考点02 平行线的性质与判定（12种题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

考点02 平行线的性质与判定 考点一：同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 考点二：平行线的基础 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 考点三：平行线的性质与判定 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 平行线的性质： 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 考点四：平行线之间的距离 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 题型一：三线八角 1）两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 2）同位角形如字母“F”(或倒置、反置)；内错角形如字母“Z”(或反置)；同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置). 3）三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的. 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列说法错误的是（     ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 2．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是互为邻补角 3．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④和是对顶角．其中判断正确的有 个． 4．（24-25七年级下·重庆合川·期末）风筝是由中国古代劳动人民在东周春秋时期发明的，距今已有贰千多年的历史，风筝的骨架形成了多种位置关系的角．在下图的风筝骨架中，已知． (1)请指出下列两角是何种位置关系的角： 与是__________，与是__________，与是__________，与是__________，与是__________； (2)若，求的度数． 题型二：平行公理及推论 1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据， 2）平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，不限定点是否在直线上. 5．（24-25七年级下·河南焦作·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．如果，，那么 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．正数与负数的和一定等于零 6．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是 ． 题型三：补充平行线的判定过程 判定两条直线平行的方法有六种： ①平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. ②平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. ③同位角相等，两直线平行; ④内错角相等，两直线平行; ⑤同旁内角互补，两直线平行; ⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行， 9．（24-25七年级下·青海海西·期中）如图，，，，，填空： 已知 __________ （     ） 已知 ____________ 已知 ___________ 已知 ___________． 10．（24-25七年级下·广东清远·期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线，，，的位置如上图所示，，，求证：． 证明：如图， ∵（_____），_____ ∴_____（_____） 又∵（_____）， ∴（_____）， ∴（_____）． 11．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）几何填空题： 完成下列说理过程：如图已知直线被直线所截，，，，试说明． 证明：，（已知） （              ） （      ）（      ）（                              ） 又，（已知） （      ）（      ）（             ） （      ）（      ）（                               ） （                          ） 12．（24-25七年级下·四川泸州·期中）请填空，完成下面的证明． 如图，已知于点D，于点F，，证明： 证明：，已知， ______， 同位角相等，两直线平行， ______， 已知， ______， ______， ______ 题型四：选用合适的方法判定两直线平行 13．（23-24七年级下·江苏南京·期末） 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 14．（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 15．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 16．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，已知：在四边形中，点E为线段延长线上一点，连接交于F，，， (1)求证： (2)若，求证：． 题型五：画平行线 17．（24-25七年级下·北京东城·期末）已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线 ，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 19．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，已知点在的一边上．按要求画图并填空： (1)过点画直线，与的另一边相交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为点； (3)过点画直线，交于点D； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． (5)线段和线段长度的大小关系为：___________，理由：___________． 题型六：判断直线的位置关系 20．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图， ，点E，F在线段上，且．连接，，若，请完成下列问题： (1)说明 ； (2)猜想与的关系，并说明理由． 21．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，是的高，平分，分别交于点． (1)求的度数； (2)若平分，交于点，请判断与的位置关系，并说明理由． 22．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 23．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型七：利用平行线的性质求解 运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算. 24．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 27．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是 ． 28．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数为 ． 题型八：平行线的性质在实际生活中的应用 在平行线的性质在实际生活中的应用中，需正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，从而得到相等或互补的角，解决这类问题，在准确理解题意的同时，还需将实际问题转化为数学问题. 29．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 30．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 33．（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 题型九：平行线中的辅助线作法 34．（2025·山西临汾·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 36．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线，，，则的度数是 ． 37．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 38．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 题型十：利用平行线的性质探究角度间的关系 39．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求证：； (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______； (3)若、的平分线交于点，且，则______． 40．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）综合与实践： （1）如图1．，若点P在，之间，，，求的度数． （2）如图2．，若点P在的下方，则，，之间有何数量关系？请说明理由． （3）如图3．在（2）的条件下，，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的代数式表示） 41．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 题型十一：利用平行线之间的距离解决问题 42．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（   ） A．的大小 B．线段的长度 C．的周长 D．的面积 43．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，，，，以下三角形和三角形面积相等的有（    ） ①三角形；②三角形；③三角形；④三角形；⑤三角形． A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 44．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 45．（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 46．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． 题型十二：平行线判定与性质综合 47．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 48．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 49．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 50．（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）探究与发现： (1)在同一平面内，若直线，，则直线与存在什么位置关系？请说明理由． (2)在同一平面内，若直线，，，则直线与的位置关系是________________． (3)在同一平面内，现在有2027条直线，，，…，，且有，，，，…，则直线与的位置关系是________________． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 4．（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 5．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 6．（24-25七年级下·广东江门·月考）综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题． (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为_________；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板（）放在一组直线与之间，如图，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点重叠，固定，如图，将绕着点在平面内转动．其中，假设直角边．图中所有点均在一个平面内．设度数为，当等于多少时，．请画出图形并完成相应解答． 7．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 平行线的性质与判定 考点一：同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 考点二：平行线的基础 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 考点三：平行线的性质与判定 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 平行线的性质： 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 考点四：平行线之间的距离 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 题型一：三线八角 1）两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 2）同位角形如字母“F”(或倒置、反置)；内错角形如字母“Z”(或反置)；同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置). 3）三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的. 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列说法错误的是（     ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，熟练掌握这几个定义是解题的关键．根据对顶角、邻补角、同旁内角、内错角的定义判断即可． 【详解】解：A、与是邻补角，说法正确，故此选项不符合题意； B、与是对顶角，说法正确，故此选项不符合题意； C、与是同旁内角，说法正确，故此选项不符合题意； D、与不是内错角，说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是互为邻补角 【答案】C 【分析】本题考查了同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫做同旁内角；邻补角：两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角．熟记同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义是解题关键．根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、与是同位角，与是同位角，与不是同位角，则此项错误，不符合题意； B、与是内错角，与不是内错角，则此项错误，不符合题意； C、与是同旁内角，则此项正确，符合题意； D、与是互为邻补角，与是互为邻补角；与是互为邻补角，与是互为邻补角；与不是互为邻补角，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④和是对顶角．其中判断正确的有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，对顶角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：①与是同位角，原说法正确； ②与是同旁内角，原说法正确； ③与是内错角，原说法正确； ④和是对顶角，原说法正确； ∴说法正确的有4个， 故答案为：4． 4．（24-25七年级下·重庆合川·期末）风筝是由中国古代劳动人民在东周春秋时期发明的，距今已有贰千多年的历史，风筝的骨架形成了多种位置关系的角．在下图的风筝骨架中，已知． (1)请指出下列两角是何种位置关系的角： 与是__________，与是__________，与是__________，与是__________，与是__________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)（1）与是对顶角，与是同旁内角，与是内错角，与是同位角，与是邻补角； (2) 【分析】（1）根据所学知识：对顶角，同旁内角，内错角，同位角，邻补角解答即可； （2）例平行线的性质，对顶角的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得与是对顶角，与是同旁内角，与是内错角，与是同位角，与是邻补角； 故答案为：对顶角；同旁内角；内错角；同位角；邻补角． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角性质，邻补角，三线八角图，熟练掌握性质和三线八角图是解题的关键． 题型二：平行公理及推论 1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据， 2）平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，不限定点是否在直线上. 5．（24-25七年级下·河南焦作·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．如果，，那么 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．正数与负数的和一定等于零 【答案】A 【分析】本题考查了命题的真假，根据平行线的传递性、对顶角的性质、乘方的意义、有理数的加法逐一分析各选项是否为真命题即可． 【详解】解：A．根据平行线的传递性，如果，，那么．该命题成立，故为真命题． B．对顶角相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线中的同位角），故为假命题． C．方程的解为或，因此仅是其中一个解，命题结论不全面，故为假命题． D． 正数与负数的和不一定为零（如），仅当绝对值相等时和为0，故为假命题． 故选：A． 6．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的关系，弄清题意 ，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据同一平面内直线垂直和平行的性质，逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：由于a平行于b，且b垂直于c，根据平行线的性质，，故选项A错误； 根据平行线的传递性，若a平行于b，且b平行于c，则，故选项B错误； 在同一平面内，若两条直线a和c均垂直于同一条直线b，则，故选项C正确； 由于b平行于c，且a垂直于b，根据平行线的性质，，故选项D错误； 故选：C． 8．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 题型三：补充平行线的判定过程 判定两条直线平行的方法有六种： ①平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. ②平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. ③同位角相等，两直线平行; ④内错角相等，两直线平行; ⑤同旁内角互补，两直线平行; ⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行， 9．（24-25七年级下·青海海西·期中）如图，，，，，填空： 已知 __________ （     ） 已知 ____________ 已知 ___________ 已知 ___________． 【答案】见解析 【分析】根据内错角相等，两直线平行由可判断；根据同位角相等，两直线平行由可判断；根据内错角相等，两直线平行由可判断；根据同旁内角互补，两直线平行由可判断 ． 本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【详解】解：已知， 内错角相等，两直线平行， 已知， 同位角相等，两直线平行， 已知 ， 已知 ． 故答案为，，内错角相等，两直线平行；，；，；，． 10．（24-25七年级下·广东清远·期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线，，，的位置如上图所示，，，求证：． 证明：如图， ∵（_____），_____ ∴_____（_____） 又∵（_____）， ∴（_____）， ∴（_____）． 【答案】已知，邻补角定义；，同角的补角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，邻补角定义，由同角的补角相等得，又，则有，然后通过平行线的判定即可求证，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：如图， ∵（已知），（邻补角定义） ∴（同角的补角相等） 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：已知，邻补角定义；，同角的补角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行． 11．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）几何填空题： 完成下列说理过程：如图已知直线被直线所截，，，，试说明． 证明：，（已知） （              ） （      ）（      ）（                              ） 又，（已知） （      ）（      ）（             ） （      ）（      ）（                               ） （                          ） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与传递性，熟练掌握平行线的判定是解题的关键，由可得，再由可得，最后利用平行线的传递性即可求解． 【详解】证明：，（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 又，（已知） （同旁内角互补，两直线平行） （平行线的传递性） 12．（24-25七年级下·四川泸州·期中）请填空，完成下面的证明． 如图，已知于点D，于点F，，证明： 证明：，已知， ______， 同位角相等，两直线平行， ______， 已知， ______， ______， ______ 【答案】垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 根据同位角相等，两直线平行得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】证明：，已知， 垂直的定义， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，同旁内角互补， （已知）， 同角的补角相等， 内错角相等，两直线平行， 两直线平行，同位角相等 故答案为：垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等． 题型四：选用合适的方法判定两直线平行 13．（23-24七年级下·江苏南京·期末） 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 14．（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握好平行线的判定定理的解题关键． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 平分， ， ， ． 16．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，已知：在四边形中，点E为线段延长线上一点，连接交于F，，， (1)求证： (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，对顶角性质，角的运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． （1）利用对顶角性质得到，结合等量代换得到，即可证明； （2）利用平行线性质和等量代换得到，进而得到，即可证明． 【详解】（1）证明：，， 又∵， ， ； （2）证明： ， ， ， ， ， ， ． 题型五：画平行线 17．（24-25七年级下·北京东城·期末）已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：将三角板中的角与重合，再从点处沿着直线平移，当三角板中的角的顶点与点重合时，画出的直线即为直线的平行线．理由是：同位角相等，两直线平行． 故选：C． 18．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线 ，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 19．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，已知点在的一边上．按要求画图并填空： (1)过点画直线，与的另一边相交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为点； (3)过点画直线，交于点D； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． (5)线段和线段长度的大小关系为：___________，理由：___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)＜，垂线段最短 【分析】本题考查作图-复杂作图，点到直线的距离，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）根据要求作出图形即可； （4）因为直线，所以，再根据点到直线的距离的定义，即可解决问题； （5）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可． 【详解】（1）解：直线如图所示： （2）解：的垂线段如图所示： （3）解：直线如图所示： （4）点到直线的距离是线段的长度 （5）解：点A到直线的距离是线段的长度，因为垂线段最短，所以， 故线段和线段长度的大小关系为：，理由：垂线段最短． 题型六：判断直线的位置关系 20．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图， ，点E，F在线段上，且．连接，，若，请完成下列问题： (1)说明 ； (2)猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)， ，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据平行线的性质得到，进而根据证明即可； （2）由得到，，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∵ ， ∴； （2）解：， ，理由如下： ∵， ∴，． ∴． 21．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，是的高，平分，分别交于点． (1)求的度数； (2)若平分，交于点，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和可得，再根据角平分线可得，根据，即可求得． （2）；由（1）知：，根据邻补角和角平分线可得，根据内错角相等，可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：； 理由如下：由（1）知：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，邻补角，角平分线，等边对等角和三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点A，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由同位角相等，两直线平行可得，再由平行线的性质可得，结合题意得出，即可得证； （2）由题意可得，由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，由垂线的定义可得，即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、垂直的判定、平行线的判定与性质以及角度的计算．解题的关键是熟练运用相关几何性质，通过角之间的关系建立等式求解． （1）根据角平分线性质表示出相关角，再利用平角为推导出为，从而判定． （2）由等角对等边判定结合平行线性质和角平分线定义得到角之间的倍数关系，再根据已知角度关系列方程求出，最后结合 的度数求出． 【详解】（1）证明：∵分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 题型七：利用平行线的性质求解 运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算. 24．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 25．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 26．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 27．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 依据平行线的性质得出，，进而得到，，据此可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 28．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，小嘉同学在一次数学活动课上将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 根据翻折的性质及角的数量关系求出，根据平行线的性质得出同位角相等，再利用翻折的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据翻折的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质得， ， 故答案为：． 题型八：平行线的性质在实际生活中的应用 在平行线的性质在实际生活中的应用中，需正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，从而得到相等或互补的角，解决这类问题，在准确理解题意的同时，还需将实际问题转化为数学问题. 29．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质，车辆两次拐弯后保持原方向平行，需满足两次拐弯形成的角为内错角且相等，或同旁内角互补．选项B满足内错角相等，两次拐弯后路径平行于原方向． 【详解】解：A：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反，但角度不等，无法形成内错角相等或同旁内角互补，方向改变． B：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反且角度相等，形成内错角相等，路径平行． C：两次左拐，总偏转角度为，方向与原方向相反，不平行． D：两次左拐，总偏转角度为，方向明显改变，不平行． 故选：B 30．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过作，由平行线的性质得，，可得，即可求解；理解题意，能熟练利用平行线的性质求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 过作， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 31．（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 32．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，先由得出的度数，根据即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 33．（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 题型九：平行线中的辅助线作法 34．（2025·山西临汾·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作，则，根据平行线的性质可得，据此先求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：D． 35．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，先过点作，再用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补等知识点，根据作这条平行线后，将有三条平行线，根据平行线的性质，角之间的关系即可解答． 【详解】解：过点作， ， ； ， ， ， 又∵， ． 故选：D． 36．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，直线，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 作出如图的辅助线，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【详解】解：如图所示，点A在直线l1上，点B、D在直线l2上，点C在之间，为， ∵直线， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， 故答案为：． 37．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)C (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用平行线的性质，即可得到，，进而得出； （2）过D作，利用平行线的性质，即可得到，，进而得出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即， 故选：C； （2）解：，理由如下， 如图，过D作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 38．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 题型十：利用平行线的性质探究角度间的关系 39．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)如图①，当点在线段左侧时，求证：； (2)如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______； (3)若、的平分线交于点，且，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，邻补角，找出角度之间的关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可证明结论； （2）过点作，根据平行线的性质，得到，，再结合，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当点在线段左侧时；当点在线段右侧时，根据（1）和（2）所得结论，再结合角平分线的定义分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， ， ， ，， ； （2）解：如图②，过点作， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，当点在线段左侧时， 由（1）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 如图，当点在线段右侧时， 由（2）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 综上可知，或． 40．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）综合与实践： （1）如图1．，若点P在，之间，，，求的度数． （2）如图2．，若点P在的下方，则，，之间有何数量关系？请说明理由． （3）如图3．在（2）的条件下，，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，需熟练掌握平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造平行线，使用平行线的性质解决角度问题． （1）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”求解即可； （2）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”可得与，再由等量代换即可求解； （3）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”，再结合角平分线的性质，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】解：（1）过点P作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）， 过点P作，如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）过点E作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线和的平分线交于点E， ∴，， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴． 41．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）如图，分别过点E，F作，，证明，可得，，证明，可得，从而可得结论； （2）如图，过点F作，由（2）知，，设，则，证明，，证明，，可得，从而可得答案． 【详解】（1）数量关系为， 证明：如图，分别过点E，F作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （2）如图，过点F作， 由（1）知，， 设，则， 平分，GF平分， ，， ， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质探究角度的大小关系是解本题的关键． 题型十一：利用平行线之间的距离解决问题 42．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（   ） A．的大小 B．线段的长度 C．的周长 D．的面积 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，得到随着点P的移动，点到的距离不变，即可得出的面积不变，判断即可． 【详解】解：∵直线，点P在直线m上移动， ∴点与直线的距离保持不变， ∵A，B是直线n上的两个定点， ∴点到的距离不变， ∴的面积不变，故D正确； 的大小，线段的长度，的周长都随着点的移动而变化； 故选D． 43．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，，，，以下三角形和三角形面积相等的有（    ） ①三角形；②三角形；③三角形；④三角形；⑤三角形． A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．根据 ，， ，由平行线之间距离相等，可得相应三角形之间同底等高． 【详解】解：∵ ，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴ ∴与面积相等的三角形为：、、， 故选：C． 44．（24-25七年级上·福建福州·开学考试）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：． 45．（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形面积、平行线的性质等知识点，发现等底等高的两三角形是解题的关键． 如图：连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，易得、的面积与的面积，即可解决． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴ ∴，即， 同理： ∴． 故答案为：． 46．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键． （1）连接交于O，连接，根据和等高（分别以为底），得到； （2）同理可得，再根据题意证明，得到，进而证明，则； （3）如图所示，连接，先求出，，即，则，同理可证，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于O，连接， ∵，和等高（分别以为底）， ∴； （2）解：同理可得； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 题型十二：平行线判定与性质综合 47．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （2）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （3）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成求解； 【详解】（1）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴     （3）解：如图：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）的结论可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 48．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，即， 平分，， ， ， ， ， ， 特色小吃街与主路的夹角的度数为． 49．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 50．（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点O作，则，由平行线的性质可得，，从而可得，即可得解； （2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可得，，设，，计算得出，由平行线的性质可得，，，由此计算即可得解； （3）设直线与交于点K，与交于点H，由平行线的性质可得，求出，再结合，在内，．得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：过点O作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：过点M作，过点N作，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴ ， 故的值为； （3）解：如图，设直线与交于点K，与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，在内，． ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）探究与发现： (1)在同一平面内，若直线，，则直线与存在什么位置关系？请说明理由． (2)在同一平面内，若直线，，，则直线与的位置关系是________________． (3)在同一平面内，现在有2027条直线，，，…，，且有，，，，…，则直线与的位置关系是________________． 【答案】(1)．理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的判定定理求解； （2）根据（1）的结论及平行公理推理； （3）根据（1）的结论及平行公理推理． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，因为，， 所以，所以． （2）解： ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）解：如图， 由（1）（2）知， ，……， ……， 所以与下标为偶数的直线垂直，与下标为奇数的直线平行， 因为下标为奇数， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂直和平行的判断，解题的关键是了解垂直于同一直线的两条直线平行． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行公理，平行线的性质，平角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，所以，由平行线的性质可知，即，由三角板的度数可求，则的度数可求． 【详解】解∶作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角板的度数可知，， ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）直接根据平行线的判定和性质证明即可； （2）①过点作，可得，由，可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，求解即可； ②如图，过点作．可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得方程组，求解即可． （3）过点作，过点作．设，，同理可知，，进而可得，根据规律可得答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图，过点作， ∴． 由题意可知：， 故可设，则． ∴，，． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，解得：， ∴，． ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作． 由题意可设，则． ∵，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴， 即，解得：， ∴． （3）过点作，过点作． 设，， 同理（2）可得：，， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点， ∴，， 由（2）得， ∴. ∵的角平分线和的角平分线相交于点。 同理可得： ∴， ∴， ∴ 4．（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）．理由见解析 【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，，可求出的度数； （2）由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： 如图． 由（1）可知． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 5．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2)； (3)的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题． （1）由平行线的性质，可得，，等量代换，即可证得结论；作，由平行线的性质，可得，，结合已知，等量代换，即可得； （2）延长，交于点，由平行线的性质，可得，，由邻补角，结合已知，等量代换可得，，即可得； （3）由（1）得，由（2）得，结合已知可得，由角平分线的定义可得，，设，，则，，可得，作，由平行线的性质可得，，可得，结合已知，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴． 解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． （3）解：由（2）得， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 6．（24-25七年级下·广东江门·月考）综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题． (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为_________；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板（）放在一组直线与之间，如图，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点重叠，固定，如图，将绕着点在平面内转动．其中，假设直角边．图中所有点均在一个平面内．设度数为，当等于多少时，．请画出图形并完成相应解答． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）分两种情形：当和在点异侧时，延长，交于，过点作，根据，得出，从而得出；当和在点的同侧时，设交于点，过点作，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）解：如图， 当和在点异侧时，延长，交于，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 如图， 当和在点的同侧时，设交于点，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 综上所述：或． 7．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)65 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴ ， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $