江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试（一模）数学试卷

江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.设A={x∈Zx2<9,B={0,1,2,3},则集合4UB中元素的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】A={-2,-1,01,2,AUB={-2,-1,01,2,3,共6个元素 2.己知复数z满足(1-)z=1+i,则2等于 A.1 B.√2 C.2 D.5 【答案】A 【解析】1-z=1+i√2z=V2,z=1 3.若P(xo,4为抛物线y2=4x上一点，则点P到其焦点的距离为 A.4 B.5 C.25 D.6 【答案】B 【解析】P(xo,4)在抛物线y2=4x上，16=4x0，.=4,P到焦点的距离4+1=5. 2-a,x≥0， 4.已知函数 f(x)= ,x<0 为奇函数，则 的值为 a+b A.0 B.-2 C.2 D.1 【答案】C 【解析】f(x为奇函数，则 f(0)=0,∴.2°-a=0.a=1f(-1+f1=0.b-2+2-a=0,.b=a=1,.a+b=2 5.已知第一组数据七1，x2,七3，“，Xm的平均数为x,方差为s2,第二组数据X,x2,3,…,Xm,X的平均数为 元，方差为s2则 A.x=X,s2≥s2B.x=x,s2≤s2 C.x≠x,s2≥s2 D.x≠元，s2≤s2 【答案】A 【解析】一组数据加上平均数后，平均数不变，方差变小 6.函数y=sin 2x cosx 在区间[0,2元 上的零点个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】画作y=sin2x- π 3 与 y=cosx 的图象，两个函数共有4个交点. 7.在无穷正项等差数列{an}中，记Sn为数列{an}的前n项和，则“a2=3a+2”是“数列 iys,+n 是等差数列”的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】当a2=3a1+2时，则a1+d=3a1+2.d=2a,+2 S,na a马d=a+22a+2=+川n-4+=a+ S,+n=n2a,+n2=n2(a+1,VS,+n=Va+ln,VS,+n是等差数列，充分：当 {Sn+n是等 差数列时，VSn+n=An+B, ∴Sn=(An+B)2=An2+2ABn+B2-n,{Sn}是等差数列的前n项和 8=03=4n-n雨及=a+l”-d=号 d dn2+a-2) d .a42 =-1,d=2a1+2,.a2=3a1+2,必要. 8已知双曲线的左、右焦点为F、F,P为双曲线的右支上一点，直线PF与左支交于点A,且 AP=AR∠RP5,的平分线与x轴交于点B,B=R5 5 ,则双曲线C的离心率为 A.√2 B.3 c.5 D.7 【答案】D PF_BF_3 【解折】方法一PB为∠FP5,角平分线，六P元B丽，2， P℉-PF=2a,.P℉=6a,P℉=4a,AE-AE=2a, ∴AF3-(PE-PA1=2AF3-6a=2a,AF3=4a,AE=2a,∠PAF2=60°， ∠6a识=12n=4-16d-22a4=2wd=70e万 4a 2a A 4a B F, 方法二：由角平分线条件 PF_FB PF3EB· 又E,B=2FR=22c= 2 ,FB=F5-5B=2c-4c-c 4c 5 5 55 6 PE=5-3 P42令 ,则 5 PF=3t,PF,=2t PF-PF,=t=2a=t=2a P℉=6a,PF=4a.又A,P,E共线且AP=AE,,若F在PA上， 则AP=PF+AF=AF,→AF-AF=PF=6a与AE-AF=2a矛盾 A在PE线段上，PF=AP+AE,又AP=AE,PF=AE+AE 联立 〔A5,+A=P明=6a→AR,=4a,A5=2a,4P=4a AF-AF=2a ∴.PF,=AP=AF=4a,△APF为正三角形，∠APF=60°，且PA与PF同线 .∠FPF=60°.在△FPF中，(2c2=(6a)2+(4a2-2-6a.4a-cos60 =36a2+16a2-24a2=28a2,.c2=7a2,e=C=7 a 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,b,c都是单位向量，且a.b=0,则下列结论正确的有 A.a+B)a-B=0 B.a+B-a-B 3 C.石与a-6的夹角为4 D.存在。使得c=a+46 5 5 【答案】ABD 【解析】a+(a-列=a2-b2=l-1=0,A对. a+=+2a.i+i2=2,a-=a-2a.万+i2=2la+i=a-,B对 6a-6=-lcos<6,a-6--L=-2 2号6与a-6 夹角为 3 +关a6+2-91D 4 25 2525 10.已知直线1：(x-1)cos0+ysin0-2=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=16相交于A,B两点，则下列结 论正确的有 A.直线1过一定点 B.直线1与圆x2+y2-2x-3=0相切 C.点C到1的最大距离为2+√2 D.△ABC的面积恒小于8 【答案】BC 【解析】直线1不可能过定点，A错. 圆x2+y2-2x-3=0,圆心(1,0)，半径2，直线1：xcos0+sin0-cos0-2=0 d= 0m0--2=直线，与2+y广-2-3=0相现g对 cos20+sin20 B C(2,1)到直线，距离d,= 2cos0+sin0-cos0-2 =cos0+sin0-2 0+s5+2c对 sr=22yi6-4fd=Vd+l6d=-d-8+4,d=8即d=2万时(scnm-8,D 错。 11对于等式a=c,如果将a视为自变量x,b视为常数，c记为y,那么y=x”为幂函数；如果将 a(a>0,a≠1视为常数，b视为自变量x,c记为y,那么y=a为指数函数；如果将a、b视为自变 量x,c记为y,那么y=x称为幂指函数.关于函数f(x)=x(x>0),下列结论中正确的有 A.函数f(x)在(0，+o)上单调递增 B.函数 J(g 有最小值 e C当0<a<时方g天实 D.当0<a<1时，函数h(x=er-elnf(d有两个极值点 【答案】BCD 【解析】令g-lnf()=nr-h,g(y-lnx+1=0x=g)在 〔和单调迷E(公+） 单调递增，即 单调递减 ) 两遥格4#f=得B对 1=log.x= a=nr=lhr,a=f引，0<a<得时ler无t根c对 nx na 对于D0<a<1h=e-ei到=e-er+1,h=aie-兰在®树单装 增们<0，h”y=0有且仅有-个零点xae=。 且0>1，(x)在(0，）单调递减(x,+∞) 单调递增 h"(x) #x))-ae"-c(Inx,+1--e(Inx,+1-e-Int,-1axe"- axo >C, （axo a p(x)=xe*(x>0),p"(x)=(x+1)e*>0,p(1)=e,..p(axo)>p(1), ,>1-1<0,-l,<0)m<0,如图H有两个零点川)有两个极值点，D对，选 BCD. h(x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,a5=81.若Sn=40,则n= 【答案】4 【解析】2=27=99=3,4=1，S,=40∴n=9 13.已知函数f刘-写式+ar-7x+1在（一l上单调造减，则整数。的可能取值为 (答案不 唯一，只需写出满足条件的一个值)： 【答案】可取-3，-2，-1任何一个 1-2a-7≤0 【解析】f=x2+2ax-7≤0在(-1,3) 恒成立，· 9+6a-7≤0 ∴.-3≤a≤- 30可取-3，-2，-1任何一个 14.圆柱OO的轴截面为ABCD,AB为下底面圆的直径， AB=√2AD=2·点E为下底面圆周上的 一点，平面ACE与上底面的交线为CF,若四边形BEDF为正方形，则四棱锥B-CEAF的体积为_ 【答案】 6 3 【解析】方法一：如图建系， A0,-1,0),B(01,0),C0,1V2,D0-1,-V2,E(cos0,sin0,0 C B B E 方AE=0 xcos+(sine+1)y=0 设平面 的法向量万=(x,y,2),… ACE m.Ac=0…2y+2z=0 不妨设y=cos0,则x=-sin0-l,z=-√2cos0, i=-sin0-1,cos0,-2sin0),FxoyoCF=(xoyo-1,0),CF.=0 .(-sin0-1+cosθ(-l=0① BEDF为正方形，BE=(cos6,sin0-l,0,FD=(-x,-1-y,0), 所--间E乐0 ∴.xcos0+(yo-1(sin6-l=0,④ Vcos20+(sin0-1)2=Vx2+(-1)2+2@, sin=- y0= 2 由①②③④⑤解得 cos0=13 2 5 X0=一 2 9匹停亚 rc-0.cE-Fi.CEF w5a-复9}8r西 距离 ACE d= BA元3_23、 1010 =x5×256 3 V103. 方法二：AB=2,AD=√2，设AE=x,BE=V4-x2,DE=V2+x2四边形BEDF为正方形， .BE=DE→V4-x2=V2+x2→x=1, AE=1,BE=.Va-CEAF =2VB-AEC =2VC-ABE =2x xxxx2-6 32 01 B 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 5记内角B,C的对边分别为ab.c已知a+c-b=-ae,sin1ss 8 (1)求A: (2若snC-多5，求B 2 边上的高 【解析】（①）cosB=a+c2-b21 2ac sinB=43 7 ∴sin4=7x4v35 872A- 一X 3 6,3514 =7 235 边上的高石=asinB=7×4W5-45 .AB > 16.在平面直角坐标系中，已知F(-1,0,E(1,0),平面内一动点P满足PF,FE,PF引成等差数列， 记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点M(0,-2)的直线1交曲线C于A,B两点 ①若点A的坐标为(2,0)，求线段4B的长： ②若△OMA的面积是△OMB面积的3倍，求直线I的方程. 【解析】(1)PF,EE,PF成等差数列，PE+PF=2FF=44>EF引 .P的轨迹为椭圆且2a=4,a=2,c=L,.b=V5 曲线C的方程为4+方 (2)①当A(2,0)时，k=kM4=1,直线1方程为y=x-2 y=x-2 .2 3x2+4y2=12→(7x-2x-2=0xa= =k动f2-引122 附=3，设A.a,1·=0 ② S.OMB MB 设直线1方程为y=c-2 13x2+4y2=12→3+42）-16+4=0,4>0 y=-2 +x=16队 12k X1= 3+4k2 由①②→ 3+4k2 且 4 4k ,代入③ x2=3+4k 2=3+4k2 48k2 4 3+4k22 3+4k=±V6 直线， 的方程为y=士6 x-2 17.如图，己知多面体PQABCD中，PA⊥平面ABCD,PAI/QC,底面ABCD为正方形. ()求证：平面PAB1平面QBC; 所成角的余弦值为 V14 (2)若AB=2,PA=3,且平面PQB与平面 ABCD ①式线段CQ的长： ②线段PA上是否存在点M,使得平面MQB∩平面ABCD=l,且满足I/平面PAC·若存在， 试确定点M的位置；若不存在，请说明理由.高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签 字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”， .·-·、2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮 擦千净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答， 超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合要求) 1.设A={x∈Zx2<9},B={0,1,2,3},则集合AUB中元素的个数为（). A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知复数z满足1-)z=1+i,则z等于 A.1 B.2 C.2 D.5 3.若P(x,4)为抛物线y2=4x上一点，则点P到其焦点的距离为 A.4 B.5 C.2W5 D.6 22-a,x20, 4.已知函数f(x)= 为奇函数，则a+b的值为 () A.0 B.-2 C.2 D.1 5.已知第一组数据x,本2，，，xn的平均数为x,方差为52，第二组数据x,,为，…，x,x 的平均数为x,方差为s2，则 （). A..x=x,2>s2 B.x=,s2<s2 C.xts2>s2 D.xx,s22 6.函数y=sin(2x-牙-c0sx在区间[0,2闭上的零点个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 数学试卷第1页（共6页) 7.在无穷正项等差数列{a,}中，记Sn为数列{a,}的前n项和，则“a2=3a+2”是“数 列{VSn+m}是等差数列”的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知双曲线的左、右焦点为F、F,P为双曲线的右支上一点，直线PF与左支交于 点A,且AP=A仍·∠RP5,的平分线与x轴交于点B,FB=万，则双曲线C的 离心率为 (). A.√2 B.√5 C.5 D.√万 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知a,i,c都是单位向量，且a.b=0,则下列结论正确的有 ( A.(a+b-(a-b=0 B.la+BHa-Bl C.五与ā-万的夹角为号 D.存在c,使得c=a+4方 10.已知直线1：(x-1)cos0+ysi血0-2=0与圆C:(x-2)2+0y-1)2=16相交于A,B两点， 则下列结论正确的有 A.直线1过一定点 B.直线1与圆x2+y2-2x-3兰0相切 C.点C到1的最大距离为2+√2 D.△ABC的面积恒小于8 数学试卷第2页（共6页） 11.对于等式a°=c,如果将a视为自变量x,b视为常数，c记为y,那么y=x为幂函 数；如果将a(a>0,a≠1)视为常数，b视为自变量x,c记为y,那么y=a为指 数函数；如果将a、b视为自变量x,c记为y,那么y=x称为幂指函数.关于函数 f(x)=x(x>0),下列结论中正确的有 A.函数f(x)在(0，+oo)上单调递增 B.函数f)有最小值月 C.当0<a<(白)时，方程上=log。x无实根 D.当0<a<l时，函数h(x)=e“-enf(x)有两个极值点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,a=81.若Sn=40,则 n= 13. 已知函数f)=x+x2-7x+1在(-L,3)上单调递减，则整数a的可能取值 3 为 ·(答案不唯一，只需写出满足条件的一个值) 14.圆柱OO的轴截面为ABCD,AB为下底面圆的直径，AB=√2AD=2.点E为下底面 圆周上的一点，平面ACE与上底面的交线为CF,若四边形BEDF为正方形，则四棱 锥B-CEAF的体积为一一一 数学试卷第3页（共6页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分13分) 记△ABC内角A、B、C的对边分别为d,b,c,已知a2+c2-b2=- -ac 7 s0M=8s血B. (1)求A (2)若asi血C=35,求AB边上的高. 16.（本小题满分15分) 在平面直角坐标系中，已知(-1,0)，F1,0),平面内一动点P满足|PF|,|FF2|, |PF|成等差数列，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： (2)过点M(0,-2)的直线1交曲线C于A,B两点， ①若点A的坐标为(2,0)，求线段AB的长； 个若△OMA的面积是△OMB面积的3倍，求直线1的方程. 17.(本小题满分15分) 如图，已知多面体POABCD中，PA⊥平面ABCD,PATIOC,底面ABCD为正方形. (1)求证：平面PAB⊥平面QBC; (2)若AB=2,PA=3,且平面PQB与平面ABCD所成角的余弦值为4 ①求线段CQ的长； ②线段PA上是否存在点M,使得平面MQB∩平面ABCD=l,且满足1/1平面PAC.若 存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由， 数学试卷第4页（共6页） 18.(本小题满分17分) 某地文旅部门为了解天气状况对某景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在该 景点共调查了200位游客，调查结果如下表， 满意 不满意 合计 晴天 80 阴雨天 40 合计 140 200 (1)完善上述表格，并判断能否有99%的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有 影响； (2)从这200位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们 对该景点均满意的概率： (3)当地天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息：若第1天为晴 天，则第2天为晴天的概率为 ,为阴雨天的概率为}；若第1天为阴雨天，则第2 天为阴雨天的概率为2，为晴天的概率为二.已知第1天是晴天，求第天仍是晴 天的概率P,并求前n天晴天的天数X的期望E(X). 附录：x2= n(ad-be)2 ,n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.010 0.005 0.001 Xa 6.635 7.879 10.828 数学试卷第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ar+血x,直线2x-y-1=0与曲线y=f(x)相切. (1)求a的值； (2)若对任意x∈日，e],存在c∈[-e,0],使得不等式x+1)f)≥x+br+c成立，求b的 最大值； (3)若p(x)=ef(x),求证：对任意s,t∈(1，+o),有p(s+t)>p(s)+p(). 数学试卷第6页（共6页）