好数组”为； 当，时，， 解得：， 故得“好数组”为， 当，时，，解得：，不合题意，舍去； 当，时，，解得：，不合题意，舍去； ②当时，或3，当，时，， 解得：，故得“好数组”为． 当，时，， 解得：，不合题意，舍去． 综上所述：“好数组”，，为，，，共3个． 故答案为：3 12．当时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程，二次根式有意义的条件，因式分解法解一元二次方程；根据题意得出，因式分解为，进而确定的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴且， 即， ∴或， ∴的解集为或， 又∵， ∴或． 故答案为：或． 13．如果关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数的值有 ． 【答案】3，6，7，9，15 【分析】本题考查了含待定字母的一元二次方程的整数解，求解待定字母的取值．熟练掌握一元二次方程和一元一次方程解的整数性，分情况进行求解，是解答本题的关键． 分、和三种情况考虑，当或9时求出x的值，以此确定或9是否合适；当（，利用分解因式法找出的值，根据以及a均为整数，找出a的值．综上即可得出结论． 【详解】解：∵， 当，即 时， 原方程为， 解得：， ∴合适； 当，即时， 原方程为， 解得， ∴合适； 当，即且 时, ∵， ∴原一元二次方程有有理根， ∵， ∴，， ∴，， ∵x是整数，a是整数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴a的值符合的有： 3，7，15． 综上，符合条件的整数的值有3，6，7，9，15． 14．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法的应用． 先写出x的表达式，再写出的表达式，将化成后代入化简即可． 【详解】，， ，， ． 故答案为：． 15．已知、是正整数，、、均不为0，若是八次三项式，求、的值． 【答案】，或，或， 【分析】本题主要考查了多项式的定义，不等式的性质，二元一次方程的解．根据题意可得，，再由多项式的定义，可得，即可求解． 【详解】解：依题意，得：的次数为， 的次数为， 的次数为． 因为、为正整数， 所以，． 因为是八次三项式， 所以， 即， 所以，或，或，． 16．如果二次不等式：的解是，求a的值． 【答案】 【详解】解  依题意，是方程的两个根，且，由韦达定理得 ，所以． 17．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 先把原方程变为，设，则，解出方程可得或，即可求解． 【详解】解：原方程变为， 设，则， 解得：或，         由 即， 解得， 由 即，此方程无解； 经检验：是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 18．要使不等式①与不等式②无公共解，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解  ①化为，故①的解为． ②化为．③ （1）当，③为，即，符合题意． （2）当，即时，③的解为符合题意． （3）当，即时，又分两种情形讨论： 若，即时，③的解为或，不符合题意; 若，即时，③的解为或． 要使①与②无公共解，必须即，结合得． 综上所述，得到要使①与②无公共解，m的取值范围是． 19．已知是方程的两个实数根，试求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、利用二次函数的性质求最值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据方程两个实数根，则利用根的判别式可得出关于k的一元一次不等式，然后求得k的取值范围；由题得，，进而得到，推出当时，有最小值，最小值为即可解答． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，解得：， ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， ， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，函数值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为． 20．已知． (1)试问：的值能否等于2？请说明理由； (2)求的值． 【答案】(1)的值不等于2，理由见解析 (2)2或27 【分析】本题主要考查了因式分解、分式求值、完全平方公式等知识点，正确进行因式分解和运用完全平方公式变形求值是解题的关键． （1）通过因式分解把高次方程化成一元二次方程，再由一元二次方程的解判断的值能否等于2即可； （2）把（1）中得到的代入中求值；把（1）得的变形求得的值，再通过完全平方公式求值． 【详解】（1）解：的值不等于2，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴或， 把代入，得， 解得，此时，与矛盾， ∴方程中的值不等于2， 综上，方程中的值不等于2． （2）解：当时，， 当时，，即， ∴． 综上，故的值为2或27． 真题展示 1．（2024·山东竞赛）已知实数，若，则的最大值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，掌握相关知识解决问题的关键．设，再将转化成的形式，从而求出的值，再确定出的最大值． 【详解】解：设， ∴ ∴， ， ， ∴的最大值为1， 代入可得： ， 即最大值为1，此时， 解， 解得， ∴当且仅当时，取得最大值为1． 故选：A． 2．（2025·山东泰安·竞赛）已知关于的方程无解，那么的值是（ ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【分析】先根据方程无解可得，从而可得，再根据偶次方的非负性即可得． 【详解】解：关于的方程无解， ，即， ， 即的值是非正数， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及平方数的非负的特征，掌握一次方程解的情况是解答本题的关键． 3．若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（   ） A．0 B．1 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先解关于x的一元一次不等式组，根据其解集，求出的取值范围，再解分式方程，根据其有非负整数解，求出的取值范围，进而可得符合要求的值，最后求和即可． 【详解】解：由不等式组，解得： ∵不等式组的解集为 ∴ 由分式方程 ，去分母得 解得， ∵分式方程有非负数解 ∴且 ∴的取值为，0，1，2，4 ∴符合条件的所有整数a的和为 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程．解题的关键在于求出符合条件的所有整数a． 4．（2024·山东竞赛）已知，其中为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．52 【答案】C 【分析】本题考查分式方程，解二元一次方程组，掌握掌握解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．先将原方程通过去分母化为整式方程，整理可得，根据方程两边恒等可得，解得，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 则， 解得：， ∴． 故选：C． 5．（2025·山东临沂）方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（   ） A．-2或3 B．3 C．-2 D．-3或2 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2-4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题． 【详解】解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2， ∴m+6=m2， 解得m=3或m=-2， ∵方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0 解得m=6或m=-2 ∴m=-2． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=． 6．（2025·山东泰安）若关于x 的一元二次方程有解，那么m的取值范围是（ ）. A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】试题分析：∵关于x 的一元二次方程有解， ∴判别式 ，m-20， 解得：且. 故选D. 考点：一元二次方程的判别式的应用. 7．（2024·山东临沂）如图，抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A．﹣3＜m＜﹣ B． C．﹣2＜m＜ D．﹣3＜m＜﹣2 【答案】A 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝﹣x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝﹣x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：令y=﹣2x2﹣8x﹣6=0， 即x2+4x+3=0， 解得x=﹣1或﹣3， 则点A（﹣1，0），B（﹣3，0）， 由于将C1向左平移2个长度单位得C2， 则C2解析式为y=﹣2（x+4）2+2（﹣5≤x≤﹣3）， 当y=﹣x+m1与C2相切时， 令y=﹣x+m1=y=﹣2（x+4）2+2， 即2x2+15x+30+m1=0， △=﹣8m1﹣15=0， 解得m1=﹣， 当y=﹣x+m2过点B时， 即0=3+m2， m2=﹣3， 当﹣3＜m＜﹣时直线y=﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点， 故选A． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 8．（2024·山东青岛·自主招生）若关于x的分式方程 无解，则a的值可取下列哪些值？①0 ②1 ③ ④6（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】分式方程无解的情况有两种：1. 化简后的整式方程无解；2. 解为增根（使分母为0的值）．通过通分将原方程转化为整式方程，分析不同a值对应的解是否为增根或方程是否矛盾． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得． 展开整理为． 解得 ()． 分析无解条件： 当： 方程变为，即， 矛盾，方程无解． 当：解为． 若此解使分母为0（即或），则原方程无解． 若， 则． 解得． 若， 则． 解得． 综上，a可取②③④． 应选项：B． 9．（2024·山东滨州）已知x为实数，且，那么的值为（   ） A．1 B．-3或1 C．3 D．-1或3 【答案】B 【分析】设，方程变形后，求出y的值，再检验即可确定所求式子的值． 【详解】解：设，方程变形为， 去分母得：，即， 分解因式得：， 解得：或， 经检验与都为分式方程的解， 则的值为-3或1， 故选：B． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，可采用整体思想换元，使方程简化，注意检验． 10．（2025·山东济南）定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程组求得点坐标，并由只有一个交点条件求得、的关系式， 再由新定义和列出的不等式，，求得的取值范围，由，得出关于的二次函数解析式，再根据函数的性质求得的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与直线只有一个交点， ∴方程组只有一组实数解， ∴， ∴， ∴， 即， ∴方程可以化为， 即， ∴， ∴ ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∵时，， 时，， ∴的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二元二次方程组、一元二次方程及其判别式、一元一次不等式组等知识．把问题转化为方程或方程组，构建二次函数并且利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 11．（2024·山东·自主招生）当代数式取最小值时，相应的x的值是： ；有A、B、C、D、E五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张．现在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要是调动的卡片总数最小，最少调动 张． 【答案】 2 9 【分析】本题主要考查了绝对值不等式，难度较大，解题的关键是掌握绝对值不等式：对于任意给定的实数，则，当且仅当时等号成立． 由绝对值不等式得到，当且仅当时取到最小值； 设A给B、B给C、C给D、D给E、E给A的卡片数量分别为，，，，，得到，，，，那么，再由绝对值不等式求解． 【详解】由绝对值不等式， 当且仅当时取到最小值； 设A给B、B给C、C给D、D给E、E给A的卡片数量分别为，，，，，对任意，表示反向调动卡片，那么调动完毕后，每个人的卡片数量为， 于是，我们有，，，， 所以 ， 当且仅当时取到等号， 故答案为：2；9． 12．（2024·山东临沂）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． （2）设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 13．（2024·山东青岛）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 探究一：求不等式的解集 （1）探究的几何意义 如图①，在以O为原点的数轴上，设点A＇对应点的数为，由绝对值的定义可知，点A＇与O的距离为， 可记为：A＇O=．将线段A＇O向右平移一个单位，得到线段AB，，此时点A对应的数为，点B的对应数是1， 因为AB= A＇O，所以AB=． 因此，的几何意义可以理解为数轴上所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB． （2）求方程=2的解 因为数轴上3与所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为 （3）求不等式的解集 因为表示数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点所对应的数的范围． 请在图②的数轴上表示的解集，并写出这个解集 探究二：探究的几何意义 （1）探究的几何意义 如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（），Q点坐标（），|OP|=，|OQ|=， 在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则 因此的几何意义可以理解为点M与原点O（0,0）之间的距离OM （2）探究的几何意义 如图④，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为，由探究（二）（1）可知， A＇O=，将线段 A＇O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（1,5）． 因为AB= A＇O，所以 AB=，因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（1,5）之间的距离． （3）探究的几何意义 请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程． （4）的几何意义可以理解为：_________________________. 拓展应用： （1）+的几何意义可以理解为：点A与点E的距离与点AA与点F____________（填写坐标）的距离之和． （2）+的最小值为____________(直接写出结果) 【答案】探究一（3） 解集为： 探究二（3）（）拓展应用（1）（） （2）5 【详解】试题分析：探究一（3）：的解集就是数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离小于2的点所对应的数，利用数轴可知 探究二（3）：根据题目信息，的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离． 拓展应用：根据题目信息知是与点F（）的距离之和． +表示点A与点E的距离与点A与点F（）的距离之和．∴最小值为E与点F（）的距离5. 试题解析：探究一 （3） 解集为： 探究二（3） 如图⑤，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为， 由探究（二）（1）可知， A＇O=， 将线段 A＇O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， 得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（）． 因为AB= A＇O，所以 AB=， 因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离． 拓展应用 （1）（） （2）5 考点：信息阅读题 试卷第42页，共43页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $专题02含参方程与不等式综合 知识导航 判别式与根的个数关系 根的判别式（△=b2-4ac)核心应用0 含参条件下的△取值范西 定理公式：1+2=-：1x2=:(a≠0) 韦达定理（根与系数的关系）含参应用0 已知根的关系求参数 一元二次方程含参问题（根的判别试+韦达定理） 根的符号判定求参数 构造新方程/代数式求值 两根都大于k:△≥0且-多>k且f(k)>0 综合题型：根的分布问题0 两根都小于k:△≥0姐-多<k且f(k)>0 一根大于k、一根小于k:f()<0(a>0) 含参元一次不等式(ax+b>0) 含参不等式分类求解0 含参-元二次不等式(ax2+bc+c>0) 含参不等式求解与参数范围确定○ 分离参数法 参数范围确定核心方法。 分类讨论法 数形结合法 图高频易错 易错类型 具体表现 错误原因 规避策略 忽略一元二 直接对ax2+2x+1=0用判 思维定式，默认方程为一元二 第一步先判断方程类型：讨论 次方程二次 别式求参数范图，未考虑a≠0 次方程，忽视参数取值对方程 a=0(一元-次)和a≠0 项系数限制 类型的影响 (一元二次)两种情况 含参不等式 解ax>3时，只讨论a>0 对参数的取值范围考虑片面， 按“系数>0、系数<0、系数=0” 分类讨论不 和a<0,遗漏a=0的情况 忽略系数为0的特殊情形 三步分类，逐一验证解集 完整 韦达定理应 已知方程x2+mx+1=0两 混淆“韦达定理成立的前提是 用韦达定理求参数后，必须代 用未验证判 根互为倒数，直接用x1x2=1 方程有实根”，忽略判别式的 入判别式验证，舍去使△<0 别式 得m,未验证△≥0 约束作用 的参数值 根的分布问 求方程x2-2kx+1=0两根 对根的分布的等价条件理解不 根的分布问题需同时满足3个 题漏条件 都大于1的参数范围，只列f 全面，仅关注函数值符号，忽 条件：△≥0、对称轴位置、区 (1)>0,未用△≥0和对称轴 略判别式和对称轴的限制 间端，点函数值符号 x=k>1 混淆“恒成 认为ax2+2x+1>0恒成立 对两类问题的本质逻辑理解错 1.二次不等式恒成立：开口方 立”与“有 与有解的条件相同，均用a>0 误：恒成立是“全体X满足”， 向+判别式2.二次不等式有解： 解”条件 且△<0 有解是“存在X满足” 分开口方向讨论，或转化为函 数最值问题 1/11 晶题型精讲 知识点一、含参一元一次方程 方法 适用题型 关键技巧 a≠0时，解为x=台 1. 分类讨论法 ax=b型方程 2.a=0,b=0时，方程有无数解 3.a=0,b≠0时，方程无解 参数定位法 解的范围反求参数 先解出方程的解〔用参数表示)，再根据解的条 件列不等式求解 题型精讲 1.若关于x的方程(k+2)x=4的解是负整数，则满足条件的整数k的值有个. 2.若关于x的一元一次方程ax+3b=3c的解为x=2,则关于x的方程-ax+b=2a+c的解为x= 3.两盒糖果共176块，从第二个盒子中取出16块放入第一个盒子中，这时第一个盒子中糖果的块数比第二个盒 子中糖果的块数的m倍(m为大于1的整数)多31块，那么第一个盒子中原来至少有糖果 块. 知识点二、含参一元二次方程 1. 根的判别式（△=b2-4ac)的应用 △>0：方程有两个不相等的实数根 △=0：方程有两个相等的实数根 △<0：方程无实数根 关键：结合参数讨论△的符号，注意二次项系数a≠0的前提 题型精讲 4.若p、9为整数，方程x2-x+q=0有一个根为V5-2,则p-9= 5.已知a是方程x2-2004x+1=0的一个根，试求a2-2003a 2004的值· a2+1 2/11 6.己知a,b,c,d是非零实数，c和d是方程x+am+b=0的解，a和b是方程x2+cx+d=0的解，则 a+b+c+d的值为() A.-1 B.2 C.1 D.-2 2. 韦达定理的参数求解 根与系数关系：十x2=-台x12= 常见考法：己知根的性质（如两根同号、异号、互为相反数）求参数范围 题型精讲 7.已知关于x的方程(a-1)x+2x-a-1=0的根都是整数，则满足条件的整数a的个数是（) A.2 B.3 C.4 D.5 8.若关于x的一元四次方程x4+2x2+a=0有实数根，则满足条件的a的取值范围是」 9.若关于x的方程x°-6x+(a-2)x-3+9-2a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是. 10.若m≠n,且m2-m-3=0,n2-n-3=0,则化简2m2+m(n2-5)= 11.己知a,b,c为有理数，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个实根为3-√2，则该方程的另一个实 根为 12.求关于的方程2x+兮-心广十（父-音+云+1-(：-x+)的所有实数税的和 3.根的分布问题 常见类型：两根都大于k、两根都小于k、一根大于k一根小于k 解题技巧：结合判别式、韦达定理、函数图像（数形结合） 题型精讲 13.已知m,n为整数，n为整数，且满足2m+n2+3m+n-1=0,求m,n的值. 3/11 14.若1≤p≤20,1≤q≤10，且方程4x2-x+9=0的两根均为奇数，则此方程的根为 15.若两个不同的自然数a,b组成的数对(a,b)满足它们的算术平均数4=a+b和几何平均数G=Vb均为两位 2 数，且A和G中的一个可由另一个交换个位和十位数字得到，则称这样的自然数对为“好数对”.那么，满足条 件的好数对有( )对 A.1 B.2 C.3 D.4 知识点三、含参不等式（组） 1. 含参一元一次不等式(ax>b) a的符号 解集情况 注意事项 a>0 b 不等号方向不变 x> a a<0 b 不等号方向改变 x< a a=0 b<0时，解集为全体实数；b≥0时，无解 易遗漏此分类 题型精讲 16.已知：a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2m+a+1=0. 17.不等式3x-3m≤-2m的正整数解为1,2,3,4，则m的取值范围是 18.新定义：对于实数x,我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如1.4=1，[2]=2，【-3.5]=-4，试解决下 列问题： (1)填空： ①[π]= (π为圆周率)， ②如果[x-2]=3,则实数x的取值范围 (2)若点P(x,y)位于第一象限，其中x,y是方程组 x+y=[a]+2 3x+4y=6a+3的解，求a的取值范围： 3)若f)=穿k是正整数，例：f(3)=3-身-1，下列结论： ①f(1)=0; ②fk+4)=f); ③f(k+1)≥f(K); ④f(k)=0或1. 正确的有 (填序号). 19,若不等式2x-1+3x-3a有解，则实数a最小值是( 4/11 A.1 B.2 C.4 D.6 20.若关于x的一元一次不等式组 [3x-2≥2(x+2) 的解集为x26,且关于y的分式方程”+20+3少-8=2的解 a-2x<-5 y-11-y 是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 x-2 ,若天于的元一次不等式组3至少有两个率数解，且关于y的分式方程y2四2的翰 3x-a<5 Ey-2 2-y 为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 2. 含参一元二次不等式 解题步骤：先判断二次项系数符号→求对应方程的根→结合二次函数图像确定解集 特殊考法：不等式恒成立问题（如ax2+bx+c>0对全体实数x成立) a>0且△<0（二次函数开口向上，与x轴无交点） a=0时，需转化为一元一次不等式恒成立讨论 题型精讲 22.不等式42x2+m<a2的解是 23.已知a2+b=1,对于满足条件0≤x≤1的一切实数x,不等式a(1-x)1-x-ax)-bx(b-x-bx)≥0(1)恒 成立，当乘积ab取最小值时，求a,b的值. 24.己知点A(),B(n+3,y)在函数y=a(x-m)x-m-2)(a≠0，m为常数)的图象上，则下列判断正确的 是( ) A.当a>0时，若乃<0，则<0 B.当a>0时，若1>0，则乃3>0 C.当a<0时，若乃<0，则y,<0D.当a<0时，若y1>0,则y<0 ©强化训练 8x+y=k+1 1.若方程组 x+8y-3的解为水”且2<k<4,则x-y的取值范围是() 5/11 2 A.0<x-y< B.0<x-y<2 C.-3<x-y<-1 D.-1<x-y<7 Vx2-7 2.要使分式2-x-3有意义，则x的取值范围是( Vx-4 A.x>4 B.x≥V7且x≠5 C.x>4且x≠5D.4<x<5 3.己知有理数x满足3-1_7 7一x牛2，若3xx+2的最小值为a,最太值为6，则b的值为 A.-1 B.5 C.-5 D.1 4.《九章算术》中“勾股容方”问题“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘微在其 《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图甲所示，用对角线将长和宽分别为b和 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）。将 三种颜色的图形进行重组，得到如图乙所示的矩形，该矩形长为α+b,宽为内接正方形的边长d,由刘微构造 的图形可以得到许多重要的结论，如图丙所示，设D为斜边BC的中点，作Rt△ABC的内接正方形的对角线 AE,过点A作AF L BC于点F,则下列推理不正确的是( 黄 朱 朱 黄 米 黄 青 黄 青 朱 甲 2ab A.由图甲和图乙面积相等，可得d= a+b B.由AE≥AF,可得，@+6a+b 2 a2+b3.2 C.由4D≥AE,可得V22工 a b D.由AD≥AF,可得a2+b2≥2ab 5,5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米.又 前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则( ) A.atbsotd B.ctdatb C.c+d_atb D.以上都不对 22 2 2 22 6/11 6.若x=×25+氵×5+3，y=×250+5+1,则x与y的大小关系是0 3 2 2 4 2 A.x>y B.x<y C.x=y D.无法确定 7.若关于x的方程‖x-3-7=k有三个解，则k的值为( A.1 B.3 C.5 D.7 8.如果a,b为定值时，关于x的方程巡+a+6处=1，它的根总是2，则a+b的值为() 24 A.18 B.15 C.12 D.10 9.已知a、b实数且满足(a2+b)-(a2+b）-6=0,则a2+b的值为一. 10.阅读因为(x+2)(x-1)=x+x-2,所以(x2+x-2÷(x-1)=x+2,这说明多项式x2+x-2有一个因式为x-1, 也说明当x=1时，多项式x2+x-2的值为0.解答问题：方程x-4x2-7x+10=0的解是 11.若正整数a,b,c满足a≤b≤c,abc=2(a+b+c),则称(a,b,c)为“好数组”，好数组共有 个 12.当(x+2)V2x2-x-10≥0时，则x的取值范围是· 13.如果关于x的方程(6-a)(9-a)x°-(117-15a)x+54=0的根都是整数，那么符合条件的整数a的值 有 14.已知x+y=22y2-y-4=0,则y-“的值为 15.已知m、n是正整数，a、b、c均不为0，若a+b'c- 7ab*e2+1。 am+b”c是八次三项式，求m、n的 12 值、 16.如果二次不等式：ax2+8a+21<0的解是-7≤x<-1,求a的值. 1以.解方程：+x+ x 18.要使不等式x2-3x+2≤0①与不等式(m-1)x2+(3-m)x-2<0②无公共解，求m的取值范围. 19.已知x,x是方程x-(2k+1)x+k+2=0的两个实数根，试求(x-2)+(x2-2)的最小值. 20.己知2m2-m4-1=5m-5m3. (1)试问：m2的值能否等于2？请说明理由； 2)求m+】的值 m 综上，故+而的值为2或2， 7/11 ☑真题展示 1.(2024·山东竞赛)已知实数a,b,若a>b.4+b=2v2,则6的最大值是（ a-b A.1 B. C.2 D.2N2 2.(2025·山东泰安·竞赛)已知关于x的方程(2a+b)x-1=0无解，那么ab的值是() A.负数 B.正数 C,非负数 D.非正数 4 3.若关于x的一元一次不等式组 4a-2)2的解集是x≤a,且关于y的分式方程少“-41有非 3x-1 y-11-y <x+2 2 数解，则符合条件的所有整数a的和为( A.0 B.1 C.4 D.6 3x+4A B 4(2024山东竞赛)已知x-2x2x十，其中AB为常数，则44-B的值为（） A.7 B.9 C.13 D.52 5.(2025·山东临沂)方程x2-(m+6)x+m=0有两个相等的实数根，且满足x,+x=xx,则m的值是( A.-2或3 B.3 C.-2 D.-3或2 6.(2025·山东泰安)若关于x的一元二次方程(m-22x2+(2m+1x+1=0有解，那么m的取值范围是 (). 3 3 A.m> B.m2 4 4 3 3 C.m>二且m≠2 D.m2二且m≠2 4 7.(2024·山东临沂)如图，抛物线=-2-8x-6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作 G,将G向左平移得C,C与x轴交于点B,D.若直线F-+m与C,C共有3个不同的交点，则m的取值范围 是() 8/11 15 7 A.-3<m- B.-3<m<-4 C.-2<K8 1 D.-3<<-2 8.(2024·山东青岛·自主招生)若关于x的分式方程2。+ ax 3 x-2x2-4x+2 无解，则a的值可取下列哪些值？①0 ②1③-4④6( A.①②③④ B.②③④ C.③④ D.①②④ 9.(2024·山东滨州)已知x为实数，且3 --(x2+9x)=2,那么x2+9x的值为( x+9x A.1 B.-3或1 C.3 D.-1或3 10.(2025·山东济南)定义：平面直角坐标系中，点P(x,y)的横坐标x的绝对值表示为x|,纵坐标y的绝对 值表示为川，我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P(x,y)的折线距离，记为M曰x+|y川 (其中的“+”是四则运算中的加法)，若抛物线y=2+bx+1与直线y=x只有一个交点M,已知点M在第一 象限，且2≤M4,令t=2b-4a+2022,则t的取值范围为() A.2018≤t≤2019 B.2019≤t≤2020C.2020≤t≤2021D.2021≤t≤2022 11.(2024·山东·自主招生)当代数式x+1+x-2+x-4取最小值时，相应的x的值是：；有A、B C、DE五位小朋友按顺时针方向围成一个小圆圈，他们分别有卡片12、6、9、3、10张.现在为使每人手中卡 片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友（可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友），要是调动的卡片总数最 小，最少调动张。 12.(2024·山东临沂)阅读下面的材料： 解方程x4-7x2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2=y,则x4=y2,. 原方程可化为：y2-7y+12=0,解得y1=3,2=4,当y=3时，x2=3,x=±V5,当y=4时，x2=4,x=±2，. 原方程有四个根是：x=V3,x=-V5,水=2，x4=-2,以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数 学的转化思想，运用上述方法解答下列问题 (1)解方程：(x2+x)2-5x2+x)+4=0. (2)已知实数a,b满足(a2+b2)2-3(a2+b2)-10=0,试求a2+b2的值. 13,(2024·山东青岛)数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些 数学问题.下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用. 探究一：求不等式x-1<2的解集 9/11 (1)探究x-1的几何意义 0 x-1 01 01 图① 如图①，在以0为原点的数轴上，设点A'对应点的数为x-1,由绝对值的定义可知，点A'与0的距离为 1x-1, 可记为：A'0=x-1.将线段A'0向右平移一个单位，得到线段AB,此时点A对应的数为x,点B的对应数 是1， 因为AB=A'0,所以AB=x-1. 因此，x-1的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB. (2)求方程x-1=2的解 因为数轴上3与-1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3.-1 (3)求不等式x-1<2的解集 因为x-1表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2 的点所对应的数x的范围。 请在图②的数轴上表示x-1<2的解集，并写出这个解集 20245 图② A(x.y) y B(1.5) 4 4 3 A(x-1,y-5 2 M(x.y) 11上 4-3-2-191234x -2-10 12345x -2H -3 图③ 图⑤ 4 图④ 探究二：探究Vx-a)2+0y-b)的几何意义 (1)探究√2+y的几何意义 10/11